（江苏专用）2020版高考数学二轮复习 微专题二 三角函数的图象与性质课件 苏教版

三角函数、解三角形、平面向量微专题二三角函数的图象与性质课时作业考情分析三角函数的图象和性质在近几年的高考题中考察难度较低，主要以填空题为主，如2016年T9,2018年T7，前两个解答题中三角函数的性质也有考察，如2017年T15，在图形应用题中会出现三角函数性质的研究，如2018年T18难度为中档题．课时作业典型例题目标1三角函数的周期性和对称性例1(1)若将函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0φπ)的图象上的所有点向右平移π6个单位长度后得到的图象关于原点对称，则φ＝________.(1)π3解析：(1)解法一：函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象上所有点向右平移π6个单位长度后得到的图象解析式为g(x)＝sin2x－π3＋φ，由题意g(0)＝0，所以φ－π3＝kπ，即φ＝kπ＋π3.又因为0φπ，所以φ＝π3.解法二：平移后得到g(x)＝sin2x－π3＋φ，要使g(x)的图象关于原点对称，即φ－π3＝kπ，解得φ＝kπ＋π3，下同解法一．解法三：因为y＝sinx的对称中心为(kπ，0)，所以令2x＋φ＝kπ，解得x＝kπ2－φ2.因为f(x)向右平移π6个单位长度后所得函数图象关于原点对称，所以f(x)关于点－π6，0对称，即x＝kπ2－φ2＝－π6，解得φ＝kπ＋π3，下同解法一．【方法归类】对于f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象平移后图象关于y轴或原点对称处理方法有两种．一、若平移后所得函数解析式为y＝Asin(ωx＋φ＋θ)，要关于原点对称，则φ＋θ＝kπ；要关于y轴对称，则φ＋θ＝kπ＋π2.二、利用平移后的图象关于y轴或原点对称得到原函数的对称性，再利用y＝sinx的对称性去求解．(2)π因为f(x)在区间π6，π2上具有单调性，且fπ2＝－fπ6，故函数f(x)的对称中心为π3，0.由fπ2＝f2π3，可得函数f(x)的对称轴为x＝7π12.设f(x)的最小正周期为T，所以T2≥π2－π6，即T≥2π3.所以7π12－π3＝T4，即T＝π.(2)设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，A0，ω0，若f(x)在区间π6，π2上具有单调性，且fπ2＝f2π3＝－fπ6，则f(x)的最小正周期为________．点评：一般地，若函数有多重对称性，则该函数具有周期性且最小正周期为相邻对称轴距离的2倍，为相邻对称中心距离的2倍，为对称轴与其相邻对称中心距离的4倍．(注：如果遇到抽象函数给出类似性质，可以联想y＝sinx，y＝cosx的对称轴、对称中心和周期之间的关系)【思维变式题组训练】1.若将函数f(x)＝3cosx－sinx的图象向右平移θ个单位长度后得到的图象关于直线x＝π6对称，则θ的最小正值为________．π3解析：f(x)＝3cosx－sinx＝2cosx＋π6，其图象向右平移θ个单位长度后得到g(x)＝2cosx＋π6－θ.因为g(x)的图象关于x＝π6对称，所以π6＋π6－θ＝kπ，即θ＝π3－kπ，k∈Z.因为θ0，故当k＝0时，θ＝π3.π12解析：由f(x)的最小正周期大于2π，得T4＞π2.又f5π8＝2，f11π8＝0，得T4＝11π8－5π8＝3π4，所以T＝3π，则2πω＝3π⇒ω＝23，所以f(x)＝2sin(ωx＋φ)＝2sin23x＋φ.由f5π8＝2sin23×5π8＋φ＝2⇒sin5π12＋φ＝1，所以5π12＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z.又|φ|＜π2，取k＝0，得φ＝π12.2.设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)ω＞0，|φ|＜π2，若f5π8＝2，f11π8＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则φ＝________.3.已知函数f(x)＝3sinωx－π6(ω0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)(0φπ)的图象的对称轴完全相同，则gπ3的值是________．－2解析：由两函数的图象的对称轴完全相同知周期必须相同，所以ω＝2，f(x)＝3sin2x－π6图象的一条对称轴为x＝π3，所以cos2·π3＋φ＝±1(0φπ)，得φ＝π3，所以gπ3＝2cos2×π3＋π3＝－2.解析：当|f(x1)－f(x2)|＝2时，|x1－x2|的最小值为T2＝π3，所以12·2πω＝π3，所以ω＝3.又因为角φ的终边经过点P(1，－1)，所以φ＝2kπ－π4(k∈Z)，所以f(x)＝sin3x－π4.故fπ2＝sin3π2－π4＝sin5π4＝－22.4.已知角φ的终边经过点P(1，－1)，点A(x1，y1)，B(x2，y2)是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω0)图象上的任意两点，当|f(x1)－f(x2)|＝2时，|x1－x2|的最小值为π3，求fπ2的值．目标2三角函数的单调性和值域例2(1)若函数y＝sinωx在区间[0,2π]上单调递增，则实数ω的取值范围是________．(1)0，14解析：由题可知ω0，因为函数y＝sinωx在区间[0,2π]上单调递增，所以ωx∈[0,2πω]⊆2kπ－π2，2kπ＋π2，k∈Z，即2πω≤π2，解得0ω≤14.