（江苏专用）2019-2020学年高中数学 第三章 统计案例 习题课（五） 统计案例课件 苏教版选修

习题课(五)(提升关键能力)统计案例高频考点一回归分析1．一个重要方程对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其线性回归直线方程为y^＝b^x＋a^.其中b^＝i＝1nxi－xyi－yi＝1nxi－x2，a^＝y－b^x.2．重要参数相关指数r2是用来刻画回归模型的回归效果的，其值越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好．3．两种重要图形(1)散点图散点图是进行线性回归分析的主要手段，其作用如下：一是判断两个变量是否具有线性相关关系，如果样本点呈条状分布，则可以断定两个变量有较好的线性相关关系；二是判断样本中是否存在异常．(2)残差图残差图可以用来判断模型的拟合效果，其作用如下：一是判断模型的精度，残差点所分布的带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高，回归方程的预报精度越高．二是确认样本点在采集中是否有人为的错误．[典例]如图是我国2011年到2017年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2019年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：i＝17yi＝9.32，i＝17tiyi＝40.17,i＝17yi－y2＝0.55，7≈2.646.参考公式：相关系数r＝i＝1nti－tyi－yi＝1nti－t2i＝1nyi－y2，回归方程y^＝a^＋b^t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b^＝i＝1nti－tyi－yi＝1nti－t2，a^＝y－b^t.[解](1)由折线图中数据和附注中参考数据得t＝4，i＝17(ti－t)2＝28,i＝17yi－y2＝0.55，i＝17(ti－t)(yi－y)＝i＝17tiyi－ti＝17yi＝40.17－4×9.32＝2.89，r≈2.892×2.646×0.55≈0.99.因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．(2)由y＝9.327≈1.331及(1)得b^＝i＝17ti－tyi－yi＝17ti－t2＝2.8928≈0.103，a^＝y－b^t≈1.331－0.103×4≈0.92.所以y关于t的回归方程为y^＝0.92＋0.10t.将2019年对应的t＝9代入回归方程得y^＝0.92＋0.10×9＝1.82.所以预测2019年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨．[类题通法]回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，其步骤是先画出散点图，并对样本点进行相关性检验，在此基础上选择适合的函数模型去拟合样本数据，从而建立较好的回归方程，并且用该方程对变量值进行分析；有时回归模型可能会有多种选择(如非线性回归模型)，此时可通过残差分析或利用相关指数R2来检查模型的拟合效果，从而得到最佳模型．[集训冲关]1．变量X与Y相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U与V相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则()A．r2r10B．0r2r1C．r20r1D．r2＝r1解析：选C画散点图，由散点图可知X与Y是正相关，则相关系数r10，U与V是负相关，相关系数r20.2．某百货公司1～6月份的销售量x与利润y的统计数据如下表：月份123456销售量x/万件1011131286利润y/万元222529261612(1)根据2～5月份的数据，求出y关于x的回归直线方程y^＝b^x＋a^；(2)若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差均不超过2万元，则认为得到的回归直线方程是理想的，试问所得回归直线方程是否理想？解：(1)根据表中2～5月份的数据，计算得x＝11，y＝24，i＝25(xi－x)(yi－y)＝36，i＝25(xi－x)＝14.则b^＝i＝25xi－xyi－yi＝25xi－x2＝3614＝187，a^＝y－b^x＝24－187×11＝－307.故y关于x的回归直线方程为y^＝187x－307.(2)当x＝10时，y^＝187×10－307＝1507，此时1507－222；当x＝6时，y^＝187×6－307＝787，此时787－122.故所得的回归直线方程是理想的．高频考点二独立性检验[典例]为了解某地区观众对某大型综艺节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众观看该节目的场数与所对应的人数的表格：场数91011121314人数10182225205将收看该节目场数不低于13场的观众称为“歌迷”，已知“歌迷”中有10名女性．(1)根据已知条件完成如下2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否为“歌迷”与性别有关？非歌迷歌迷总计男女总计(2)将收看该节目所有场数(14场)的观众称为“超级歌迷”，已知“超级歌迷”中有2名女性，若从“超级歌迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．注：P(χ2≥k0)0.100.05k02.7063.841χ2＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d，n＝a＋b＋c＋d.[解](1)由统计表可知，在抽取的100人中，“歌迷”有25人，从而完成2×2列联表如下：非歌迷歌迷总计男301545女451055总计7525100将2×2列联表中的数据代入公式计算得：χ2＝100×30×10－45×15275×25×45×55＝10033≈3.0303.841，所以我们不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否为“歌迷”与性别有关．(2)由统计表可知，“超级歌迷”有5人，其中2名女性，3名男性，设2名女性分别为a1，a2,3名男性分别为b1，b2，b3，从中任取2人所包含的基本事件有：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)共10个，用A表示“任意选取的2人中，至少有1名女性观众”这一事件，A包含的基本事件有：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，共7个，所以P(A)＝710.[类题通法]独立性检验问题的求解策略(1)等高条形图法：依据题目信息画出等高条形图，依据频率差异来粗略地判断两个变量的相关性．(2)χ2统计量法：通过公式χ2＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d先计算观测值k，再与临界值表作比较，最后得出结论．[集训冲关]1．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由K2＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d算得，K2＝110×40×30－20×20260×50×60×50≈7.8.附表：P(χ2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是()A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”解析：选A由7.86.635知，有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．2．某晚会上，演员身穿独特且轻薄的石墨烯发热服，在寒气逼人的零下20℃的现场表演了精彩的节目．石墨烯发热服的制作：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯发热膜，再把石墨烯发热膜铺到衣服内．(1)从石墨分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶．现有A，B两种材料供选择，研究人员对附着在A材料上再结晶做了30次试验，成功28次；对附着在B材料上再结晶做了30次试验，成功20次．补充下列2×2列联表，并判断是否有99.5%的把握认为试验是否成功与A材料和B材料的选择有关.A材料B材料合计成功不成功合计(2)研究人员得到石墨烯后，再制作石墨烯发热膜有四个环节，其中前三个环节每个环节生产合格的概率均为12，每个环节不合格需要修复的费用均为200元；第四个环节生产合格的概率为23，此环节不合格需要修复的费用为100元．问：一次生产出来的石墨烯发热膜成为合格品平均需要多少修复费用？附：K2＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d，其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.1000.0500.0100.0050.001k02.7063.8416.6357.87910.828解：(1)2×2列联表如下：A材料B材料合计成功282048不成功21012合计303060K2＝60×28×10－2×20248×12×30×30≈6.667＜7.879，所以没有99.5%的把握认为是否成功与A材料和B材料的选择有关．(2)设X为一次生产出石墨烯发热膜为合格品所需的修复费用，则X的可能取值为0,100,200,300,400,500,600,700，P(X＝0)＝123×23＝112，P(X＝100)＝123×13＝124，P(X＝200)＝C131－12×122×23＝14，P(X＝300)＝C131－12×122×13＝18，P(X＝400)＝C231－122×12×23＝14，P(X＝500)＝C231－122×12×13＝18，P(X＝600)＝1－123×23＝112，P(X＝700)＝1－123×13＝124，故E(X)＝0×112＋100×124＋200×14＋300×18＋400×14＋500×18＋600×112＋700×124＝33313.