（同步精品课堂）2019-2020学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2.3 空间向量与空

第三章空间向量与立体几何3.2.3空间向量与空间角学习目标：1.会用向量法求线线、线面、面面的夹角．(重点、难点)2.正确区分向量夹角与所求线线角、面面角的关系．(易错点)[自主预习·探新知]空间角的向量求法角的分类向量求法范围两异面直线l1与l2所成的角θ设l1与l2的方向向量为a，b，则cosθ＝＝0，π2|a·b||a||b||cosa，b|直线l与平面α所成的角θ设l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sinθ＝＝0，π2二面角α­l­β的平面角θ设平面α，β的法向量为n1，n2，则|cosθ|＝＝[0，π]|n1·n2||n1|·|n2||cosa，n||a·n||a||n||cosn1，n2|思考：(1)直线与平面所成的角和直线的方向向量与平面的法向量所成的角有怎样的关系？(2)二面角与二面角的两个半平面的法向量所成的角有怎样的关系？[提示](1)设n为平面α的一个法向量，a为直线a的方向向量，直线a与平面α所成的角为θ，则θ＝π2－〈a，n〉，〈a，n〉∈0，π2，〈a，n〉－π2，〈a，n〉∈π2，π.(2)条件平面α，β的法向量分别为u，υ，α，β所构成的二面角的大小为θ，〈u，υ〉＝φ，图形关系θ＝φθ＝π－φ计算cosθ＝cosφcosθ＝－cosφ[基础自测]1．思考辨析(1)直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值等于直线与平面所成角的正弦值．()(2)两条异面直线所成的角，不可能为钝角．()(3)二面角的余弦值等于二面角的两个半平面的法向量所成角的余弦值．()[答案](1)×(2)√(3)×2．已知向量m，n分别是直线l与平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－32，则l与α所成的角为()A．30°B．60°C．150°D．120°B[设l与α所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈m，n〉|＝32，∴θ＝60°，应选B．]3．长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝3，则异面直线AC与BC1所成角的余弦值为________.510[如图建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，C1(1,1,3)．∴AC→＝(1,1,0)，BC1→＝(0,1,3)，cos〈AC→，BC1→〉＝AC→·BC1→|AC→||BC1→|＝1，1，0·0，1，32×10＝120＝510.综上，异面直线AC与BC1所成角的余弦值为510.][合作探究·攻重难]求两条异面直线所成的角例1、如图3­2­20，在三棱柱OAB­O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝3，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小．图3-2-20[解]建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0,0)，O1(0,1，3)，A(3，0,0)，A1(3，1，3)，B(0,2,0)，∴A1B→＝(－3，1，－3)，O1A→＝(3，－1，－3)．∴|cos〈A1B→，O1A→〉＝|A1B→·O1A→||A1B→|·|O1A→|＝|－3，1，－3·3，－1，－3|7·7＝17.∴异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为17.[规律方法]1.几何法求异面直线的夹角时，需要通过作平行线将异面直线的夹角转化为平面角，再解三角形来求解，过程相当复杂；用向量法求异面直线的夹角，可以避免复杂的几何作图和论证过程，只需对相应向量进行运算即可．2．由于两异面直线夹角θ的范围是0，π2，而两向量夹角α的范围是[0，π]，故应有cosθ＝|cosα|，求解时要特别注意．[跟踪训练]1．已知四棱锥S­ABCD的底面是正方形且侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE，SD所成的角的余弦值为()A．13B．23C．33D．23C[依题意，建立坐标系如图所示，设四棱锥S­ABCD的棱长为2，则A(0，－1,0)，B(1,0,0)，S(0,0,1)，D(－1,0,0)，∴E点坐标为12，0，12，AE→＝12，1，12，SD→＝(－1,0，－1)，∴cos〈AE→，SD→〉＝－162·2＝－33，故异面直线所成角的余弦值为33.故选C．]求直线与平面所成的角例2、如图3­2­21，四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．图3-2-21(1)证明MN∥平面PAB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.[思路探究](1)线面平行的判定定理⇒MN∥平面PAB．(2)利用空间向量计算平面PMN与AN方向向量的夹角⇒直线AN与平面PMN所成角的正弦值．[解](1)证明：由已知得AM＝23AD＝2.如图，取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC的中点知TN∥BC，TN＝12BC＝2.又AD∥BC，故TN═∥AM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT.因为AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，所以MN∥平面PAB．(2)如图，取BC的中点E，连接AE.由AB＝AC得AE⊥BC，从而AE⊥AD，且AE＝AB2－BE2＝AB2－BC22＝5.以A为坐标原点，AE→的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A­xyz.由题意知P(0,0,4)，M(0,2,0)，C(5，2,0)，N52，1，2，PM→＝(0,2，－4)，PN→＝52，1，－2，AN→＝52，1，2.设n＝(x，y，z)为平面PMN的法向量，则n·PM→＝0，n·PN→＝0，即2y－4z＝0，52x＋y－2z＝0，可取n＝(0,2,1)．