（江苏专用）2020高考数学二轮复习 专题五 函数、不等式与导数 第二讲 小题考法——不等式课件

——不等式小题考法二讲第不等式的恒成立问题及存在性问题考点(一)主要考查恒成立问题或存在性问题以及等价转化思想的应用.[题组练透]1．设实数a≥1，使得不等式x|x－a|＋32≥a对任意的实数x∈[1，2]恒成立，则满足条件的实数a的范围是________．解析：(1)当1≤a≤32时，显然符合题意；(2)当a≥2时，原不等式可化为x(a－x)≥a－32，取x＝1，成立；当x∈(1，2]时，a≥x2－32x－1＝x＋1－12（x－1）.而函数f(x)＝x＋1－12（x－1）在(1，2]上单调递增，故a≥f(2)＝52；(3)当32a2时，原不等式可化为①1≤x≤a，x（a－x）≥a－32或②a≤x≤2，x（x－a）≥a－32，不等式组①参照(2)的过程得a≥a＋1－12（a－1），解得1≤a≤32，矛盾，舍去；由不等式组②得a≤x2＋32x＋1＝x－1＋52（x＋1），同上可得1≤a≤32，矛盾，舍去．综上所述，1≤a≤32或a≥52.答案：1，32∪52，＋∞2．(2019·扬州期末)已知正实数x，y满足x＋4y－xy＝0，若x＋y≥m恒成立，则实数m的取值范围为________．解析：x＋4y－xy＝0，即x＋4y＝xy，等式两边同时除以xy，得4x＋1y＝1，由基本不等式可得x＋y＝(x＋y).4x＋1y＝4yx＋xy＋5≥24yx·xy＋5＝9，当且仅当4yx＝xy，即x＝2y＝6时，等号成立，所以x＋y的最小值为9，因此m≤9.答案：(－∞，9]3．已知不等式(m－n)2＋(m－lnn＋λ)2≥2对任意m∈R，n∈(0，＋∞)恒成立，则实数λ的取值范围为________．解析：条件“不等式(m－n)2＋(m－lnn＋λ)2≥2对任意m∈R，n∈(0，＋∞)恒成立”可看作“点(m，m＋λ)，(n，lnn)两点的距离的平方恒大于2”，即“直线y＝x＋λ与曲线f(x)＝lnx上点之间的距离恒大于等于2”．如图，当与直线y＝x＋λ平行的直线与曲线f(x)＝lnx相切时，两平行线间的距离最短，f′(x)＝1x＝1，故切点A(1，0)，此切点到直线y＝x＋λ的距离为|1＋λ|2≥2，解得λ≥1或λ≤－3(舍去，此时直线与曲线相交)．故实数λ的取值范围为[1，＋∞)．答案：[1，＋∞)4．(2019·南京盐城一模)若正实数a，b，c满足ab＝a＋2b，abc＝a＋2b＋c，则c的最大值为________．解析：由ab＝a＋2b≥22ab，得ab≥8，则由abc＝a＋2b＋c，得c＝a＋2bab－1＝abab－1＝1＋1ab－1≤1＋17＝87，当且仅当a＝4，b＝2时等号成立，所以c的最大值为87.答案：875．(2019·江苏连云港期中)已知a为正实数，f(x)＝x2＋ax＋3，x≥0，2x＋a，x0.若∃x1，x2∈R，使得f(x1)＝f(x2)，则实数a的取值范围是________．解析：因为a0，所以抛物线y＝x2＋ax＋3的对称轴在y轴左侧，所以函数y＝x2＋ax＋3在[0，＋∞)上单调递增，且当x＝0时有最小值为3.又函数y＝2x＋a在(－∞，0)上为增函数，若∃x1，x2∈R，使得f(x1)＝f(x2)，只需20＋a3，解得a2，则实数a的取值范围为(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)[方法技巧]不等式恒成立问题或存在性问题的求解策略(1)有关不等式恒成立问题，通常利用分离变量法将其转化，即将所求参数与变量x之间的函数关系用不等式连接起来，再求函数的最值，从而确定参数范围．用分离变量法进行等价转化的好处是可以减少分类讨论．若不等式中含有绝对值，须通过分类讨论，转化为一般的一元二次不等式，再求解．(2)存在性问题也需要转化为最值问题，优先考虑分离变量的做题思路．(3)二元问题的恒成立也可以构造几何意义，利用几何法求解．