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专题一三角函数和平面向量微切口3以正切为背景的最值和范围问题(1)(2019·江苏百校大联考)在斜三角形ABC中,若1tanA+1tanB+2tanC=0,则tanC的最大值是__________.【思维引导】-3【解析】因为A+B+C=π,所以tanC=-tan(A+B)=-tanA+tanB1-tanA·tanB.又1tanA+1tanB+2tanC=0,则tanA+tanBtanA·tanB-2tanA+tanB1-tanA·tanB=0.若tanA+tanB=0,则tanC=0,不符合题意,所以tanA+tanB≠0,所以1tanA·tanB-21-tanA·tanB=0,解得tanAtanB=13.因为A,B,C中至多有一个钝角,所以tanA>0,tanB>0,则tanC=-tanA+tanB1-tanA·tanB=-tanA+tanB1-13=-32(tanA+tanB)≤-32×2tanA×tanB=-3,当且仅当tanA=tanB=33时等号成立.(2)(2019·江苏新海中学调研)在△ABC中,若tanA,tanB,tanC依次成等比数列,则B的取值范围为________.π3,π2【解析】由已知得tan2B=tanAtanC,则tanA0,tanC0,tanB=-tanA+tanC1-tanAtanC=tanA+tanCtan2B-1,则tan3B-tanB=tanA+tanC≥2tanAtanC=2tanB,即tan3B≥3tanB,所以tan2B≥3,所以tanB≥3,所以B的取值范围是π3,π2.在△ABC中,若sinA+2sinBcosC=0,则tanA的最大值是________.33【解析】因为sinA+2sinBcosC=0,所以a+2bcosC=0,所以a+2b·a2+b2-c22ab=0,所以2a2+b2-c2=0.又tan2A=1cos2A-1,且cosA=b2+c2-a22bc=3b2+c24bc≥23bc4bc=32,当且仅当3b=c时等号成立,则cosA的最小值为32,所以tan2A的最大值为13,故tanA的最大值为33.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知点(a,b)在直线x(sinA-sinB)+ysinB=csinC上.(1)求角C的大小;【思维引导】【解答】由题意知a(sinA-sinB)+bsinB=csinC,则由正弦定理得a2+b2-c2=ab,由余弦定理知cosC=a2+b2-c22ab=12,又C∈(0,π),所以C=π3.(2)若△ABC为锐角三角形且满足mtanC=1tanA+1tanB,求实数m的最小值.【解答】由mtanC=1tanA+1tanB,可得m=1tanA+1tanBtanC,即m=sinCcosCcosAsinA+cosBsinB=sinCcosC×cosAsinB+cosBsinAsinAsinB=sinCcosC×sinCsinAsinB,由正、余弦定理可得m=c2ab×1cosC=2c2ab=2a2+b2-abab=2ba+ab-1≥2,当且仅当a=b时等号成立,所以实数m的最小值为2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若△ABC为锐角三角形,且满足b2-a2=ac,则1tanA-1tanB的取值范围是________.1,233【解析】因为b2-a2=ac,所以b2=a2+c2-2accosB=a2+ac,所以c=2acosB+a,所以sinC=2sinAcosB+sinA.又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,所以sinA=cosAsinB-sinAcosB=sin(B-A).因为△ABC为锐角三角形,所以A=B-A,所以B=2A,C=π-3A,所以0<2A<π2,0<π-3A<π2,所以A∈π6,π4,B∈π3,π2,所以1tanA-1tanB=cosAsinA-cosBsinB=cosAsinB-cosBsinAsinAsinB=sinB-AsinAsinB=1sinB.因为B∈π3,π2,所以sinB∈32,1,所以1tanA-1tanB∈1,233.以正切为背景的三角函数最值或范围问题,解题的基本途径是弦切互化,利用基本不等式或三角函数的有界性求解.
本文标题:(名师讲坛)2020版高考数学二轮复习 专题一 三角函数和平面向量 微切口3 以正切为背景的最值和范
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