（江苏专用）2020高考数学二轮复习 专题三 解析几何 第四讲 专题提能——“解析几何”专题提能课课

——“解析几何”专题提能课专题提能四讲第防止思维定式，实现“移花接木”提能点(一)失误1因忽视方程的标准形式而失误[例1]已知抛物线的方程为y＝2ax2(a0)，则它的焦点坐标为________．[解析]y＝2ax2(a0)可化为x2＝12ay，则焦点坐标为0，18a.[答案]0，18a[点评]本题易错如下：由抛物线方程为y＝2ax2，知抛物线的对称轴为y轴，2p＝－2a，所以p＝－a，p2＝－a2，所以它的焦点坐标为0，－a2.求解此类问题的关键是：首先要准确理解概念，正确识记抛物线的标准方程：y2＝2px、y2＝－2px、x2＝2py、x2＝－2py，对于抛物线方程有关的题目要首先将方程变为标准形式，然后在此基础上正确求出抛物线的焦参数p.在求焦参数时要注意p0，标准方程中一次项系数的绝对值为2p，求出p后再研究抛物线的几何性质，结合图形去考虑.失误2因忽视圆方程本身的限制条件而失误[例2]过定点(1，2)作两直线与圆x2＋y2＋kx＋2y＋k2－15＝0相切，则k的取值范围是________________．[解析]把圆的方程化为标准方程得，x＋k22＋(y＋1)2＝16－34k2，所以16－34k20，解得－833k833.又点(1，2)应在已知圆的外部，把点代入圆方程得，1＋4＋k＋4＋k2－150，即(k－2)(k＋3)0，解得k－3或k2.综上，k的取值范围是－833，－3∪2，833.[答案]－833，－3∪2，833[点评]本题易错在于忽略题中方程必须是圆的方程，有些学生不考虑D2＋E2－4F0.本例应把圆的方程化为标准方程后，根据构成圆的条件得到等号右边的式子大于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集，然后由过已知点总可以作圆的两条切线，得到点在圆外，故把点的坐标代入圆的方程中得到一个关于k的关系式，求出不等式的解集，综上，求出两解集的交集即为实数k的取值范围.失误3因忽视斜率不存在的情况而失分[例3]已知过点(1，2)的直线l与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，弦长AB＝23，求直线l的方程．[解]当过点(1，2)的直线l斜率不存在时，满足要求，所以方程x＝1满足题意；当过点(1，2)的直线l存在斜率时，记l的方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0，由弦长为23可得圆心到直线的距离为1，则d＝|2－k|1＋k2＝1，解得k＝34，所以直线l的方程为y－2＝34(x－1)，即3x－4y＋5＝0.所以所求直线l的方程为x＝1和3x－4y＋5＝0.[点评]本题学生易错在于忽略了斜率不存在的情况，在用斜率研究直线方程首先考虑斜率不存在的情况．给定弦长，一般都有两解，除非弦长值就是直径的值，此时只有一解．提能点(二)灵活运用策略，尝试“借石攻玉”策略1利用对称性解决椭圆中焦点三角形问题[例1]如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦点，直线y＝b2与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率为________．[解析]法一：由y＝b2，x2a2＋y2b2＝1，可得B－32a，b2，C32a，b2.由F(c，0)，得FB―→＝－32a－c，b2，FC―→＝32a－c，b2.又∠BFC＝90°，所以FB―→·FC―→＝0，化简可得2a2＝3c2，即e2＝c2a2＝23，故e＝63.法二：由y＝b2，x2a2＋y2b2＝1，可得B－32a，b2，C32a，b2，所以BC＝3a，由椭圆的焦半径公式得BF＝a－exB＝a＋e·32a，CF＝a－exC＝a－e·32a，又∠BFC＝90°，所以BF2＋CF2＝BC2，即a＋e·32a2＋a－e·32a2＝(3a)2，式子两边同除以a2可得e2＝23，即e＝63.