（文理通用）江苏省2020高考数学二轮复习 专题四 函数与导数、不等式 第18讲 导数的简单应用课件

第18讲导数的简单应用课前热身启动——全面落实“四基”，基稳才能楼高[主干知识再强化]1．导数公式及运算法则(1)基本导数公式①c′＝0(c为常数)；②(xm)′＝mxm－1(m∈Q)；③(sinx)′＝cosx；④(cosx)′＝－sinx；⑤(ax)′＝axlna(a0且a≠1)；⑥(ex)′＝ex；⑦(logax)′＝1xlna(a0且a≠1)；⑧(lnx)′＝1x.(2)导数的四则运算①(u±v)′＝u′±v′；②(uv)′＝u′v＋uv′；③uv′＝u′v－uv′v2(v≠0)．2．常用乘式与除式的求导(1)[xnf(x)]′＝nxn－1f(x)＋xnf′(x)；(2)fxxn′＝xnf′x－nxn－1fxx2n；(3)[exf(x)]′＝ex[f(x)＋f′(x)]；(4)fxex′＝f′x－fxex.3．函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导：(1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数．4．导数与函数的极值、最值的关系(1)函数f(x)在x0处的导数f′(x0)＝0且f′(x)在x0附近“左正右负”⇔f(x)在x0处取极大值；函数f(x)在x0处的导数f′(x0)＝0且f′(x)在x0附近“左负右正”⇔f(x)在x0处取极小值．(2)函数f(x)在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极值与其端点处函数值中的“最大者”；函数f(x)在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极值与其端点处函数值中的“最小者”．[经典考题再回首]1．(2019·全国卷Ⅲ改编)已知曲线y＝aex＋xlnx在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则a，b的值分别为________．解析：∵y′＝aex＋lnx＋1，∴切线的斜率k＝y′|x＝1＝ae＋1，∴切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1.又∵切线方程为y＝2x＋b，∴ae＋1＝2，b＝－1，即a＝e－1，b＝－1.答案：e－1－12．(2019·北京高考)设函数f(x)＝ex＋ae－x(a为常数)．若f(x)为奇函数，则a＝________；若f(x)是R上的增函数，则a的取值范围是________．解析：∵f(x)＝ex＋ae－x(a为常数)的定义域为R，∴f(0)＝e0＋ae－0＝1＋a＝0，∴a＝－1.∵f(x)＝ex＋ae－x，∴f′(x)＝ex－ae－x＝ex－aex.∵f(x)是R上的增函数，∴f′(x)≥0在R上恒成立，即ex≥aex在R上恒成立，∴a≤e2x在R上恒成立．又e2x0，∴a≤0，即a的取值范围是(－∞，0]．答案：－1(－∞，0]3．(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是________．解析：设A(m，n)，由y＝lnx，得y′＝1x，∴y′|x＝m＝1m，则曲线y＝lnx在点A处的切线方程y－n＝1m(x－m)．又∵切线过点(－e，－1)，∴n＋1＝1m(m＋e)．又n＝lnm，解得m＝e，n＝1.∴点A的坐标为(e,1)．答案：(e,1)4．(2019·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝2x3－ax2＋b.(1)讨论f(x)的单调性；(2)是否存在a，b，使得f(x)在区间[0,1]的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由．解：(1)f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)．令f′(x)＝0，得x＝0或x＝a3.若a0，则当x∈(－∞，0)∪a3，＋∞时，f′(x)0；当x∈0，a3时，f′(x)0.故f(x)在(－∞，0)，a3，＋∞上单调递增，在0，a3上单调递减．若a＝0，则f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．若a0，则当x∈－∞，a3∪(0，＋∞)时，f′(x)0；当x∈a3，0时，f′(x)0.故f(x)在－∞，a3，(0，＋∞)上单调递增，在a3，0上单调递减．(2)满足题设条件的a，b存在．①当a≤0时，由(1)知，f(x)在[0,1]单调递增，所以f(x)在区间[0,1]的最小值为f(0)＝b，最大值为f(1)＝2－a＋b.此时a，b满足题设条件当且仅当b＝－1，2－a＋b＝1，即a＝0，b＝－1.②当a≥3时，由(1)知，f(x)在[0,1]单调递减，所以f(x)在区间[0,1]的最大值为f(0)＝b，最小值为f(1)＝2－a＋b.此时a，b满足题设条件当且仅当2－a＋b＝－1，b＝1，即a＝4，b＝1.③当0a3时，由(1)知，f(x)在[0,1]的最小值为fa3＝－a327＋b，最大值为b或2－a＋b.若－a327＋b＝－1，b＝1，则a＝332，与0a3矛盾．若－a327＋b＝－1,2－a＋b＝1，则a＝33或a＝－33或a＝0，与0a3矛盾．综上，当a＝0，b＝－1或a＝4，b＝1时，f(x)在[0,1]的最小值为－1，最大值为1.课堂精析考情——锁定命题热点，精准才能高效一、小题考法——求“准”求“快”考法一导数的几何意义[例1](1)若曲线f(x)＝xsinx＋1在x＝π2处的切线与直线ax＋2y＋1＝0相互垂直，则实数a＝________.(2)已知直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，则b的值为________．(3)若直线y＝x＋1与曲线y＝alnx相切，且a∈(n，n＋1)(n∈N*)，则n＝________.(4)若过点A(a,0)作曲线C：y＝xex的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是________．