（京津鲁琼专用）2020版高考数学二轮复习 第二部分 专题六 函数与导数 第3讲 导数的简单应用课件

数学第二部分高考热点分层突破专题六函数与导数第3讲导数的简单应用02研考点考向破重点难点01做高考真题明命题趋向[做真题]题型一导数的几何意义1．(2018·高考全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为()A．y＝－2xB．y＝－xC．y＝2xD．y＝x解析：选D.法一：因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以(－x)3＋(a－1)(－x)2＋a(－x)＝－[x3＋(a－1)x2＋ax]，所以2(a－1)x2＝0，因为x∈R，所以a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x.故选D.法二：因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f(－1)＋f(1)＝0，所以－1＋a－1－a＋(1＋a－1＋a)＝0，解得a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x.故选D.2．(2019·高考全国卷Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xlnx在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则()A．a＝e，b＝－1B．a＝e，b＝1C．a＝e－1，b＝1D．a＝e－1，b＝－1解析：选D.因为y′＝aex＋lnx＋1，所以y′|x＝1＝ae＋1，所以曲线在点(1，ae)处的切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1，所以ae＋1＝2，b＝－1，解得a＝e－1，b＝－1.3．(2018·高考全国卷Ⅱ)曲线y＝2ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为________．解析：因为y＝2ln(x＋1)，所以y′＝2x＋1.当x＝0时，y′＝2，所以曲线y＝2ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y－0＝2(x－0)，即y＝2x.答案：y＝2x4．(2016·高考全国卷Ⅱ)若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________．解析：设y＝kx＋b与y＝lnx＋2和y＝ln(x＋1)的切点分别为(x1，lnx1＋2)和(x2，ln(x2＋1))．则切线分别为y－lnx1－2＝1x1(x－x1)，y－ln(x2＋1)＝1x2＋1(x－x2)，化简得y＝1x1x＋lnx1＋1，y＝1x2＋1x－x2x2＋1＋ln(x2＋1)，依题意，1x1＝1x2＋1，lnx1＋1＝－x2x2＋1＋ln（x2＋1），解得x1＝12，从而b＝lnx1＋1＝1－ln2.答案：1－ln2题型二导数与函数的单调性、极值与最值1．(2017·高考全国卷Ⅱ)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则f(x)的极小值为()A．－1B．－2e－3C．5e－3D．1解析：选A.因为f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，所以f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)ex－1＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]ex－1.因为x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，所以－2是x2＋(a＋2)x＋a－1＝0的根，所以a＝－1，f′(x)＝(x2＋x－2)ex－1＝(x＋2)(x－1)ex－1.令f′(x)0，解得x－2或x1，令f′(x)0，解得－2x1，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以当x＝1时，f(x)取得极小值，且f(x)极小值＝f(1)＝－1，选择A.2．(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2sinx＋sin2x，则f(x)的最小值是________．解析：法一：因为f(x)＝2sinx＋sin2x，所以f′(x)＝2cosx＋2cos2x＝4cos2x＋2cosx－2＝4cosx－12(cosx＋1)，由f′(x)≥0得12≤cosx≤1，即2kπ－π3≤x≤2kπ＋π3，k∈Z，由f′(x)≤0得－1≤cosx≤12，即2kπ＋π≥x≥2kπ＋π3或2kπ－π≤x≤2kπ－π3，k∈Z，所以当x＝2kπ－π3(k∈Z)时，f(x)取得最小值，且f(x)min＝f2kπ－π3＝2sin2kπ－π3＋sin22kπ－π3＝－332.法二：因为f(x)＝2sinx＋sin2x＝2sinx(1＋cosx)＝4sinx2cosx2·2cos2x2＝8sinx2cos3x2＝833sin2x2cos6x2，所以[f(x)]2＝643×3sin2x2cos6x2≤643·3sin2x2＋cos2x2＋cos2x2＋cos2x244＝274，当且仅当3sin2x2＝cos2x2，即sin2x2＝14时取等号，所以0≤[f(x)]2≤274，所以－332≤f(x)≤332，所以f(x)的最小值为－332.答案：－332[山东省学习指导意见]1．导数概念及其几何意义了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵，理解导数的几何意义．2．导数的运算(1)能根据导数定义，求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝1x的导数．(2)能利用导数公式表和导数的四则运算法则求简单函数的导数．3．导数在研究函数中的应用(1)结合实例，了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间．(2)结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值．4．生活中的优化问题举例会利用导数在解决实际问题(探究利润最大、用料最省、效率最高等优化问题)．