（陕西专用）2019版中考数学一练通 第一部分 基础考点巩固 第四章 三角形 4.2 三角形及其性质

第四章三角形4.2三角形及其性质考点1三角形的分类陕西考点解读三角形按边的关系分类如下：三角形按边的关系分类如下：陕西考点解读等腰三角形中至少有两边相等，而等边三角形的三边都相等，所以等边三角形是特殊的等腰三角形。【特别提示】【提分必练】1.已知一个三角形三个内角的度数之比为1∶2∶3，则这个三角形一定是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形B考点2三角形的三边关系陕西考点解读中考说明:1.探索并证明三角形的内角和定理。2.掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。证明三角形的任意两边之和大于第三边。1.三角形的三边关系定理及其推论(1)三角形的三边关系定理：三角形的两边之和①大于第三边。(2)推论：三角形的两边之差②小于第三边。2.三角形的内角和定理及其推论(1)三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°。(2)推论：a.直角三角形的两个锐角③互余。b.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。c.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的④内角。陕西考点解读【特别提示】1.运用三角形的三边关系时，不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段之和大于第三条线段即可。2.一个三角形有六个外角。要证明角的不等关系，常常要用到三角形的外角的性质：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。陕西考点解读【提分必练】2.下列长度的三条线段，能组成三角形的是()A.4cm，5cm，9cmB.8cm，8cm，15cmC.5cm，5cm，10cmD.6cm，7cm，14cm3.将一副直角三角板按如图的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边在同一条直线上，则∠α的度数是()A.45°B.60°C.75°D.85°BC考点3三角形的相关线段陕西考点解读中考说明:1.理解三角形的中线、高线、角平分线等概念。2.探索并证明三角形的中位线定理。陕西考点解读1.三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线。2.三角形的一条中线将这个三角形分成面积相等的两个三角形。3.三角形的角平分线、中线都在三角形的内部。锐角三角形的高在其内部(如图①)；直角三角形的两条直角边互为高，三条高的交点在直角三角形的直角顶点处(如图②)；钝角三角形有两条高在三角形的外部，三条高的延长线的交点在三角形的外部(如图③)。陕西考点解读【特别提示】陕西考点解读【提分必练】4.如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式错误的是()A.AB=2BFB.∠ACE=∠ACBC.AE=BED.CD⊥BEC12考点4特殊三角形的性质与判定陕西考点解读中考说明:1.探索并证明等腰三角形的性质定理。2.探索并掌握等腰三角形的判定定理。3.探索等边三角形的性质定理与判定定理。4.探索并掌握直角三角形的性质定理。5.探索勾股定理及其逆定理。1.等腰三角形的性质与判定(1)定义：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，如图①，△ABC为等腰三角形。(2)性质：①两个底角相等，即∠B=∠C；②两腰相等，即AB=AC；③等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴，即直线AD；④三线合一：等腰三角形⑧顶角的平分线、⑨底边上的高、底边上的中线互相重合。(3)判定：①有两边相等的三角形是等腰三角形；②有两角相等的三角形是等腰三角形。(4)等腰三角形的面积计算公式：⑪，其中a是底边长，h是底边上的高。陕西考点解读12Sah2.等边三角形的性质与判定(1)定义：三边都相等的三角形叫作等边三角形，如图②，△ABC为等边三角形。(2)性质：①三条边相等，即AB=AC=BC；②三个角相等，且每个角都等于⑫60°；③是轴对称图形，有三条对称轴。(3)判定：①三边都相等的三角形是等边三角形；②三角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的⑬等腰三角形是等边三角形。(4)等边三角形的面积计算公式：⑭，a是等边三角形的边长，h是等边三角形的高。陕西考点解读234a12Sah3.直角三角形的性质与判定(1)性质：①直角三角形的两个锐角⑮互余；②在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的⑯一半；③直角三角形斜边上的中线等于斜边的⑰一半。(2)勾股定理:直角三角形两直角边长a，b的平方和等于斜边长c的平方，即a2+b2=c2。(3)常用关系式:如图，由三角形的面积公式，得AB·CD=AC·BC。(4)判定：①有一个角是直角的三角形是直角三角形；②如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形；③勾股定理的逆定理：如果三角形两条边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形。陕西考点解读【特别提示】陕西考点解读1.若题目中没有明确指出三角形的边是底还是腰，没有明确指出三角形的角是顶角还是底角时，要进行分类讨论。2.底角为顶角2倍的等腰三角形，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形。3.等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合。4.运用勾股定理的前提是在直角三角形，且必须在同一个直角三角形中。勾股定理把“数”和“形”有机地结合起来，是数形结合思想方法的典型。【知识延伸】射影定理在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项，如图。222·90··CDADBDACBACADABCDABBCBDAB，，，，。【提分必练】陕西考点解读5.如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于()A.15°B.30°C.45°D.60°6.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，E是边BC的中点，AD=ED=3，则BC的长为()A.B.C.6D.AD323362考点5三角形的五心陕西考点解读【提分必练】陕西考点解读三角形的重心把中线分为2∶1的两部分(重心到顶点的距离占2份，重心到对边中点的距离占1份)。【特别提示】7.如图，在△ABC中，∠A=66°，点I是内心，则∠BIC的大小为()A.114°B.122°C.123°D.132°C重难点1三角形中的重要线段(重点)重难突破强化例1(2018·西安莲湖区模拟)如图，在△ABC中，AC=5，AB=6，BC=9，AB的垂直平分线交BC于点D，则△ACD的周长是()A.11B.14C.15D.20B【解析】∵MN是AB的垂直平分线，∴DA=DB，∴△ACD的周长为AD+CD+AC=BD+CD+AC=BC+AC=9+5=14。故选B。重难点2特殊三角形的相关计算(重点、难点)重难突破强化例2(2018·福建中考)把两个同样大小的含45°角的直角三角尺按如图的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上。若AB=，则CD=_______。【解析】如答图，过点A作AF⊥BC于点F。在Rt△ABC中，∠B=45°，∴BC=AB=2，BF=AF=AB=1。∵这两个含45°角的直角三角尺全等，∴AD=BC=2。在Rt△ADF中，DF=∴CD=BF+DF-BC=2312222222213,ADAF13231。重难点3特殊三角形的判定（易错点)重难突破强化例3(2018·黑龙江中考)在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是________________。【解析】在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴AC=S△ABC=AB·BC=6。过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，有三种情况：①当AB=AP=3时，如答图①，S△ABP=·S△ABC=×6=3.6；123.6或4.32或4.822=5ABBC，APAC35②当AB=BP=3，且点P在AC上时，如答图②，作Rt△ABC斜边AC上的高BD，则BD=∴AD=DP=∴AP=2AD=3.6，∴S△ABP=AP·BD=×3.6×2.4=4.32；③当CB=CP=4时，如答图③，S△BCP=·S△ABC=×6=4.8。综上所述，等腰三角形的面积可能为3.6或4.32或4.8。重难突破强化【易错警示】此题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质以及三角形的面积。在判定等腰三角形时，容易因为考虑不全面导致漏解。避免漏解的方法：正确认识等腰三角形中的有关概念，审题要细心，考虑要全面。该题中未明确指出等腰三角形的腰或顶角，所以要分情况讨论，找出所有可能的分割方法，并求出得到的相应的等腰三角形的面积。342.4,5ABBCAC2232.41.8,1212CPAC45