[答案]63[点评]本题中B，C两点是关于y轴对称，对称性的运用对线段的求解和坐标求解有很大帮助．策略2利用有界性处理圆锥曲线中的存在性问题[例2]若双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)右支上存在一点P到左焦点的距离是到右准线距离的6倍，则该双曲线离心率的取值范围为______________．[解析]记双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，设点P到右准线的距离为d，则由题意得点P到左焦点的距离为PF1＝6d，由于PF1－PF2＝2a，所以PF2＝6d－2a，所以6d－2ad＝ca，所以d＝2a26a－c，又因为d≥a－a2c，所以2a26a－c≥a－a2c，6a－c0，解之得此双曲线的离心率e的取值范围是(1，2]∪[3，6)．[答案](1，2]∪[3，6)[点评]一般地，根据“存在一点…”这样的条件求解离心率的取值范围问题，主要是先利用几何条件建立关于a，b，c的方程，再根据椭圆、双曲线和抛物线上点的坐标的有界性来求解．提能点(三)系统数学思想，实现“触类旁通”函数方程思想——解决平面几何中的最值问题[典例]在平面直角坐标系xOy中，设曲线C1：|x|a＋|y|b＝1(ab0)所围成的封闭图形的面积为42，曲线C1上的点到原点O的最短距离为223.以曲线C1与坐标轴的交点为顶点的椭圆记为C2.(1)求椭圆C2的标准方程；(2)设AB是过椭圆C2中心O的任意弦，l是线段AB的垂直平分线．若M是l与椭圆C2的交点，求△AMB的面积的最小值．[解](1)由题意得2ab＝42，aba2＋b2＝223.解得a2＝8，b2＝1.所以所求椭圆C2的标准方程为x28＋y2＝1.(2)法一：设M(x，y)，则A(λy，－λx)(λ∈R，λ≠0)．因为点A在椭圆C2上，所以λ2(y2＋8x2)＝8，即y2＋8x2＝8λ2.①又x2＋8y2＝8.②①＋②得x2＋y2＝891＋1λ2.所以S△AMB＝OM·OA＝|λ|(x2＋y2)＝89|λ|＋1|λ|≥169.当且仅当λ＝±1，即kAB＝±1时，(S△AMB)min＝169.法二：假设AB所在的直线斜率存在且不为零，设AB所在直线的方程为y＝kx(k≠0)．解方程组x28＋y2＝1，y＝kx，得x2A＝81＋8k2，y2A＝8k21＋8k2，所以OA2＝x2A＋y2A＝81＋8k2＋8k21＋8k2＝8（1＋k2）1＋8k2，AB2＝4OA2＝32（1＋k2）1＋8k2.又由x28＋y2＝1，y＝－1kx，解得x2M＝8k2k2＋8，y2M＝8k2＋8，所以OM2＝8（1＋k2）k2＋8.由于S2△AMB＝14AB2·OM2＝14·32（1＋k2）1＋8k2·8（1＋k2）k2＋8＝64（1＋k2）2（1＋8k2）（k2＋8）≥64（1＋k2）21＋8k2＋k2＋822＝64（1＋k2）2814（1＋k2）2＝25681，当且仅当1＋8k2＝k2＋8时等号成立，即k＝±1时等号成立，此时△AMB面积的最小值是S△AMB＝169.当k＝0时，S△AMB＝12×42×1＝22169；当k不存在时，S△AMB＝12×22×2＝22169.综上所述，△AMB面积的最小值为169.[点评]第(2)问中有关三角形面积的计算一般用以下几种方式：(1)以弦长为底，点到弦所在直线距离为高；(2)正弦定理；(3)如果弦所在直线过定点且顶点也为定点，可以将面积进行分割．一般地，如果建立关于k的函数，可以用导数的方法或换元处理后用基本不等式方法；如果建立的关于(x，y)的函数可以直接用基本不等式或消元后转化成二次函数．提能点(四)强化一题多法，激活“解题思维”1．多角度运用几何特征转化[例1](2019·全国卷Ⅲ)设F1，F2为椭圆C：x236＋y220＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．