（同步精品课堂）2019-2020学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2.2 空间向量与垂

第三章空间向量与立体几何3.2.2空间向量与垂直关系学习目标：1.能利用平面法向量证明两个平面垂直．(重点)2.能利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明空间中的垂直关系．(重点，难点)[自主预习·探新知]空间中垂直关系的向量表示线线垂直设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔⇔线面垂直设直线l的方向向量是a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔⇔⇔(k∈R)面面垂直若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔⇔＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)a·b＝0a＝kua∥uu·vu⊥v思考：若一个平面内一条直线的方向向量与另一个平面的法向量共线，则这两个平面是否垂直？[提示]垂直[基础自测]1．思考辨析(1)直线的方向向量与平面的法向量垂直，则直线与平面垂直．()(2)两个平面的法向量垂直，则这两个平面垂直．()(3)若一条直线的方向向量垂直于一个平面内两条直线的方向向量，则直线和平面垂直．()[答案](1)×(2)√(3)×2．若直线l的方向向量a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则()A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α斜交B[∵n＝(－2,0，－4)＝－2(1,0,2)＝－2a，∴n∥a，∴l⊥α.]3．若直线l1的方向向量为u1＝(1,3,2)，直线l2上有两点A(1,0,1)，B(2，－1,2)，则两直线的位置关系是________．l1⊥l2[AB→＝(1，－1,1)，u1·AB→＝1×1－3×1＋2×1＝0，因此l1⊥l2.]4．已知两平面α，β的法向量分别为u1＝(1,0,1)，u2＝(0,2,0)，则平面α，β的位置关系为________.α⊥β[u1·u2＝0，则α⊥β.][合作探究·攻重难]应用向量法证明线面垂直例1、如图3­2­10所示，正三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．图3-2-10求证：AB1⊥平面A1BD．[思路探究]法一：通过证明AB1→⊥BA1→，AB1→⊥BD→，得到AB1⊥BA1，AB1⊥BD法二：证明AB1→与平面A1BD的法向量平行．[证明]法一：如图所示，取BC的中点O，连接AO.因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC．因为在正三棱柱ABC­A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1.取B1C1的中点O1，以O为原点，以OB→，OO1→，OA→分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，3)，A(0,0，3)，B1(1,2,0)．所以AB1→＝(1,2，－3)，BA1→＝(－1,2，3)，BD→＝(－2,1,0)．因为AB1→·BA1→＝1×(－1)＋2×2＋(－3)×3＝0.AB1→·BD→＝1×(－2)＋2×1＋(－3)×0＝0.所以AB1→⊥BA1→，AB1→⊥BD→，即AB1⊥BA1，AB1⊥BD．又因为BA1∩BD＝B，所以AB1⊥平面A1BD．法二：建系同方法一．设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥BA1→n⊥BD→，即n·BA1→＝－x＋2y＋3z＝0，n·BD→＝－2x＋y＝0，令x＝1得平面A1BD的一个法向量为n＝(1,2，－3)，又AB1→＝(1,2，－3)，所以n＝AB1→，即AB1→∥n.所以AB1⊥平面A1BD．[规律方法]1.坐标法证明线面垂直有两种思路法一：(1)建立空间直角坐标系；(2)将直线的方向向量用坐标表示；(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；(4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0.法二：(1)建立空间直角坐标系；(2)将直线的方向向量用坐标表示；(3)求出平面的法向量；(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行．2．使用坐标法证明时，如果平面的法向量很明显，可以用法二，否则常常选用法一解决．[跟踪训练]1.如图3­2­11，长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点，求证：直线PB1⊥平面PAC．图3-2-11[证明]依题设，以D为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，则C(1,0,0)，P(0,0,1)，A(0，1,0)，B1(1,1,2)，于是CA→＝(－1,1,0)，CP→＝(－1,0,1)，PB1→＝(1,1,1)，∴CA→·PB1→＝(－1,1,0)·(1,1,1)＝0，CP→·PB1→＝(－1,0,1)·(1,1,1)＝0，故CP→⊥PB1→，CA→⊥PB1→，即PB1⊥CP，PB1⊥CA，又CP∩CA＝C，且CP⊂平面PAC，CA⊂平面PAC．