（文理通用）江苏省2020高考数学二轮复习 理科附加题 第4讲 随机变量及其分布列课件

第4讲随机变量及其分布列课前热身启动——全面落实“四基”，基稳才能楼高[主干知识再强化]1．离散型随机变量的分布列(1)定义：若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列．(2)性质：①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②∑ni＝1pi＝1.2．离散型随机变量X的均值与方差均值(数学期望)方差计算公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpnD(X)＝i＝1nxi－EX2pi作用反映了离散型随机变量取值的平均水平刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度标准差方差的算术平方根DX为随机变量X的标准差3.常见两类特殊的分布列(1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，即其分布列为X01P1－pp其中p＝P(X＝1)称为成功概率．(2)超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，即如果随机变量X的分布列具有下表形式X01…mPC0MCn－0N－MCnNC1MCn－1N－MCnN…CmMCn－mN－MCnN则称随机变量X服从超几何分布．(3)两点分布的均值与方差若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．4．均值与方差的计算(1)均值E(X)＝∑ni＝1xipi.(2)方差D(X)＝∑ni＝1(xi－E(X))2pi＝E(X2)－E2(X)．(3)若X服从两点分布，则D(X)max＝14，此时p＝12.(4)若a，b为常数，X是随机变量，则E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)．5．独立重复试验概率公式在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，若用Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次试验的结果，则P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)P(A3)…P(An)．6．二项分布的定义在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．[经典考题再回首]1．(2019·全国卷Ⅰ)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i＝0,1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1,2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假设α＝0.5，β＝0.8.①证明：{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)为等比数列；②求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．解：(1)X的所有可能取值为－1,0,1.则P(X＝－1)＝(1－α)β，P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)，P(X＝1)＝α(1－β)，所以X的分布列为X－101P(1－α)βαβ＋(1－α)(1－β)α(1－β)(2)①证明：由(1)得a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1，因为pi＝0.4pi－1＋0.5pi＋0.1pi＋1，所以0.1(pi＋1－pi)＝0.4(pi－pi－1)，即pi＋1－pi＝4(pi－pi－1)．又因为p1－p0＝p1≠0，所以{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)是公比为4，首项为p1的等比数列．②由①可得p8＝p8－p7＋p7－p6＋…＋p1－p0＋p0＝(p8－p7)＋(p7－p6)＋…＋(p1－p0)＝48－13p1.由于p8＝1，故p1＝348－1，所以p4＝(p4－p3)＋(p3－p2)＋(p2－p1)＋(p1－p0)＝44－13p1＝1257.p4表示最终认为甲药更有效的概率．由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p4＝1257≈0.0039，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．2．(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，设点集An＝{(0,0)，(1,0)，(2,0)，…，(n,0)}，Bn＝{(0,1)，(n,1)}，Cn＝{(0,2)，(1,2)，(2,2)，…，(n,2)}，n∈N*.令Mn＝An∪Bn∪Cn.从集合Mn中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离．(1)当n＝1时，求X的概率分布；(2)对给定的正整数n(n≥3)，求概率P(X≤n)(用n表示)．解：(1)当n＝1时，X的所有可能取值是1，2，2，5.则X的概率分布为P(X＝1)＝7C26＝715，P(X＝2)＝4C26＝415，P(X＝2)＝2C26＝215，P(X＝5)＝2C26＝215.(2)设A(a，b)和B(c，d)是从Mn中取出的两个点．因为P(X≤n)＝1－P(Xn)，所以仅需考虑Xn的情况．