(2)已知函数f(x)＝a－cosxsinx在区间0，π2内是增函数，则实数a的取值范围是________．(－∞，1](2)解法一：由题意得∀x∈0，π2，f′(x)＝sin2x－a－cosxcosxsin2x＝1－acosxsin2x≥0，即∀x∈0，π2，1－acosx≥0，也即∀x∈0，π2，1cosx≥a，又1cosx1，故a≤1.解法二：设t＝tanx2∈(0,1)，则sinx＝2t1＋t2，cosx＝1－t21＋t2，所以g(t)＝a－1－t21＋t22t1＋t2＝a1＋t2－1－t22t＝a－1＋a＋1t22t＝a－12t＋a＋12t.因为t＝tanx2在区间0，π2上单调递增，故原函数要单调递增等价为g(t)在(0,1)上单调递增．即g′(t)＝a＋12－a－12t2≥0，当a－10，原不等式可化为a＋1a－1≥12t2，此时不能够恒成立；当a＝1时，1≥0成立；当a1时，原不等式可化为a＋1a－1≤12t2，此时a＋1a－10，而12t20，符合题意．综上，a≤1.点评：三角函数单调性的研究主要有三种类型：①将所给函数化归为y＝Asin(ωx＋φ)＋B，利用换元法以及y＝sinx的单调性研究；②用导数法；③用换元法转化为二次函数或分式函数后，先研究转化后的函数单调性，再结合复合函数单调性进行判断．综上，方法①和③都涉及换元法用复合函数进行研究，方法②用导数法主要针对无法化归和换元的函数，如分式函数等，这是研究函数单调性的主要方法．例3(1)已知函数f(x)＝2sinx－π6·sinx＋π3，π6≤x≤5π12，则函数f(x)的值域为________．0，1解析：(1)依题意有f(x)＝232sinx－12cosx12sinx＋32cosx＝sinxcosx－32(cos2x－sin2x)＝12sin2x－32cos2x＝sin2x－π3.因为π6≤x≤5π12，所以0≤2x－π3≤π2，从而0≤sin2x－π3≤1，所以函数f(x)的值域为0，1.2－1(2)设t＝sinx－cosx，则sinxcosx＝1－t22，所以y＝1－1－t22t＋1＝1＋t22t＋1.又当0xπ，t＝sinx－cosx＝2sinx－π4∈(－1，2]，设u＝t＋1∈(0，2＋1]，则y＝12·1＋u－12u＝12·u2－2u＋2u＝12u＋2u－2≥22－22＝2－1，当且仅当u＝2时取等号．(2)函数y＝1－sinxcosxsinx－cosx＋1(0xπ)的最小值是________．点评：三角函数的值域或最值的求解方法主要有三种：①将所给函数化归为y＝Asin(ωx＋φ)＋B，再令t＝ωx＋φ，再结合y＝sinx的图象求解．②换元法：若函数解析式存在“sinxcosx，sinx±cosx”可以考虑换元，转化为二次函数或分式函数；若函数解析式中存在“cos2x，sinx(或cosx)”也可以利用换元法转化为二次函数．③导数法：对于如y＝2－sinxcosx，y＝sinx＋x这样的复杂函数可以求导数，研究其在给定区间上的单调性，再根据单调性求其值域．【思维变式题组训练】1.函数y＝1＋sinα2sin2α0απ2的最小值为________．332解析：y′＝21＋sinαcosαsin2α－1＋sinα22cos2αsin2α2＝21＋sinα[cosαsin2α－1＋sinαcos2α]sin2α2＝21＋sinα[sin2α－α－1－2sin2α]sin2α2＝21＋sinα22sinα－1sin2α20απ2.由y′＝21＋sinα22sinα－1sin2α2＝00απ2，得α＝π6，列表：α0，π6π6π6，π2y′－0＋y极小值所以当α＝π6时，y的最小值为1＋sinπ62sin2×π6＝332.2.已知ω0，函数f(x)＝cosωx＋π4在π2，π上单调递增，则ω的取值范围是________．32，74解析：函数y＝cosx的单调增区间为[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z，则ωπ2＋π4≥－π＋2kπ，ωπ＋π4≤2kπ，k∈Z，解得4k－52≤ω≤2k－14，k∈Z.又由4k－52－2k－14≤0，k∈Z且2k－14＞0，k∈Z，得k＝1，所以ω∈32，74.3.已知函数f(x)＝(3cosx＋sinx)2－23sin2x.(1)求函数f(x)的最小值，并写出f(x)取得最小值时自变量x的取值集合；(2)若x∈－π2，π2，求函数f(x)的单调递增区间．解析：(1)因为f(x)＝3cos2x＋23cosxsinx＋sin2x－23sin2x＝32(1＋cos2x)＋3sin2x＋12(1－cos2x)－23sin2x＝－3sin2x＋cos2x＋2＝2sin2x＋5π6＋2.所以函数f(x)的最小值是0，此时2x＋5π6＝2kπ＋3π2，k∈Z，即x的取值集合为{xx＝kπ＋π3，k∈Z.(2)当x∈－π2，π2时，2x＋5π6∈－π6，11π6，令－π6≤2x＋5π6≤π2或3π2≤2x＋5π6≤11π6，得－π2≤x≤－π6或π3≤x≤π2.所以f(x)的单调递增区间是－π2，－π6和π3，π2.目标3三角方程及三角函数零点例4(1)函数f(x)＝(x－1)sinπx－1(－8＜x＜10)的所有零点之和为________．(1)16解析：原函数的零点可看作函数f(x)＝sinπx与g(x)＝1x－1的交点的横坐标，因为函数f(x)与g(x)均关于点(1,0)对称，所以由图象可得：在区间[0,2]上没有交点，在区间[2,10]上共有8个交点，在[－8,0]上共有8个交点，且8组都关于点(1,0)对称，故所有零点之和为16.点评：由于三角函数的图象具有对称性和周期性，所以对于在多个周期的零点个