2018中考数学二次函数压轴试题分类精析专题04-二次函数与平行四边形存在性问题-

一、解决此类题目的基本步骤与思路1.先分类，（按照边和对角线进行分类）2.画图，（画出大致的平行四边形的样子，抓住目标点坐标）3.计算（利用平行四边形的性质以及全等三角形的性质）二、针对于计算的方法选择1.全等三角形抓住对应边对应角的相等2.在利用点坐标进行长度的表示时要利用两点间距离公式3.平行四边形的对应边相等列相关的等式4.利用平行四边形的对角线的交点从而找出四个点坐标之间的关系XA+XC=XB+XDYA+YC=YB+YD（利用P是中点，以及中点坐标公式）A(x1,y1)、B（x2,y2），那么AB中点坐标就是（,）注意事项：1.简单的直角三角形可以直接利用底乘高进行面积的表示2.复杂的利用“补”的方法构造矩形或者大三角形，整体减去部分的思想3.利用“割”的方法时，一般选用横割或者竖割，也就是做坐标轴的垂线。4.利用点坐标表示线段长度时注意要用大的减去小的。二次函数中平行四边形的存在性问题（一）例题演示已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点分别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C．（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；ABDCP【解析】：（1）点A的坐标是纵坐标为0，得横坐标为8，所以点A的坐标为（8，0）；点B的坐标是横坐标为0，解得纵坐标为6，所以点B的坐标为（0，6）；由题意得：BC是∠ABO的角平分线，所以OC=CH，BH=OB=6。∵AB=10，∴AH=4，设OC=x，则AC=8﹣x，由勾股定理得：x=3，∴点C的坐标为（3，0）将此三点代入二次函数一般式，列的方程组即可求得；（2）求得直线BC的解析式，根据平行四边形的性质，对角相等，对边平行且相等，借助于三角函数即可求得；解答：（1）点C的坐标为（3，0）．（1分）∵点A、B的坐标分别为A（8，0），B（0，6），[来源:学.科.网Z.X.X.K]∴可设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=a（x﹣3）（x﹣8）．将x=0，y=6代入抛物线的解析式，得．∴过A、B、C三点的抛物线的解析式为．（2）可得抛物线的对称轴为直线，顶点D的坐标为，设抛物线的对称轴与x轴的交点为G．直线BC的解析式为y=﹣2x+6.设点P的坐标为（x，﹣2x+6）．解法一：如图，作OP∥AD交直线BC于点P，连接AP，作PM⊥x轴于点M．∵OP∥AD，∴∠POM=∠GAD，tan∠POM=tan∠GAD．∴，即．解得．经检验是原方程的解．此时点P的坐标为．但此时，OM＜GA．∵，∴OP＜AD，即四边形的对边OP与AD平行但不相等，∴直线BC上不存在符合条件的点P解法二：如图，取OA的中点E，作点D关于点E的对称点P，作PN⊥x轴于点N．则∠PEO=∠DEA，PE=DE．可得△PEN≌△DEG．由，可得E点的坐标为（4，0）．NE=EG=，ON=OE﹣NE=，NP=DG=．∴点P的坐标为．∵x=时，，∴点P不在直线BC上．∴直线BC上不存在符合条件的点P．【试题精炼】如图，已知抛物线2yxbxc与一直线相交于A（-1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；[来源:学+科+网]【解析】：本题主要考查二次函数的应用。（1）利用待定系数法，以及点A(-1,0)，C(2,3)即可求得二次函数解析式、一次函数解析式。（2）根据题意进行分类讨论：①当点E在线段AC上时，点F在点的E上方，则F(x,x+3)，根据题意可求得E的坐标；②点E在线段AC（或）延长线上时，点F在点E的下方，则点F的坐标为(x,x-1)，然后利用二次函数图象上点的坐标特征可求得点E的坐标。解答：（1）由题意可知，点A,C坐标分别代入抛物线解析式解得b=2，c=3.又因为A,C在直线上，设y=kx+b，解得k=1，n=1所以直线解析式为y=x+1（2）由（1）、（2）得点D的坐标为(1,4)，点B的横坐标与点D的横坐标相同，且点B在直线AC上，将其代入y=x+1，可得y=2。故点B的坐标为(1,2)，因为点E在直线AC上，设点E的坐标为(x，x+1)。①如图2所示，当点E在线段AC上时，点F在点E的上方，则点F的坐标为(x，x+3)，因为点F在抛物线上，所以x+3=-x2+2x+3，解得x=0或x=1（舍去），所以点E的坐标为（0,1）②当点E在线段AC延长线上时，则点F的坐标为(x，x-1)，点F在点E的下方，因为F在抛物线上，所以x-1=-x2+2x+3，解得x=或x=，[来源:学。科。网]所以综上所述，点的坐标点E的坐标为（0,1）或者（，），（）【中考链接】如图，已知与x轴交于点(10)A，和(50)B，的抛物线1l的顶点为(34)C，，抛物线2l与1l关于x轴对称，顶点为C．（1）求抛物线2l的函数关系式；（2）已知原点O，定点(04)D，，2l上的点P与1l上的点P始终关于x轴对称，则当点P运动到何处时，以点DOPP，，，为顶点的四边形是平行四边形？解答：（1）由题意知点C的坐标为(34)，．设2l的函数关系式为2(3)4yax．又点(10)A，在抛物线2(3)4yax上，2(13)40a，解得1a．抛物线2l的函数关系式为2(3)4yx（或265yxx）．（2）P与P始终关于x轴对称，PP与y轴平行．设点P的横坐标为m，则其纵坐标为265mm，4OD，22654mm，即2652mm．当2652mm时，解得36m．当2652mm时，解得32m．当点P运动到(362)，或(362)，或(322)，或(322)，时，PPOD∥，以点DOPP，，，为顶点的四边形是平行四边形．【巩固练习】.如图，在平面直角坐标系中，抛物线223yxx交x轴于,AB两点(点A在点B的左侧)，将该抛物线位于x轴上方曲线记作M，将该抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻折，翻折后所得曲线记作N，曲线N交y轴于点C，连接,ACBC.(1)求曲线N所在抛物线相应的函数表达式;(2)点P为曲线M或曲线N上的一个动点，点Q为x轴上的一个动点，若以点,,,BCPQ[来源:Zxxk.Com]为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标.【解析】：本题主要考查二次函数的应用、和平行四边形。（1）由已知抛物线可求得顶点坐标，进而求得曲线N所在抛物线顶点坐标，进而再利用顶点式可求得曲线N的解析式。（2）过点C作直线l∥x轴，交曲线M或N于点P，所以l：y=3，考虑两种情况：点P位于曲线M上和点P位于曲线N上，分别联立曲线M和直线l的方程或曲线N和直线l的方程，求出点P的坐标，再根据平行四边形的性质，即可求出点Q的坐标。[来源:学&科&网Z&X&X&K]（2）过点C作直线l∥x轴，交曲线M或N于点P，所以l：y=3。当点P位于曲线M上时，由x2-2x-3=3，解得x1=+1，x2=-+1，所以CP=+1，或CP=-1因为以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，所以CP∥BQ且CP=BQ，所以Q1(4+,0)，Q2(4-,0)，Q3(2+,0)，Q4(4-,0)；当点位于曲线N上时，由-x2+2x+3=3，解得x3=0（舍去）或x4=2，所以CP=2，因为以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，所以CP∥BQ且CP=BQ，所以Q5(5,0),Q6(1,0)综上所述，点Q的坐标分别为：Q1(4+,0)，Q2(4-,0)，Q3(2+,0)，Q4(4-,0),Q5(5,0),Q6(1,0)。