（名师讲坛）2020版高考数学二轮复习 专题六 数列 微切口22 数列中的整数解问题课件

专题六数列微切口22数列中的整数解问题已知等差数列{an}的前n项和是Sn，S3＝9，S6＝36.(1)求数列{an}的通项公式；【解答】设等差数列{an}的公差是d，由S3＝9，S6＝36，得3a1＋3d＝9，6a1＋15d＝36，解得a1＝1，d＝2，所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，即等差数列{an}的通项公式为an＝2n－1.【思维引导】(2)是否存在正整数m，k，使得am，am＋5，ak成等比数列？若存在，求出m和k的值；若不存在，请说明理由．•【解答】am，am＋5，ak成等比数列等价于(2m－1)(2k－1)＝(2m＋9)2，即2k－1＝2m＋922m－1＝2m－1＋1022m－1＝2m－1＋20＋1002m－1，所以k＝m＋10＋502m－1，m，k是正整数．由于m，k是正整数，故2m－1只可能取1,5,25.当2m－1＝1，即m＝1时，k＝61；当2m－1＝5，即m＝3时，k＝23；当2m－1＝25，即m＝13时，k＝25.所以存在正整数m，k，使得am，am＋5，ak成等比数列，m和k的值分别是m＝1，k＝61或m＝3，k＝23或m＝13，k＝25.已知数列{an}是各项均不为0的等差数列，Sn为其前n项和，且满足a2n＝S2n－1，令bn＝1an·an＋1，数列{bn}的前n项和为Tn.(1)求数列{an}的通项公式及数列{bn}的前n项和Tn；【思维引导】【解答】因为{an}是等差数列，由a2n＝S2n－1＝a1＋a2n－12n－12＝(2n－1)an，又因为an≠0，所以an＝2n－1.由bn＝1anan＋1＝12n－12n＋1＝1212n－1－12n＋1，所以Tn＝121－13＋13－15＋…＋12n－1－12n＋1＝n2n＋1.(2)是否存在正整数m，n(1mn)，使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由．【解答】由(1)知，Tn＝n2n＋1，所以T1＝13，Tm＝m2m＋1，Tn＝n2n＋1，若T1，Tm，Tn成等比数列，则m2m＋12＝13n2n＋1，即m24m2＋4m＋1＝n6n＋3.方法一：由m24m2＋4m＋1＝n6n＋3，可得3n＝－2m2＋4m＋1m2，所以－2m2＋4m＋10，从而1－62m1＋62，又m∈N，且m1，所以m＝2，此时n＝12.故可知当且仅当m＝2,n＝12可使得数列{Tn}中的T1，Tm，Tn成等比数列．方法二：因为n6n＋3＝16＋3n16，故m24m2＋4m＋116，即2m2－4m－10，从而1－62m1＋62，以下同方法一．在数列{an}中，已知a2＝1，前n项和为Sn，且Sn＝nan－a12.(1)求a1的值；【解答】令n＝1，则a1＝S1＝1a1－a12＝0.【思维引导】•②－①得(n－1)an＋1＝nan，③•所以nan＋2＝(n＋1)an＋1.④•③＋④得nan＋2＋nan＝2nan＋1，•即an＋2＋an＝2an＋1.•又a1＝0，a2＝1，a2－a1＝1，•所以数列{an}是以0为首项，1为公差的等差数列，•所以数列{an}的通项公式为an＝n－1.(2)证明：数列{an}为等差数列，并写出其通项公式；【解答】由Sn＝nan－a12，即Sn＝nan2，①得Sn＋1＝n＋1an＋12.②(3)设lgbn＝an＋13n，试问：是否存在正整数p，q(其中1＜p＜q)，使得b1，bp，bq成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p，q)；若不存在，请说明理由．【解答】假设存在正整数数组(p，q)，使得b1，bp，bq成等比数列，则lgb1，lgbp，lgbq成等差数列，所以2p3p＝13＋q3q，所以q＝3q2p3p－13(☆)，易知(p，q)＝(2,3)为方程(☆)的一组解．当p≥3，且p∈N*时，2p＋13p＋1－2p3p＝2－4p3p＋1＜0，故数列2p3p(p≥3)为递减数列，于是2p3p－13≤2×333－13＜0，所以此时方程(☆)无正整数解．综上，存在唯一的正整数数组(p，q)＝(2,3)，使得b1，bp，bq成等比数列．1.二元不定方程(双变量的不定方程)，在高中阶段主要是求出此类不定方程的整数解，方法较灵活，常用的三种方法如下：(1)因式分解法：先将不定方程两边的数分解为质因数的乘积，多项式分解为若干个因式的乘积，再由题意分类讨论求解．(2)利用整除性质：在二元不定方程中，当其中一个变量很好分离时，可分离变量后利用整除性质解决．(3)不等式估计法：利用不等式工具确定不定方程中某些字母的范围或等式一边的范围，再分别求解．如转化为f(m)＝g(n)型，利用g(n)的上界或下界来估计f(m)的范围，通过解不等式得出m的范围，再一一验证即可．2.多元整数不定方程：当变量的值为整数时，不定方程的解可能有有限多组解．通常的处理方式有两种：(1)通过对表达式进行因式分解，对另一侧的常数进行因数分解，将不定方程拆成多个方程的方程组，进而解出变量；(2)将一个字母视为变量(其余视为参数)并进行参变分离，求出含变量函数的值域，进而将参数置于一个范围内，再利用整数的离散性求得参数的值．