考点(二)基本不等式主要考查利用基本不等式求最值，常与函数等知识交汇命题.[题组练透]1．(2019·常州期末)已知正数x，y满足x＋yx＝1，则1x＋xy的最小值为________．解析：法一：由正数x，y满足x＋yx＝1，得yx＝1－x，xy＝11－x0，则0x1，1x＋xy＝1x＋11－x＝1x＋11－x[x＋(1－x)]＝2＋1－xx＋x1－x≥2＋21－xx·x1－x＝4，当且仅当x＝12时取等号，故1x＋xy的最小值为4.法二：由正数x，y满足x＋yx＝1，得x2＋y＝x，y＝x(1－x)0，则0x1，则1x＋xy＝y＋x2xy＝1y＝1x（1－x）≥1x＋1－x22＝4，当且仅当x＝12时取等号，故1x＋xy的最小值为4.答案：42．(2019·南通等七市二模)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c0(a，b，c∈R)的解集为{x|3x4}，则c2＋5a＋b的最小值为________．解析：由题意可得a0，－ba＝7，ca＝12，则a0，b＝－7a，c＝12a，c2＋5a＋b＝144a2＋5－6a＝－24a－56a≥2（－24a）·5－6a＝45，当且仅当a＝－512时取等号，故c2＋5a＋b的最小值为45.答案：453．已知实数x，y满足xy0，且x＋y≤2，则2x＋3y＋1x－y的最小值为________．解析：法一：因为4≥2x＋2y，所以42x＋3y＋1x－y≥2x＋3y＋1x－y[(x＋3y)＋(x－y)]＝3＋2（x－y）x＋3y＋x＋3yx－y≥3＋22，当且仅当x＝22－1，y＝3－22时取等号，故2x＋3y＋1x－y的最小值为3＋224.法二：因为xy0，x＋y≤2，所以0y1，又因为2x＋3y＋1x－y≥22＋2y＋12－2y＝3－y2（1＋y）（1－y）＝12·16－3－y＋83－y≥3＋224，当且仅当x＝22－1，y＝3－22时取等号．答案：3＋2244．若实数x，y满足2x2＋xy－y2＝1，则x－2y5x2－2xy＋2y2的最大值为________．解析：2x2＋xy－y2＝(2x－y)(x＋y)，令2x－y＝m，x＋y＝n，则mn＝1，当x－2y5x2－2xy＋2y2＝m－nm2＋n2＝m－n（m－n）2＋2取得最大值时，必有m－n＞0，则m－n（m－n）2＋2＝1m－n＋2m－n≤122＝24，当且仅当m－n＝2时取等号，所以x－2y5x2－2xy＋2y2的最大值为24.答案：24[方法技巧]利用基本不等式求最值的方法(1)知和求积的最值：“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立．(2)知积求和的最值：“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件．(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解．(4)“a＋b，a2＋b2，ab，1a＋1b”之间的互化也是基本等式常见处理方法．考点(三)线性规划问题主要考查在约束条件下目标函数最值的求法，以及已知最优解或可行域的情况求参数的值或范围.[典例感悟]1．(2018·全国卷Ⅱ)若x，y满足约束条件x＋2y－5≥0，x－2y＋3≥0，x－5≤0，则z＝x＋y的最大值为________．答案：9解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．由图可知当直线x＋y＝z过点A时z取得最大值．由x＝5，x－2y＋3＝0得点A(5，4)，∴zmax＝5＋4＝9.2．(2018·苏州模拟)设变量x，y满足x＋y≥1，x－y≥0，2x－y－2≤0，则目标函数z＝2x＋y的最小值为________．答案：32解析：作出不等式组x＋y≥1，x－y≥0，2x－y－2≤0对应的可行域，如图中阴影部分所示．