于是|cos〈n，AN→〉|＝|n·AN→||n||AN→|＝8525.所以直线AN与平面PMN所成角的正弦值为8525.[规律方法]若直线l与平面α的夹角为θ，利用法向量计算θ的步骤如下：[跟踪训练]2.如图3­2­22，在四棱锥P­ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝5.图3-2-22(1)求证：PD⊥平面PAB．(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由．[解](1)证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，所以AB⊥平面PAD．所以AB⊥PD．又因为PA⊥PD，所以PD⊥平面PAB．(2)取AD的中点O，连接PO，CO.因为PA＝PD，所以PO⊥AD．又因为PO⊂平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD．因为CO⊂平面ABCD，所以PO⊥CO.因为AC＝CD，所以CO⊥AD．如图，建立空间直角坐标系O­xyz.由题意得，A(0,1,0)，B(1,1,0)，C(2,0,0)，D(0，－1,0)，P(0，0,1)．设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)，则n·PD→＝0，n·PC→＝0，即－y－z＝0，2x－z＝0.令z＝2，则x＝1，y＝－2.所以n＝(1，－2,2)．又PB→＝(1,1，－1)，所以cos〈n，PB→〉＝n·PB→|n||PB→|＝－33.所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为33.(3)设M是棱PA上一点，则存在λ∈[0,1]使得AM→＝λAP→.因此点M(0,1－λ，λ)，BM→＝(－1，－λ，λ)．因为BM⊄平面PCD，所以要使BM∥平面PCD当且仅当BM→·n＝0，即(－1，－λ，λ)·(1，－2,2)＝0.解得λ＝14.所以在棱PA上存在点M使得BM∥平面PCD，此时AMAP＝14.求二面角[探究问题]1．建立空间直角坐标系时，如何寻找共点的两两垂直的三条直线？提示：应充分利用题目给出的条件，如线面垂直，面面垂直，等腰三角形等，作出适当的辅助线然后证明它们两两垂直，再建系．2．如何确定二面角与两个平面的法向量所成角的大小关系？提示：法一：观察法，通过观察图形，观察二面角是大于π2，还是小于π2.法二：在二面角所含的区域内取一点P，平移两个平面的法向量，使它们的起点为P，然后观察法向量的方向，若两个法向量同时指向平面内侧或同时指向外侧，则二面角与法向量的夹角互补，若两个法向量方向相反，则二面角与法向量的夹角相等．例3、如图3­2­23，在四棱锥P­ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.图3-2-23(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角A­PB­C的余弦值.[思路探究](1)先证线面垂直，再证面面垂直；(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求解．[解](1)证明：由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，得AB⊥AP，CD⊥PD．因为AB∥CD，所以AB⊥PD．又AP∩DP＝P，所以AB⊥平面PAD．因为AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．(2)在平面PAD内作PF⊥AD，垂足为点F.由(1)可知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PF，可得PF⊥平面ABCD．以F为坐标原点，FA→的方向为x轴正方向，|AB→|为单位长度建立如图所示的空间直角坐标系F­xyz.由(1)及已知可得A22，0，0，P0，0，22，B22，1，0，C－22，1，0，所以PC→＝－22，1，－22，CB→＝(2，0,0)，PA→＝22，0，－22，AB→＝(0,1,0)．设n＝(x1，y1，z1)是平面PCB的一个法向量，则n·PC→＝0，n·CB→＝0，即－22x1＋y1－22z1＝0，2x1＝0.所以可取n＝(0，－1，－2)．设m＝(x2，y2，z2)是平面PAB的一个法向量，则m·PA→＝0，m·AB→＝0，即22x2－22z2＝0，y2＝0.所以可取m＝(1,0,1)，则cos〈n，m〉＝n·m|n||m|＝－23×2＝－33.所以二面角A­PB­C的余弦值为－33.[规律方法]利用向量法求二面角的步骤(1)建立空间直角坐标系；(2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量；(3)求两个法向量的夹角；(4)判断所求二面角的平面角是锐角还是钝角；(5)确定二面角的大小．[跟踪训练]3．如图3­2­24，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是DF︵的中点．图3-2-24(1)设P是CE︵上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；(2)当AB＝3，AD＝2时，求二面角E­AG­C的大小．[解](1)因为AP⊥BE，AB⊥BE，AB，AP⊂平面ABP，AB∩AP＝A，所以BE⊥平面ABP.又BP⊂平面ABP，所以BE⊥BP.又∠EBC＝120°，所以∠CBP＝30°.(2)以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由题意得A(0,0,3)，E(2,0,0)，G(1，3，3)，C(－1，3，0)，故AE→＝(2,0，－3)，AG→＝(1，3，0)，CG→＝(2,0,3)．设m＝(x1，y1，z1)是平面AEG的一个法向量，由m·AE→＝0，m·AG→＝0，可得2x1－3z1＝0，x1＋3y1＝0.取z1＝2，可得平面AEG的一个法向量m＝(3，－3，2)．设n＝(x2，y2，z2)是平面ACG的一个法向量，由n·AG→＝0，n·CG→＝0，可得x2＋3y2＝0，2x2＋3z2＝0.取z2＝－2，可得平面ACG的一个法向量n＝(3，－3，－2)．所以cos〈m，n〉＝m·n|m|·|n|＝12.故所求的角为60°.[当堂达标·固双基]1.（2019年海南期中）如图3­2­2