（全国通用）2020版高考数学二轮复习 专题提分教程 第二编 专题五 解析几何 第2讲 椭圆、双曲线

第2讲椭圆、双曲线、抛物线第二编讲专题专题五解析几何「考情研析」1.考查圆锥曲线的定义、方程及几何性质，特别是椭圆、双曲线的离心率和双曲线的渐近线．2.以解答题的形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等).1核心知识回顾PARTONE1.圆锥曲线的定义式(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a|F1F2|)；(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a|F1F2|)；(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M(l为抛物线的准线方程)．2．圆锥曲线的重要性质(1)椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系①在椭圆中：_____________；离心率为e＝ca＝1－b2a2；②在双曲线中：_______________；离心率为e＝ca＝1＋b2a2.□01a2＝b2＋c2□02c2＝a2＋b2(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标①双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的渐近线方程为________________；焦点坐标F1__________________，F2__________________；②双曲线y2a2－x2b2＝1(a0，b0)的渐近线方程为______________，焦点坐标F1__________________，F2_________________．□03y＝±bax□04(－c,0)□05(c,0)□06y＝±abx□07(0，－c)□08(0，c)(3)抛物线的焦点坐标与准线方程①抛物线y2＝±2px(p0)的焦点坐标为_________，准线方程为_________；②抛物线x2＝±2py(p0)的焦点坐标为_________，准线方程为________.□09±p2，0□10x＝∓p2□110，±p2□12y＝∓p23．弦长问题(1)弦长公式设直线斜率为k，直线与圆锥曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2x1＋x22－4x1x2或|AB|＝1＋1k2|y1－y2|＝1＋1k2y1＋y22－4y1y2.(2)过抛物线焦点的弦长过抛物线y2＝2px(p0)焦点F的弦AB，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝p24，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝__________________□01x1＋x2＋p.2热点考向探究PARTTWO热点考向探究考向1圆锥曲线的定义和标准方程例1(1)(2019·永州市高三第三次模拟)过双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)左焦点F的直线l与C交于M，N两点，且FN→＝3FM→，若OM⊥FN，则C的离心率为()A．2B.7C．3D.10答案B解析设双曲线的右焦点为F′，取MN的中点P，连接F′P，F′M，F′N，如图所示，由FN→＝3FM→，可知|MF|＝|MP|＝|NP|.又O为FF′的中点，可知OM∥PF′.∵OM⊥FN，∴PF′⊥FN.∴PF′为线段MN的垂直平分线．∴|NF′|＝|MF′|.设|MF|＝t，由双曲线定义可知|NF′|＝3t－2a，|MF′|＝2a＋t，则3t－2a＝2a＋t，解得t＝2a.在Rt△MF′P中，|PF′|＝|MF′|2－|MP|2＝16a2－4a2＝23a，∴|OM|＝12|PF′|＝3a.在Rt△MFO中，|MF|2＋|OM|2＝|OF|2，∴4a2＋3a2＝c2⇒e＝7.故选B.(2)如图，过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为()A．y2＝32xB．y2＝3xC．y2＝92xD．y2＝9x答案B解析如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设准线与x轴的交点为G，|BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a，由定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30°.在直角三角形ACE中，∵|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a,2|AE|＝|AC|，∴3＋3a＝6，从而得a＝1.∵BD∥FG，∴1p＝23，求得p＝32，因此抛物线的方程为y2＝3x.(3)已知F是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若|PF|＝2|QF|，且∠PFQ＝120°，则椭圆E的离心率为()A.13B.12C.33D.22答案C解析解法一：设F1是椭圆E的右焦点，如图，连接PF1，QF1.根据对称性，线段FF1与线段PQ在点O处互相平分，所以四边形PFQF1是平行四边形，|FQ|＝|PF1|，∠FPF1＝180°－∠PFQ＝60°，根据椭圆的定义，|PF|＋|PF1|＝2a，又|PF|＝2|QF|，所以|PF1|＝23a，|PF|＝43a，而|F1F|＝2c，在△F1PF中，由余弦定理，得(2c)2＝23a2＋43a2－2×23a×43a×cos60°，得c2a2＝13，所以椭圆E的离心率e＝ca＝33.故选C.解法二：设F1是椭圆E的右焦点，连接PF1，QF1.根据对称性，线段FF1与线段PQ在点O处互相平分，所以四边形PFQF1是平行四边形，|FQ|＝|PF1|，∠FPF1＝180°－∠PFQ＝60°，又|FP|＝2|PF1|，所以△FPF1是直角三角形，∠FF1P＝90°，不妨设|PF1|＝1，则|FP|＝2，|FF1|＝2c＝|PF|2－|PF1|2＝22－12＝3，根据椭圆的定义，2a＝|PF|＋|PF1|＝1＋2＝3，所以椭圆E的离心率e＝ca＝33.故选C.