（江苏专用）2019-2020学年高中数学 第二章 概率 2.3.2 事件的独立性课件 苏教版选修2

2．3.2事件的独立性[探究发现]有这样一项活动：甲箱里装有3个白球，2个黑球，乙箱里装有2个白球，2个黑球，从这两个箱子里分别摸出1个球，记事件A＝“从甲箱里摸出白球”，B＝“从乙箱里摸出白球”．问题1：事件A发生会影响事件B发生的概率吗？提示：不影响．问题2：试求P(A)，P(B)．提示：P(A)＝35，P(B)＝12.问题3∶P(A|B)与P(A)相等吗？提示：相等．问题4：P(AB)为何值？提示：∵P(A|B)＝PABPB＝P(A)，∴P(AB)＝P(A)·P(B)＝35×12＝310.[必备知识]事件的独立性概念一般地，若事件A，B满足________________，则称事件A，B独立性质(1)若A，B独立，且P(A)0，则B，A也独立，即A与B________________(2)约定任何事件与必然事件独立，任何事件与不可能事件独立，则两个事件A，B相互独立的充要条件是________________P(A|B)＝P(A)相互独立P(AB)＝P(A)P(B)概率计算公式(1)若事件A与B相互独立，则A与B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率之积，即P(AB)＝P(A)P(B)．(2)推广：若事件A1，A2，…，An相互独立，则这n个事件同时发生的概率P(A1A2…An)＝________________结论如果事件A与B相互独立，那么___与___，___与___，___与___也都相互独立P(A1)·P(A2)…P(An)ABAABB考点一相互独立事件的概念[典例]容器中盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球．(1)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”这两个事件是否相互独立？为什么？(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“把取出的1个白球放回容器，再从容器中任意取出1个，取出的是黄球”这两个事件是否相互独立？为什么？[解](1)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为58，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为47；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为57.可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．(2)由于把取出的白球放回容器，故对“从中任意取出1个，取出的是黄球”的概率没有影响，所以二者是相互独立事件．[类题通法]解决此类问题常用的两种方法(1)定量计算法：利用相互独立事件的定义(即P(AB)＝P(A)P(B))可以准确地判定两个事件是否相互独立．(2)定性判断法：看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响．没有影响就是相互独立事件；有影响就不是相互独立事件．[针对训练]1．下列事件A，B是相互独立事件的是()A．一枚硬币掷两次，A＝“第一次为正面”，B＝“第二次为反面”B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸球两次，每次摸一球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球”C．掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为偶数”D．A＝“一个灯泡能用1000小时”，B＝“一个灯泡能用2000小时”解析：选A把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A是相互独立事件；B中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相互独立；对于C，其结果具有唯一性，A，B应为互斥事件；D中事件B受事件A的影响．2．分别抛掷2枚质地均匀的硬币，设A是事件“第1枚为正面”，B是事件“第2枚为正面”，C是事件“2枚结果相同”，问：A，B，C中哪两个相互独立？解：P(A)＝0.5，P(B)＝0.5，P(C)＝0.5，P(AB)＝0.25，P(BC)＝0.25，P(AC)＝0.25，可以验证：P(AB)＝P(A)P(B)，P(BC)＝P(B)P(C)，P(AC)＝P(A)P(C)．∴事件A与B相互独立，事件B与C相互独立，事件A与C相互独立．考点二求相互独立事件发生的概率[典例]甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3人能被选中的概率分别为25，34，13，且各自能否被选中互不影响．(1)求3人同时被选中的概率；(2)求3人中至少有1人被选中的概率．[解]设甲、乙、丙能被选中的事件分别为A，B，C，则P(A)＝25，P(B)＝34，P(C)＝13.(1)3人同时被选中的概率P1＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝25×34×13＝110.(2)3人中有2人被选中的概率P2＝P(ABC∪ABC∪ABC)＝25×34×1－13＋25×1－34×13＋1－25×34×13＝2360.3人中只有1人被选中的概率P3＝P(ABC∪ABC∪ABC)＝25×1－34×1－13＋1－25×34×1－13＋1－25×1－34×13＝512.