①若b＝d，则AB≤n，不存在Xn的取法；②若b＝0，d＝1，则AB＝a－c2＋1≤n2＋1，所以Xn当且仅当AB＝n2＋1，此时a＝0，c＝n或a＝n，c＝0，有2种取法；③若b＝0，d＝2，则AB＝a－c2＋4≤n2＋4.因为当n≥3时，n－12＋4≤n，所以Xn当且仅当AB＝n2＋4，此时a＝0，c＝n或a＝n，c＝0，有2种取法；④若b＝1，d＝2，则AB＝a－c2＋1≤n2＋1，所以Xn当且仅当AB＝n2＋1，此时a＝0，c＝n或a＝n，c＝0，有2种取法．综上，当Xn时，X的所有可能取值是n2＋1和n2＋4，且P(X＝n2＋1)＝4C22n＋4，P(X＝n2＋4)＝2C22n＋4.因此，P(X≤n)＝1－P(X＝n2＋1)－P(X＝n2＋4)＝1－6C22n＋4.课堂精析考情——锁定命题热点，精准才能高效考法一离散型随机变量的分布列及其期望[例1]近年来，我国的高铁技术发展迅速，铁道部门计划在A，B两城之间开通高速列车，假设在试运行期间，每天8：00～9：00,9：00～10：00两个时段内各发一趟列车由A城到B城(两车发出情况互不影响)，A城发车时间及其概率如下表所示：发车时间8：108：308：509：109：309：50概率161213161213若甲、乙两位旅客打算从A城到B城，假设他们到达A城火车站候车的时间分别是周六8：00和周日8：20.(只考虑候车时间，不考虑其他因素)(1)设乙候车所需时间为随机变量X，求X的分布列和数学期望；(2)求甲、乙二人候车时间相等的概率．[解](1)X的所有可能取值为10、30、50、70、90(分钟)，其概率分布列如下：X1030507090P1213136112118故X的数学期望E(X)＝10×12＋30×13＋50×136＋70×112＋90×118＝2459(分钟)．(2)甲、乙二人候车时间分别为10分钟、30分钟、50分钟的概率为P甲10＝16，P甲30＝12，P甲50＝13；P乙10＝12，P乙30＝13，P乙50＝16×16＝136.所以所求概率P＝16×12＋12×13＋13×136＝727.即甲、乙二人候车时间相等的概率为727.[解题方略]求离散型随机变量分布列及期望的关键和步骤由于离散型随机变量的数学期望是根据其分布列运用相应公式求解，因而解决这种问题的关键是求离散型随机变量的分布列，而分布列是由随机变量及其相应的概率值构成的，所以这类问题主要就是求随机变量取各个值的概率．具体步骤如下：[针对训练]有编号为1,2,3，…，n的n个学生，入座编号为1,2,3，…，n的n个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，已知X＝2时，共有6种坐法．(1)求n的值；(2)求随机变量X的分布列和数学期望．解：(1)因为当X＝2时，有C2n种坐法，所以C2n＝6，即nn－12＝6，n2－n－12＝0，解得n＝4或n＝－3(舍去)，所以n＝4.(2)因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，由题意知X的可能取值是0,2,3,4，所以P(X＝0)＝1A44＝124，P(X＝2)＝C24×1A44＝624＝14，P(X＝3)＝C34×2A44＝824＝13，P(X＝4)＝9A44＝38，所以随机变量X的分布列为X0234P124141338E(X)＝0×124＋2×14＋3×13＋4×38＝3.考法二n次独立重复试验模型及二项分布[例2]将4本不同的书随机放入编号为1,2,3,4的四个抽屉中．(1)求4本书恰好放在四个不同抽屉中的概率；(2)设随机变量X表示放在2号抽屉中书的本数，求X的分布列和数学期望E(X)．[解](1)将4本不同的书放入编号为1,2,3,4的四个抽屉中，共有44＝256种不同放法．记“4本书恰好放在四个不同抽屉中”为事件A，则事件A共包含A44＝24个基本事件，所以P(A)＝24256＝332，所以4本书恰好放在四个不同抽屉中的概率为332.(2)每本书放入2号抽屉的概率为P(B)＝14，P(B)＝1－14＝34.根据题意X～B4，14，所以P(X＝k)＝Ck414k·344－k，k＝0,1,2,3,4，所以X的分布列为X01234P812562764271283641256所以X的数学期望为E(X)＝4×14＝1.[解题方略]二项分布的分布列及期望问题求解三步骤第一步判断二项分布先判断随机变量是否服从二项分布，即若满足：①对立性：即一次试验中只有两种结果“成功”和“不成功”，而且有且仅有一个发生；②重复性：试验在相同条件下独立重复地进行n次，保证每一次试验中成功的概率和不成功的概率都保持不变，则该随机变量服从二项分布，否则不服从二项分布第二步求概率若该随机变量服从二项分布，还需要通过古典概型或相互独立事件的概率计算公式计算出试验中“成功”“不成功”的概率分别是多少第三步求期望根据二项分布的分布列列出相应的分布列，再根据期望公式或二项分布期望公式求期望即可[针对训练]高尔顿(钉)板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形铁钉(如图)，并且每一排钉子数目都比上一排多一个，一排中各个钉子恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央．从入口处放入一个直径略小于两颗钉子间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两钉的间隙，又碰到下一排铁钉．如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球．(1)理论上，小球落入4号容器的概率是多少？(2)一数学兴趣小组取3个小球进行试验，设其中落入4号容器的小球个数为X，求X的分布列与数学期望．解：(1)记“小球落入4号容器”为事件A，若要小球落入4号容器，则在通过的四层中有三层需要向右，一层向左．∴P(A)＝C34124＝14.(2)落入4号容器的小球个数X的可能取值为0,1,2,3.∴P(X＝0)＝1－143＝