圆锥曲线的定义、标准方程的关注点(1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式．(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定．(3)焦点三角形的作用：借助焦点三角形能很好地将定义式与三角形中的边角关系式构建方程组，便于解决问题．(4)圆锥曲线基本问题的考查的另一个重点是定义的应用，根据圆锥曲线的定义分析判断一些问题，在椭圆、双曲线中如果已知曲线上一点与一个焦点的连线，则要把另一个焦点也考虑进去．1．(2019·江西省八所重点中学高三联考)已知曲线C1是以原点O为中心，F1，F2为焦点的椭圆，曲线C2是以O为顶点、F2为焦点的抛物线，A是曲线C1与C2的交点，且∠AF2F1为钝角，若|AF1|＝72，|AF2|＝52，则△AF1F2的面积是()A.3B．2C.6D．4答案C解析画出图形如图所示，AD⊥F1D，根据抛物线的定义可知|AF2|＝|AD|＝52，故cos∠F1AD＝57，也即cos∠AF1F2＝57，在△AF1F2中，由余弦定理得57＝494＋|F1F2|2－2542×72×|F1F2|，解得|F1F2|＝2或|F1F2|＝3，由于∠AF2F1为钝角，故|AD||F1F2|，所以|F1F2|＝3舍去，故|F1F2|＝2.而sin∠AF1F2＝1－572＝267，所以S△AF1F2＝12×72×2×267＝6.故选C.2．(2019·宣城市高三第二次调研)已知F1，F2分别为椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，点P是椭圆上位于第二象限内的点，延长PF1交椭圆于点Q，若PF2⊥PQ，且|PF2|＝|PQ|，则椭圆的离心率为()A.6－3B.2－1C.3－2D．2－2答案A解析PF2⊥PQ且|PF2|＝|PQ|，可得△PQF2为等腰直角三角形，设|PF2|＝t，则|QF2|＝2t，由椭圆的定义可得|PF1|＝2a－t,2t＋2t＝4a，则t＝22－2a，在直角三角形PF1F2中，可得t2＋(2a－t)2＝4c2,4(6－42)a2＋(12－82)a2＝4c2，化为c2＝(9－62)a2，可得e＝ca＝6－3.故选A.3．P是双曲线C：x22－y2＝1右支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线，P在l上的射影为Q，F1是双曲线C的左焦点，则|PF1|＋|PQ|的最小值为()A．1B．2＋155C．4＋155D．22＋1答案D解析如图所示，设双曲线右焦点为F2，则|PF1|＋|PQ|＝2a＋|PF2|＋|PQ|，即当|PQ|＋|PF2|最小时，|PF1|＋|PQ|取最小值，由图知当F2，P，Q三点共线时|PQ|＋|PF2|取得最小值，即F2到直线l的距离d＝1，故所求最值为2a＋1＝22＋1.故选D.考向2圆锥曲线的几何性质例2(1)(2019·宣城市高三第二次调研)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，直线PO交双曲线C左支于点M，直线PF2交双曲线C右支于点N，若|PF1|＝2|PF2|，且∠MF2N＝60°，则双曲线C的渐近线方程为()A．y＝±2xB．y＝±22xC．y＝±2xD．y＝±22x答案A解析由题意得，|PF1|＝2|PF2|，|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，由于P，M关于原点对称，F1，F2关于原点对称，∴线段PM，F1F2互相平分，四边形PF1MF2为平行四边形，PF1∥MF2，∵∠MF2N＝60°，∴∠F1PF2＝60°，由余弦定理可得4c2＝16a2＋4a2－2·4a·2a·cos60°，∴c＝3a，∴b＝c2－a2＝2a.∴ba＝2，∴双曲线C的渐近线方程为y＝±2x.故选A.(2)已知F1，F2为双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线右支的一个交点为P，PF1与双曲线相交于点Q，且|PQ|＝2|QF1|，则该双曲线的离心率为()A.5B．2C.3D.52答案A解析设|QF1|＝x，则|PF1|＝3x，|PQ|＝2x，由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2a，|QF2|－|QF1|＝2a，所以|PF2|＝3x－2a，|QF2|＝x＋2a，在Rt△QPF2中，|QP|2＋|PF2|2＝|QF2|2，即(2x)2＋(3x－2a)2＝(2a＋x)2，可得x＝43a.在Rt△PF1F2中，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即(3x)2＋(3x－2a)2＝(2c)2，整理可得c2＝5a2，所以e＝ca＝5.故选A.1．椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求解方法解决此类问题的关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、图形的结构特征、点的坐标的范围等．2．双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得．(2)用法：①可得ba或ab的值．②利用渐近线方程设所求双曲线的方程．③利用渐近线的斜率k求离心率e，双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)渐近线的斜率k与离心率e之间满足关系式e2＝1＋k2.1．设F1，F2分别是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，l在y轴上的截距为1，若|AF1|＝2|F1B|，且AF2⊥x轴，则此椭圆的短轴的长为()A．5B．25C．10D.5答案B解析∵AF2⊥x轴，l在y轴上的截距为1，∴A(c,2)，又|AF1|＝2|F1B|，∴B(－2c，－1)，则c2a2＋4b2＝1，4c2a2＋1b2＝1，∴16b2－1b2＝3，即b2＝5，∴b＝5，故选B.2．(2019·毛坦厂中学高三联考)已知F是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左焦点，过点F作垂直于x轴的直线交该双曲线的一条渐近线于点M，若|FM|＝2a，记该双曲线的离心率为e，则e2＝()A.1＋172B.1＋174C.2＋52D.2＋54答案A解析由题意得，F(－c,0)，该双曲线的一条渐近线为y＝－bax，将x＝－c