（名师讲坛）2020版高考数学二轮复习 专题一 三角函数和平面向量 微切口4 三角形中的最值问题课件

专题一三角函数和平面向量微切口4三角形中的最值问题(1)如图，在△ABC中，若AB＝AC，AD＝DC，BD＝3，则△ABC面积的最大值为________．【思维引导】2【解析】方法一：(利用余弦定理)设AD＝DC＝m，则AB＝2m，所以cosA＝5m2－34m2，故sinA＝－9m4＋30m2－94m2，所以S△ABC＝－9m4＋30m2－92＝－9m2－532＋162，易知当m2＝53时，S△ABC取得最大值2.方法二：(利用向量知识求解)设AH为BC边上的高．由BD→＝BA→＋12AC→，得BD→2＝BA→＋12AC→2＝54BA→2＋BA→·AC→＝3，所以S＝12|AH→|·|BC→|＝1214AB→＋AC→2·AC→－AB→2＝142AB→2＋2AB→·AC→·2AB→2－2AB→·AC→＝14－94AB→4＋30AB→2－36，以下类似方法一．(2)(2019·苏州大学考前指导卷)在锐角三角形ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a，b，c成等差数列，则cacosB的取值范围为________．925，1【解析】设ca＝t，若a≤b≤c，则2b＝a＋c，a＋b＞c，a2＋b2＞c2，可得1≤t53；若a≥b≥c，则2b＝a＋c，b＋c＞a，b2＋c2＞a2，可得35t≤1.综上，35t53.由cosB＝a2＋c2－b22ac＝a2＋c2－（a＋c）242ac＝3a2＋3c2－2ac8ac＝381t＋t－14，得cacosB＝t381t＋t－14＝38t2－t4＋38.因为二次函数y＝38t2－t4＋38图象的对称轴方程为t＝13，所以此二次函数在t∈35，53上单调递增，所以92538t2－t4＋381，即925cacosB1.(2019·南方凤凰台密题)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c，且sin2A＋sin2B－sin2CacosB＋bcosA＝sinAsinBc，若a＋b＝4，则c的取值范围为________．[2,4)【解析】因为sin2A＋sin2B－sin2CacosB＋bcosA＝sinAsinBc，由正弦定理，得a2＋b2－c2sinC＝absinAcosB＋sinBcosA＝absinA＋B＝absinC，所以a2＋b2－c2＝ab.由余弦定理得cosC＝a2＋b2－c22ab＝ab2ab＝12，则C＝π3，所以c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－3ab＝16－3ab≥16－3×a＋b22＝4，所以c≥2.又三角形的两边之和大于第三边，所以2≤c＜4.在△ABC中，已知AB→·AC→＝|AB→－AC→|＝2.(1)求|AB→|2＋|AC→|2的值；【思维引导】【解答】设角A，B，C的对边分别为a，b，c，由已知得AB→·AC→＝2，且c2－2AB→·AC→＋b2＝4，因此b2＋c2＝8，即|AB→|2＋|AC→|2＝8.(2)当△ABC的面积最大时，求角A的大小．所以S△ABC＝12bcsinA＝12bc1－cos2A＝12(c2b2－4)12≤3，当且仅当|AB→|＝|AC→|＝2时等号成立，故当△ABC的面积取最大值3时，cosA＝12，故A＝π3.【解答】因为cosA＝1b·1cAB→·AC→＝2b·1c，已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(c＋a，b)，n＝(c－a，b＋c)，且a＝3，m⊥n.(1)求△ABC面积的最大值；【解答】因为m⊥n，所以(c＋a)(c－a)＋b(b＋c)＝0，即c2－a2＋b2＋bc＝0，所以cosA＝b2＋c2－a22bc＝－12，又A是三角形的内角，所以A＝120°.由c2－a2＋b2＋bc＝0，且a＝3，得b2＋c2＝9－bc≥2bc，解得bc≤3，所以S△ABC＝12bcsinA≤12×3×sin120°＝334，所以△ABC面积的最大值为334.(2)求b＋c的取值范围．【解答】由(1)可知c2＋b2＋bc＝9，即(b＋c)2－bc＝9，则(b＋c)2－9＝bc≤b＋c22，解得b＋c≤23.又b＋ca＝3，所以b＋c的取值范围是(3,23]．1.求解最值问题时，要注意三角形内角和为π这一限制条件．例如，若△ABC是锐角三角形，则0Aπ2，A＋Bπ2，sinAcosB，sinBcosC.2.求解最值问题的关键在于将三角函数f(x)进行正确地“化一”及“化一”后角的范围的确定，因此，求解时要准确运用三角公式，并借助三角函数的图象和性质去确定函数f(x)的最值．同时要注意两边之和大于第三边等隐含条件．3.求周长或面积的范围与最值时可转化为边与角的范围，也可利用基本不等式求范围．