（江苏专用）2019-2020学年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数的四则运算

第二课时复数的乘方与除法运算[探究发现]问题1：在实数中，若a·b＝c(a≠0)，则b＝ca.反之，若b＝ca，则a·b＝c.那么在复数集中，若z1·z2＝z3，有z1＝z3z2(z2≠0)成立吗？提示：成立．问题2：若复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)，则z1z2如何运算？提示：通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成a＋bic＋di的形式，再把分子与分母都乘分母的共轭复数c－di，化简后可得结果，即a＋bic＋di＝a＋bic－dic＋dic－di＝ac＋bd＋bc－adic2＋d2＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c＋di≠0)．[必备知识]1．复数范围内正整数指数幂的运算性质对任意复数z，z1，z2和m，n∈N*，有(z)m·(z)n＝_______；(zm)n＝_______；(z1·z2)n＝_______.2．虚数单位in(n∈N*)的周期性i4n＝__，i4n＋1＝__，i4n＋2＝_____，i4n＋3＝_____.(z)m＋nzmnzn1·zn21i－1－i3．复数的除法运算及法则把满足(c＋di)(x＋yi)＝a＋bi(c＋di≠0)的复数x＋yi(x，y∈R)叫做复数a＋bi除以复数c＋di的商．且x＋yi＝a＋bic＋di＝_________________________________.[提醒]复数除法的运算实质是将分母化为实数的过程即分母实数化．a＋bic－dic＋dic－di＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i考点一虚数单位i的幂的周期性[典例]计算下列各式的值．(1)1＋i＋i2＋…＋i2018＋i2019；(2)1－1i2020＋(1－i)2020.[解](1)法一：1＋i＋i2＋…＋i2018＋i2019＝1－i20201－i＝1－11－i＝0.法二：1＋i＋i2＋…＋i2018＋i2019＝1＋(i＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)＋…＋(i2013＋i2014＋i2015＋i2016)＋i2017＋i2018＋i2019＝1＋i－1－i＝0.(2)∵1－1i＝1＋i2i＝1＋i，且(1±i)2＝±2i，∴1－1i2020＋(1－i)2020＝(1＋i)2020＋[(1－i)2]1010＝(2i)1010＋(－2i)1010＝－21010－21010＝－21011.[类题通法](1)虚数单位i的性质：①i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N*)．②i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．(2)复数的乘方运算，要充分运用(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，1i＝－i等一些重要结论简化运算．[针对训练]1．i为虚数单位，i607＝________.解析：因为i4＝1，所以i607＝i604＋3＝(i4)151·i3＝i3＝－i.答案：－i2．计算i2019＋(2＋2i)8－21－i50.解：i2019＋(2＋2i)8－21－i50＝i4×504＋3＋[2(1＋i)2]4－21－i225＝i3＋(4i)4－i25＝－i＋256－i＝256－2i.考点二复数的除法[典例]计算：(1)i－231＋23i＋(5＋i2)－1＋i22；(2)2＋2i34＋5i5－4i1－i.[解](1)原式＝1＋23ii1＋23i＋(5＋i2)－1＋i22＝i＋5－1－i＝i＋4－i＝4.(2)原式＝221＋i35－4ii5－4i1－i＝221＋i4i1－i1＋i＝22[1＋i2]2i2＝2·(2i)2i＝－42i.[类题通法]复数的除法就是分子，分母同乘以分母的共轭复数，从而使分母实数化，熟悉以下结论对简化运算很有帮助．b－ai＝(a＋bi)(－i)，－b＋ai＝(a＋bi)i.[针对训练]1．复数1＋2i23－4i＝()A．－1B．1C．－iD．i解析：选A1＋2i23－4i＝－3＋4i3－4i＝－1.2．如果复数2－bi1＋2i(其中i为虚数单位，b为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b等于________．解析：由2－bi1＋2i＝2－bi1－2i5＝2－2b－b＋4i5，由2－2b＝b＋4，得b＝－23.答案：－233．化简：－1＋3i31＋i6＋－2＋i1＋2i＝________.解析：原式＝－1＋3i2i3＋－2＋i1－2i5＝i＋i＝2i.答案：2i[课堂归纳领悟]1．复数除法的运算技巧在实际进行的复数除法运算中，每次都按乘法的逆运算进行计算将十分麻烦．我们可以用简便方法操作：先把两个复数相除写成分式形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，使分母“实数化”，最后再化简．2．注意复数计算中常用的整体(1)i的性质：i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)；(2)(1±i)2＝±2i，1＋i1－i＝i，1－i1＋i＝－i；(3)设ω＝－12＋32i，则ω3＝1，ω2＋ω＋1＝0，ω2＝ω，ω3＝1.