故直线PB1⊥平面PAC．应用向量法证明面面垂直例2、如图3­2­12所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E为BB1的中点，证明：平面AEC1⊥平面AA1C1C．图3-2-12[思路探究]要证明两个平面垂直，由两个平面垂直的条件，可证明这两个平面的法向量垂直，转化为求两个平面的法向量n1，n2，证明n1·n2＝0.[解]由题意得AB，BC，B1B两两垂直．以B为原点，BA，BC，BB1分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则A(2,0,0)，A1(2,0,1)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，E0，0，12，则AA1→＝(0,0,1)，AC→＝(－2,2,0)，AC1→＝(－2,2,1)，AE→＝－2,0，12.设平面AA1C1C的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)．则n1·AA1→＝0，n1·AC→＝0⇒z1＝0，－2x1＋2y1＝0.令x1＝1，得y1＝1.∴n1＝(1,1,0)．设平面AEC1的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)．则n2·AC1→＝0，n2·AE→＝0⇒－2x2＋2y2＋z2＝0，－2x2＋12z2＝0，令z2＝4，得x2＝1，y2＝－1.∴n2＝(1，－1,4)．∵n1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0.∴n1⊥n2，∴平面AEC1⊥平面AA1C1C．[规律方法]1.利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直．2．向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法“公式化”，降低了思维难度．[跟踪训练]2．三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图3­2­13所示，截面为三角形A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面ABC．A1A＝3，AB＝AC＝2A1C1＝2，D为BC中点．图3-2-13证明：平面A1AD⊥平面BCC1B1.[证明]如图，建立空间直角坐标系．则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0，3)，C1(0,1，3)，因为D为BC的中点，所以D点坐标为(1,1,0)，所以BC→＝(－2,2,0)，AD→＝(1,1,0)，AA1→＝(0,0，3)，因为BC→·AD→＝－2＋2＋0＝0，BC→·AA1→＝0＋0＋0＝0，所以BC→⊥AD→，BC→⊥AA1→，所以BC⊥AD，BC⊥AA1，又AD∩AA1＝A，所以BC⊥平面ADA1，而BC⊂平面BCC1B1，所以平面A1AD⊥平面BCC1B1.[当堂达标·固双基]1．（2018年广安月考）若直线l的方向向量a＝(8，－12,0)，平面α的法向量μ＝(2，－3,0)，则直线l与平面α的位置关系是()A．l∥αB．l⊥αC．直线l与平面α相交但不垂直D．无法确定【答案】B[∵μ＝14a.∴μ∥a，∴l⊥α.]2．（2019年孝感期中）若平面α，β垂直，则下面可以作为这两个平面的法向量的是()A．n1＝(1,2,1)，n2＝(－3,1,1)B．n1＝(1,1,2)，n2＝(－2,1,1)C．n1＝(1,1,1)，n2＝(－1,2,1)D．n1＝(1,2,1)，n2＝(0，－2，－2)【答案】A[选项A中，n1·n2＝1×(－3)＋2×1＋1×1＝0.故选A．]3．（2019年重庆期末）已知AB→＝(2,2,1)，AC→＝(4,5,3)，则平面ABC的一个单位法向量为()A．－13，－23，－23B．－13，23，－23C．－13，23，23D．13，23，23【答案】B[设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则有2x＋2y＋z＝0，4x＋5y＋3z＝0，取x＝1，则y＝－2，z＝2.所以n＝(1，－2,2)．由于|n|＝3，所以平面ABC的一个单位法向量可以是－13，23，－23.]4．（2018年温州期末）已知平面α和平面β的法向量分别为a＝(1,2,3)，b＝(x，－2,3)，且α⊥β，则x＝________.【答案】－5[∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝x－4＋9＝0，∴x＝－5.]5．（2017年黄陵县模拟）在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为CC1的中点，证明：平面B1ED⊥平面B1BD．【答案】以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，B1(1,1,1)，E0，1，12，DB1→＝(1,1,1)，DE→＝0，1，12，设平面B1DE的法向量为n1＝(x，y，z)，则x＋y＋z＝0且y＋12z＝0，令z＝－2，则y＝1，x＝1，∴n1＝(1,1，－2)．同理求得平面B1BD的法向量为n2＝(1，－1,0)，由n1·n2＝0，知n1⊥n2，∴平面B1DE⊥平面B1BD．