[解析](1)因为f′(x)＝sinx＋xcosx，所以f′π2＝sinπ2＋π2·cosπ2＝1.又直线ax＋2y＋1＝0的斜率为－a2，所以1×－a2＝－1，解得a＝2.(2)由题意知，3＝k＋1，∴k＝2.又(x3＋ax＋b)′|x＝1＝(3x2＋a)|x＝1＝3＋a，∴3＋a＝2，∴a＝－1，∴3＝1－1＋b，即b＝3.(3)设直线y＝x＋1与曲线y＝alnx相切的切点为(x0，alnx0)，则在该点处曲线的切线方程为y－alnx0＝ax0(x－x0)，即y＝ax0x＋alnx0－a，又该直线与直线y＝x＋1重合，所以a＝x0且alnx0－a＝1，即alna－a＝1.构造函数g(a)＝alna－a－1，则g′(a)＝lna，当a＞1时，g′(a)＞0，g(a)单调递增，又g(3)＝3ln3－4＜0，g(4)＝4ln4－5＝8ln2－5＞0，所以函数g(a)在(1，＋∞)内唯一的零点在区间(3,4)内，所以n＝3.(4)设切点坐标为(x0，x0ex0)，y′＝(x＋1)ex，y′|x＝x0＝(x0＋1)ex0，所以切线方程为y－x0ex0＝(x0＋1)ex0(x－x0)，将点A(a,0)代入可得－x0ex0＝(x0＋1)ex0(a－x0)，化简，得x20－ax0－a＝0，因为过点A(a,0)作曲线C的切线有且仅有两条，所以方程x20－ax0－a＝0有两个解，则有Δ＝a2＋4a0，解得a0或a－4，故实数a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．[答案](1)2(2)3(3)3(4)(－∞，－4)∪(0，＋∞)[解题方略]1．求曲线y＝f(x)的切线方程的3种类型及方法类型方法已知切点P(x0，y0)，求切线方程求出切线的斜率f′(x0)，由点斜式写出方程已知切线的斜率k，求切线方程设切点P(x0，y0)，通过方程k＝f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程已知切线上一点(非切点)，求切线方程设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程2．利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．[提醒]注意曲线上点的横坐标的取值范围．考法二利用导数研究函数的单调性[例2](1)(2019·南京三模)若函数f(x)＝ex(－x2＋2x＋a)在区间[a，a＋1]上单调递增，则实数a的最大值为________．(2)若函数f(x)＝lnx－12ax2－2x存在单调递减区间，则实数a的取值范围是________．(3)函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的可导函数，f′(x)为其导函数，若xf′(x)＋f(x)＝ex(x－2)且f(3)＝0，则不等式f(x)0的解集为________．[解析](1)由题意得，f′(x)＝ex(－x2＋2＋a)≥0在区间[a，a＋1]上恒成立，即－x2＋2＋a≥0在区间[a，a＋1]上恒成立，所以－a2＋2＋a≥0，－a＋12＋2＋a≥0，解得－1≤a≤－1＋52，所以实数a的最大值为－1＋52.(2)f′(x)＝1x－ax－2＝1－ax2－2xx，由题意知f′(x)0有实数解，∵x0，∴ax2＋2x－10有实数解．当a≥0时，显然满足；当a0时，只需Δ＝4＋4a0，解得－1a0.综上知a－1，即实数a的取值范围是(－1，＋∞)．(3)令g(x)＝xf(x)，x∈(0，＋∞)，则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)＝ex(x－2)，可知当x∈(0,2)时，g(x)＝xf(x)是减函数；当x∈(2，＋∞)时，g(x)＝xf(x)是增函数．又f(3)＝0，所以g(3)＝3f(3)＝0.在(0，＋∞)上，不等式f(x)0的解集就是xf(x)0的解集，又g(0)＝0，所以f(x)0的解集是(0,3)．[答案](1)－1＋52(2)(－1，＋∞)(3)(0,3)[解题方略]1．利用导数比较大小或解不等式的策略利用导数比较大小或解不等式，常常要构造新函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为利用导数研究函数单调性的问题，再由单调性比较大小或解不等式．常见构造的辅助函数有：g(x)＝xf(x)，g(x)＝fxx，g(x)＝exf(x)，g(x)＝fxex，g(x)＝f(x)lnx，g(x)＝fxlnx等．2．由函数的单调性求参数取值范围的策略(1)可导函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求参数的取值范围；(2)可导函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)＞0(或f′(x)＜0)在该区间上存在解集，即f′(x)max＞0(或f′(x)min＜0)在该区间上有解，从而转化为不等式问题，求参数的取值范围．考法三利用导数研究函数的极值问题[例3](1)(2019·盱眙中学检测)已知函数f(x)＝(x2－m)ex，若函数f(x)的图象在x＝1处切线的斜率为3e，则f(x)的极大值是________．(2)若函数f(x)＝12x2＋(a－1)x－alnx存在唯一的极值，且此极值不小于1，则a的取值范围为________．[解析](1)f′(x)＝(x2＋2x－m)ex.由题意知，f′(1)＝(3－m)e＝3e，所以m＝0，f′(x)＝(x2＋2x)ex.当x0或x－2时，f′(x)0，f(x)是增函数；当－2x0时，f′(x)0，f(x)是减函数．所以当x＝－2时，f(x)取得极大值，f(－2)＝4e－2.(2)对函数求导得f′(x)＝x＋a－1－ax＝x＋ax－1x，因为函数存在唯一的极值，所以导函数存在唯一的零点，且零点大于0，故x＝1是唯一的极值点，此时－a≤0且f(1)＝－12＋a≥1⇒a≥32.[答案](1)4e－2(2)32，＋∞[解题方略]1．求函数极值的一般步骤(1