[解析]法一：三角形等面积法求高yM，代入椭圆方程求xM.由已知可得a2＝36，b2＝20，所以c2＝a2－b2＝16，所以c＝4，所以|MF1|＝|F1F2|＝2c＝8.因为|MF1|＋|MF2|＝2a＝12，所以|MF2|＝4.设点M的坐标为(xM，yM)(xM＞0，yM＞0)，则S△MF1F2＝12·|F1F2|·yM＝4yM，又S△MF1F2＝12×4×82－22＝415，所以4yM＝415，解得yM＝15，所以x2M36＋（15）220＝1，解得xM＝3(xM＝－3舍去)，所以M的坐标为(3，15)．法二：根据两点间的距离公式及点M在椭圆上联立方程组求解．因为椭圆C：x236＋y220＝1，所以a＝6，b＝25，因为a2＝b2＋c2，所以c＝4，即F1(－4，0)，F2(4，0)，因为M为C上一点且在第一象限，设点M的坐标为(xM，yM)(xM＞0，yM＞0)，因为△MF1F2为等腰三角形，所以|MF1|＝|F1F2|＝8，所以xM＞0，yM＞0，x2M36＋y2M20＝1，（xM＋4）2＋y2M＝64，解得xM＝3，yM＝15，所以点M的坐标为(3，15)．法三：作垂线，利用向量垂直的数量积为0及点M在椭圆上联立方程组求解．如图，设M(m，n)(m＞0，n＞0)，过点M作MP⊥x轴于P，过点F1作F1Q⊥MF2于Q，因为△MF1F2为等腰三角形，M为C上一点且在第一象限，所以Q为MF2的中点，所以F1Q―→·MF2―→＝0，则Q＝m＋42，n2，F1Q―→＝m＋122，n2，MF2―→＝(4－m，－n)．所以m＋122，n2·(4－m，－n)＝0，即n2＝48－8m－m2，因为M(m，n)(m＞0，n＞0)在椭圆C上，所以m236＋n220＝1，所以m＝3，n＝15，所以点M的坐标为(3，15)．法四：利用余弦定理及三角函数的定义求解．因为椭圆C：x236＋y220＝1，所以a＝6，b＝25，因为a2＝b2＋c2，所以c＝4，即F1(－4，0)，F2(4，0)，因为△MF1F2为等腰三角形，所以|MF1|＝|F1F2|＝8，由椭圆的定义知|MF2|＝4，在△MF1F2中，由余弦定理得cos∠MF1F2＝|MF1|2＋|F1F2|2－|MF2|22|MF1|·|F1F2|＝82＋82－422×8×8＝78，设点M的坐标为(xM，yM)(xM＞0，yM＞0)，所以yM|MF1|＝1－cos2∠MF1F2，即yM＝81－782＝15，|OF1|＋xM|MF1|＝cos∠MF1F2，即xM＝8×78－4＝3，所以点M的坐标为(3，15)．[答案](3，15)[点评]与本题有关的数学知识有：椭圆的定义、方程与性质，三角形面积的计算、两点间的距离公式、等腰三角形的性质、平面向量的数量积、三角函数的定义、余弦定理、椭圆的参数方程等．本题考查运算求解能力，考查数形结合思想、转化与化归的思想，体现直观想象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养．2．多角度的求解直线过定点[例2]过椭圆x24＋y2＝1的左顶点A作互相垂直的直线分别交椭圆于M，N两点．求证：直线MN过定点，并求出该定点坐标．[解]法一：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN：y＝kx＋m.联立y＝kx＋m，x24＋y2＝1消去y，得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，则Δ0，且x1＋x2＝－8km1＋4k2，x1x2＝4m2－41＋4k2.由AM⊥AN，得y1x1＋2·y2x2＋2＝－1，即(k2＋1)x1x2＋(km＋2)(x1＋x2)＋m2＋4＝0，(k2＋1)4m2－41＋4k2＋(km＋2)－8km1＋4k2＋m2＋4＝0，化简得5m2－16km＋12k2＝0，∵k≠0，∴5mk2－16m