（江苏专用）2019-2020学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.1.1 平均变化率课件 苏教版

第1章导数及其应用(选修2－2)1．1.1平均变化率[探究发现]假设下图是一座山的剖面示意图，并在上面建立平面直角坐标系．A是出发点，H是山顶．爬山路线用函数y＝f(x)表示．自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表示此时旅游者所在的高度．设点A的坐标为(x0，y0)，点B的坐标为(x1，y1)．问题1：若旅游者从A点爬到B点，则自变量x和函数值y的改变量Δx，Δy分别是多少？提示：Δx＝x1－x0，Δy＝y1－y0.问题2：如何用Δx和Δy来刻画山路的陡峭程度？提示：对于山坡AB，可用ΔyΔx来近似刻画山路的陡峭程度．问题3：试想ΔyΔx＝y1－y0x1－x0的几何意义是什么？提示：ΔyΔx＝y1－y0x1－x0表示直线AB的斜率．问题4：从A到B，从A到C，两者的ΔyΔx相同吗？ΔyΔx的值与山路的陡峭程度有什么关系？提示：不相同.ΔyΔx的值越大，山路越陡峭．[必备知识]1．一般地，函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为_____________.[提醒]在函数平均变化率的定义中，应注意以下几点：(1)函数在[x1，x2]上有意义；(2)在式子fx2－fx1x2－x1中，x2－x10，而f(x2)－f(x1)的值可正、可负、可为0；fx2－fx1x2－x1(3)在平均变化率中，当x1取定值后，x2取不同的数值时，函数的平均变化率不一定相同；同样的，当x2取定值后，x1取不同的数值时，函数的平均变化率也不一定相同．2．平均变化率是曲线陡峭程度的“_________”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“_________”．数量化视觉化考点一求函数在某区间的平均变化率[典例](1)求函数f(x)＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率；(2)求函数g(x)＝3x－2在区间[－2，－1]上的平均变化率．[解](1)函数f(x)＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为：f2.1－f22.1－2＝3×2.12＋2－3×22＋20.1＝12.3.(2)函数g(x)＝3x－2在区间[－2，－1]上的平均变化率为g－1－g－2－1－－2＝[3×－1－2]－[3×－2－2]－1－－2＝－5－－8－1＋2＝3.[类题通法]求函数平均变化率的三个步骤第一步：求自变量的改变量x2－x1；第二步：求函数值的改变量f(x2)－f(x1)；第三步：求平均变化率fx2－fx1x2－x1.[针对训练]1．若函数f(x)＝x2－c在区间[1，m]上的平均变化率为3，则m等于________．解析：由题意得m2－c－12－cm－1＝3，所以m＝2(m＝1舍去)．答案：22．已知函数f(x)＝x＋1x，分别计算f(x)在区间[1,2]和[3,5]上的平均变化率，并比较在两个区间上变化的快慢．解：自变量x从1变化到2时，函数f(x)的平均变化率为ΔyΔx＝f2－f12－1＝12.自变量x从3变化到5时，函数f(x)的平均变化率为ΔyΔx＝f5－f35－3＝1415.由于121415，所以函数f(x)＝x＋1x在[1,2]的平均变化比在[3,5]的平均变化慢．考点二实际问题中的平均变化率[典例]物体的运动方程为S(t)＝t＋1(位移单位：m；时间单位：s)，求物体在t＝1s到t＝(1＋Δt)s这段时间内的平均速度．[解]物体在[1,1＋Δt]内的平均速度为S1＋Δt－S11＋Δt－1＝1＋Δt＋1－1＋1Δt＝2＋Δt－2Δt＝2＋Δt－22＋Δt＋2Δt2＋Δt＋2＝12＋Δt＋2(m/s)．即物体在t＝1s到t＝(1＋Δt)s这段时间内的平均速度为12＋Δt＋2m/s.[类题通法]平均变化率问题在生活中随处可见，常见的有求某段时间内的平均速度、加速度、膨胀率、经济效益等．分清自变量和因变量是解决此类问题的关键．[针对训练]1．已知某物体运动的速度与时间之间的关系式是v(t)＝t＋13t3，则该物体在时间间隔1，32内的平均加速度为________．解析：平均加速度ΔvΔt＝32＋13·323－1＋1332－1＝3112.答案：31122．路灯距地面8m，一个身高为1.6m的人以84m/min的速度在地面上从路灯在地面上的射影C点处沿直线匀速离开路灯．(1)求身影的长度y(单位：m)与人距C点的距离x(单位：m)之间的关系式；(2)求人离开C点10s内身影长度的平均变化率．解：(1)如图所示，设人从C点运动到B点的位移为xm，AB为身影长度，AB的长度为ym，由于CD∥BE，则ABAC＝BECD，即yy＋x＝1.68，所以y＝f(x)＝0.25x.(2)设人离开C点的时间为ts,84m/min＝1.4m/s，而x＝1.4t，所以y＝0.35t.在[0,10]内自变量的增量为t2－t1＝10－0＝10，函数值的增量为f(t2)－f(t1)＝0.35×10－0.35×0＝3.5，所以ft2－ft1t2－t1＝3.510＝0.35.即人离开C点10s内身影长度的平均变化率为0.35m/s.考点三函数平均变化率的应用[典例]甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，试比较两人的速度哪个大？[解]在t0处s1(t0)＝s2(t0)，但s1t0－s1t0－ΔtΔts2t0－s2t0－ΔtΔt，所以在单位时间内乙的速度比甲的速度大，因此在整个运动状态中乙的速度比甲的速度大．[类题通法]平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化率越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化率越慢．[针对训练]1.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示．在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为v1]，v2]，v3]，则三者的大小关系是()A．v2]＝v3]＜v1]B．v1]＜v2]＝v3]C．v1]＜v2]＜v3]D．v2]＜v3]＜v1]解析：选Cv1]＝st1－st0t1－t0＝kOA，v2]＝st2－st1t2－t1＝kAB，v3]＝st3－st2t3－t2＝kBC，由图象知：kOAkABkBC，所以v3]v2]v1]．2．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有用“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，从A处到B处会感觉比较轻松，而从C处到D处会感觉比较吃力．试用数学语言给出解释．解：山路从A处到B处高度的平均变化率为Δy1Δx1＝10－050－0＝15，山路从C处到D处高度的平均变化率为Δy2Δx2＝30－15100－70＝12，由12＞15，知山路从C处到D处比从A处到B处陡峭．故从A处到B处会感觉比较轻松，而从C处到D处会感觉比较吃力．[课堂归纳领悟]1．求函数在指定区间上的平均变化率应注意的问题(1)平均变化率的公式中，分子是区间两端点间的函数值的差，分母是区间两端点间的自变量的差．(2)平均变化率公式中，分子、分母中被减数同时为右端点，减数同为左端点．2．一次函数的平均变化率一次函数y＝kx＋b(k≠0)在区间[m，n]上的平均变化率为fn－fmn－m＝kn＋b－km＋bn－m＝k.由上述计算可知，一次函数y＝kx＋b，在区间[m，n]上的变化率与m，n的值无关，只与一次项系数有关，且其平均变化率等于一次项的系数．3．平均变化率的几何意义(1)平均变化率fx2－fx1x2－x1表示点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”．(2)平均变化率的大小类似函数的单调性，可说明函数图象的陡峭程度．