故3人中至少有1人被选中的概率为P1＋P2＋P3＝110＋2360＋512＝910.[类题通法](1)求相互独立事件同时发生的概率的步骤：①首先确定各事件之间是相互独立的；②确定这些事件可以同时发生；③求出每个事件的概率，再求积．(2)使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们同时发生．[针对训练]1．甲射击命中目标的概率为34，乙射击命中目标的概率为23，当两人同时射击同一目标时，该目标被击中的概率为________．解析：P＝34×13＋14×23＋34×23＝1112.答案：11122．一个袋子中有3个白球，2个红球，每次从中任取2个球，取出后再放回，求：(1)第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率；(2)第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率．解：记：“第1次取出的2个球都是白球”的事件为A，“第2次取出的2个球都是红球”的事件为B，“第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球”的事件为C，很明显，由于每次取出后再放回，A，B，C都是相互独立事件．(1)P(AB)＝P(A)P(B)＝C23C25·C22C25＝310·110＝3100.故第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率是3100.(2)P(CA)＝P(C)P(A)＝C13·C12C25·C23C25＝610·310＝950.故第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率是950.考点三相互独立事件的应用[典例]某项竞赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段，每个阶段选手要回答一个问题．规定正确回答问题者进入下一阶段竞赛，否则即被淘汰．已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是34，12，14，且各阶段通过与否相互独立．(1)求该选手在复赛阶段被淘汰的概率；(2)设该选手在竞赛中回答问题的个数为X，求X的分布列．[解析](1)记“该选手通过初赛”为事件A，“该选手通过复赛”为事件B，“该选手通过决赛”为事件C，则P(A)＝34，P(B)＝12，P(C)＝14，那么该选手在复赛阶段被淘汰的概率P＝P(AB)＝P(A)P(B)＝34×1－12＝38.(2)X的所有可能取值为1,2,3，P(X＝1)＝1－34＝14，P(X＝2)＝34×1－12＝38，P(X＝3)＝34×12＝38.故X的分布列为X123P143838[类题通法]解决此类问题要明确事件中关键词的意义，将事件合理分析：已知两个事件A，B，它们的概率分别为P(A)，P(B)，则A，B中至少有一个发生的事件为A＋B；A，B都发生的事件为AB；A，B都不发生的事件为A－B－；A，B恰有一个发生的事件为AB－＋A－B；A，B中至多有一个发生的事件为AB－＋A－B＋A－B－.[针对训练]1．甲、乙两颗卫星同时独立的监测台风．在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为()A．0.95B．0.6C．0.05D．0.4解析：选A法一：在同一时刻至少有一颗卫星预报准确可分为：①甲预报准确，乙预报不准确；②甲预报不准确，乙预报准确；③甲预报准确，乙预报准确．这三个事件彼此互斥，故事件的概率为0.8×(1－0.75)＋(1－0.8)×0.75＋0.8×0.75＝0.95.法二：“在同一时刻至少有一颗卫星预报准确”的对立事件是“在同一时刻甲、乙两颗卫星预报都不准确”，故事件的概率为1－(1－0.8)(1－0.75)＝0.95.故选A.2．若进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．(1)求进入商场的一位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；(2)求进入商场的一位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率．解：记事件A为“进入商场的一位顾客购买甲种商品”；记事件B为“进入商场的一位顾客购买乙种商品”；记事件C为“进入商场的一位顾客购买甲、乙两种商品中的一种”；记事件D为“进入商场的一位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种．”(1)∵C＝AB＋AB，∴P(C)＝P(AB＋AB)＝P(AB)＋P(AB)＝P(A)·P(B)＋P(A)·P(B)＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5.(2)∵D＝AB，∴P(D)＝P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.5×0.4＝0.2，P(D)＝1－P(D)＝0.8.[课堂归纳领悟]相互独立事件常与互斥事件、对立事件综合考查，解决此类问题的一般步骤：(1)列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；(2)理清事件之间的关系(互斥、对立、相互独立)，列出关系式；(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．