导数的几何意义[典型例题](1)(2019·高考全国卷Ⅱ)曲线y＝2sinx＋cosx在点(π，－1)处的切线方程为()A．x－y－π－1＝0B．2x－y－2π－1＝0C．2x＋y－2π＋1＝0D．x＋y－π＋1＝0(2)曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则点P的坐标为________．(3)(2019·广州市调研测试)若过点A(a，0)作曲线C：y＝xex的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是________．【解析】(1)依题意得y′＝2cosx－sinx，y′|x＝π＝(2cosx－sinx)|x＝π＝2cosπ－sinπ＝－2，因此所求的切线方程为y＋1＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0，故选C.(2)f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，所以P(1，3)或(－1，3)，经检验，点(1，3)，(－1，3)均不在直线y＝2x－1上，故点P的坐标为(1，3)或(－1，3)．(3)设切点坐标为(x0，x0ex0)，y′＝(x＋1)ex，y′|x＝x0＝(x0＋1)ex0，所以切线方程为y－x0ex0＝(x0＋1)ex0(x－x0)，将点A(a，0)代入可得－x0ex0＝(x0＋1)ex0(a－x0)，化简，得x20－ax0－a＝0，过点A(a，0)作曲线C的切线有且仅有两条，即方程x20－ax0－a＝0有两个解，则有Δ＝a2＋4a0，解得a0或a－4，故实数a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．【答案】(1)C(2)(1，3)或(－1，3)(3)(－∞，－4)∪(0，＋∞)(1)求曲线y＝f(x)的切线方程的3种类型及方法类型方法已知切点P(x0，y0)，求切线方程求出切线的斜率f′(x0)，由点斜式写出方程已知切线的斜率k，求切线方程设切点P(x0，y0)，通过方程k＝f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程已知切线上一点(非切点)，求切线方程设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程(2)由曲线的切线求参数值或范围的2种类型及解题关键类型解题关键已知曲线在某点处的切线求参数关键是用“方程思想”来破解，先求出函数的导数，从而求出在某点处的导数值；再根据导数的几何意义与已知条件，建立关于参数的方程，通过解方程求出参数的值已知曲线的切线方程，求含有双参数的代数式的取值范围关键是过好“双关”：一是转化关，即把所求的含双参数的代数式转化为含单参数的代数式，此时需利用已知切线方程，寻找双参数的关系式；二是求最值关，常利用函数的单调性、基本不等式等方法求最值，从而得所求代数式的取值范围[对点训练]1．(2019·武汉调研)设曲线C：y＝3x4－2x3－9x2＋4，在曲线C上一点M(1，－4)处的切线记为l，则切线l与曲线C的公共点个数为()A．1B．2C．3D．4解析：选C.y′＝12x3－6x2－18x，所以切线l的斜率k＝y′x＝1＝－12，所以切线l的方程为12x＋y－8＝0.联立方程得12x＋y－8＝0y＝3x4－2x3－9x2＋4，消去y，得3x4－2x3－9x2＋12x－4＝0，所以(x＋2)(3x－2)(x－1)2＝0，所以x1＝－2，x2＝23，x3＝1，所以切线l与曲线C有3个公共点．故选C.2．(2019·四川绵阳一诊改编)若函数f(x)＝x3＋(t－1)x－1的图象在点(－1，f(－1))处的切线平行于x轴，则t＝________，切线方程为________．解析：因为函数f(x)＝x3＋(t－1)x－1，所以f′(x)＝3x2＋t－1.因为函数f(x)的图象在点(－1，f(－1))处的切线平行于x轴，所以f′(－1)＝3×(－1)2＋t－1＝2＋t＝0，解得t＝－2.此时f(x)＝x3－3x－1，f(－1)＝1，切线方程为y＝1.答案：－2y＝1[典型例题]命题角度一求函数的单调区间或判断函数的单调性已知函数f(x)＝ln(x＋1)－ax2＋x（x＋1）2，且1a2，试讨论函数f(x)的单调性．利用导数研究函数的单调性【解】函数f(x)的定义域为(－1，＋∞)，f′(x)＝x（x－2a＋3）（x＋1）3，x－1.①当－12a－30，即1a32时，当－1x2a－3或x0时，f′(x)0，f(x)单调递增，当2a－3x0时，f′(x)0，f(x)单调递减．②当2a－3＝0，即a＝32时，f′(x)≥0，则f(x)在(－1，＋∞)上单调递增．③当2a－30，即32a2时，当－1x0或x2a－3时，f′(x)0，则f(x)在(－1，0)，(2a－3，＋∞)上单调递增．当0x2a－3时，f′(x)0，则f(x)在(0，2a－3)上单调递减．综上，当1a32时，f(x)在(－1，2a－3)，(0，＋∞)上单调递增，在(2a－3，0)上单调递减；当a＝32时，f(x)在(－1，＋∞)上单调递增；当32a2时，f(x)在(－1，0)，(2a－3，＋∞)上单调递增，在(0，2a－3)上单调递减．利用导数求函数的单调区间的三种方法(1)当不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0可解时，确定函数的定义域，解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0求出单调区间．(2)当方程f′(x)＝0可解时，确定函数的定义域，解方程f′(x)＝0，求出实数根，把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和实根按从小到大的顺序排列起来，把定义域分成若干个小区间，确定f′(x)在各个区间内的符号，从而确定单调区间．(3)不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0及方程f′(x)＝0均不可解时求导数并化简，根据f′(x)的结构特征，选择相应的基本初等函数，利用其图象与性质确定f′(x)的符号，得单调区间．命题角度二已知函数的单调性求参数已知函数f(x)＝lnx－a2x2＋ax(a∈R)．(1)当a＝1时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间(1，＋∞)上是减函数，求实数