当直线y＝－2x＋z过点C时，在y轴上的截距最小，此时z最小，x＋y＝1，x－y＝0得x＝12，y＝12，所以C12，12，zmin＝2×12＋12＝32.3．(2018·福州四校联考)设x，y满足约束条件2x＋y－3≤0，2x－2y－1≤0，x－a≥0，其中a0，若x－yx＋y的最大值为2，则a的值为________．解析：设z＝x－yx＋y，则y＝1－z1＋zx，当z＝2时，y＝－13x，作出x，y满足的约束条件2x＋y－3≤0，2x－2y－1≤0，x－a≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线y＝－13x，易知此直线与区域的边界线2x－2y－1＝0的交点为38，－18，当直线x＝a过点38，－18时a＝38，又此时直线y＝1－z1＋zx的斜率1－z1＋z＝－1＋2z＋1的最小值为－13，即z的最大值为2，符合题意，所以a的值为38.答案：384．已知a，b，c为正实数，且a＋2b≤8c，2a＋3b≤2c，则3a＋8bc的取值范围为________．解析：因为a，b，c为正实数，且a＋2b≤8c，2a＋3b≤2c，所以ac＋2bc≤8，2ca＋3cb≤2，令ac＝x，bc＝y，得x＋2y≤8，2x＋3y≤2，则y≤4－12x，y≥3x2x－2，1x8.作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．令z＝3a＋8bc＝3x＋8y，则y＝－38x＋z8，由图知当直线y＝－38x＋z8过点A时，截距最大，即z最大，当直线y＝－38x＋z8与曲线y＝3x2x－2相切时，截距最小，即z最小．解方程组y＝4－12x，y＝3x2x－2得A(2，3)，∴zmax＝3×2＋8×3＝30，设直线y＝－38x＋z8与曲线y＝3x2x－2的切点为(x0，y0)，则3x2x－2′x＝x0＝－38，即－6（2x0－2）2＝－38，解得x0＝3.∴切点坐标为3，94，∴zmin＝3×3＋8×94＝27，∴27≤3a＋8bc≤30.答案：[27，30][方法技巧]解决线性规划问题的3步骤必备知能·自主补缺(一)主干知识要记牢1．不等式的性质(1)a＞b，b＞c⇒a＞c；(2)a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；(3)a＞b⇒a＋c＞b＋c；(4)a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；(5)a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；(6)a＞b＞0，n∈N，n＞1⇒an＞bn，na＞nb.2．简单分式不等式的解法(1)f（x）g（x）＞0⇔f(x)g(x)＞0，f（x）g（x）＜0⇔f(x)g(x)＜0.(2)f（x）g（x）≥0⇔f（x）g（x）≥0，g（x）≠0，f（x）g（x）≤0⇔f（x）g（x）≤0，g（x）≠0.(3)对于形如f（x）g（x）＞a(≥a)的分式不等式要采取：“移项—通分—化乘积”的方法转化为(1)或(2)的形式求解．(二)二级结论要用好1．一元二次不等式的恒成立问题(1)ax2＋bx＋c0(a≠0)恒成立的条件是a＞0，Δ＜0.(2)ax2＋bx＋c0(a≠0)恒成立的条件是a＜0，Δ＜0.2．基本不等式的重要结论(1)a＋b2≥ab(a＞0，b＞0)．(2)ab≤a＋b22(a，b∈R)．(3)a2＋b22≥a＋b2≥ab(a＞0，b＞0)．3．线性规划中的两个重要结论(1)点M(x0，y0)在直线l：Ax＋By＋C＝0(B＞0)上方(或下方)⇔Ax0＋By0＋C＞0(或＜0)．(2)点M(x1，y1)，N(x2，y2)在直线l：Ax＋By＋C＝0同侧(或异侧)⇔(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＞0(或＜0)．