江苏省扬州中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题（PDF）

1江苏省扬州中学2019——2020学年度第一学期期中考试高二数学（试题满分：150分考试时间：120分钟）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，计60分．每小题所给的A.B.C.D.四个结论中，只有一个是正确的。)1.命题“∃x∈Z，使x2+2x+m≤0”的否定是（）A．∀x∈Z，都有x2+2x+m≤0B．∃x∈Z，使x2+2x+m＞0C．∀x∈Z，都有x2+2x+m＞0D．不存在x∈Z，使x2+2x+m＞02.21+与21−的等比中项是（）A.2B.1C.-1D.13.“01m”是“方程2212xymm+=−表示椭圆”的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件4.双曲线221412xy−=的焦点到渐近线的距离为（）A．23B．2C．3D．15.已知等差数列na的公差为2，若134,,aaa成等比数列，nS是na的前n项和，则9S等于（）A．8−B．6−C．10D．06.双曲线x2m－y2n＝1(mn≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn的值为()A．38B．316C．163D．837.已知数列{an}的前n项和为Sn，则“{an}是等差数列”是“{}nSn是等差数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8.已知数列na，nb都是等差数列，Sn，Tn分别是它们的前n项和，并且733nnSnTn+=+，2则223817b+baa+=()A.176B.134C.193D.1369.过104（，）的直线与抛物线2yx=交于A，B两点，若||4AB=，则弦AB的中点到直线102x+=的距离等于（）A.74B.94C.4D.210.已知数列na，如果1a，21aa−，32aa−，……，1nnaa−−，……，是首项为1，公比为13的等比数列，则na=（）A.31123n（）−B.131123n−−（）C.21133n−（）D.121133n−−（）11.已知点(1,0)M，,AB是椭圆2214xy+=上的动点，且0MAMB=，则MABA的取值范围是（）A.[1,9]B.2[,9]3C.2[,1]3D.6[,3]312.已知椭圆22221(0)xyabab+=的左、右焦点分别为1F，2F，P为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，I，G分别为12PFF的内心和重心，当IGx⊥轴时，椭圆的离心率为（）A．13B．12C．32D．63二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，计20分．只要求写出最后结果．)13.若“3x”是“xm”的必要不充分条件，则m的取值范围是________．14.已知数列{}na满足：11a=，*132()nnaanN+=+，则na=.315.过原点作一条倾斜角为的直线与椭圆22221(0)xyabab+=交于AB、两点，12,FF为椭圆的左,右焦点，若122FAF=,且该椭圆的离心率26[,]23e，则的取值范围为．16.过抛物线24yx=焦点的直线l与抛物线交于A，B两点，与圆()2221xyr−+=交于C，D两点，若有三条直线满足ACBD=，则r的取值范围为.三、解答题（本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）17.（本小题满分10分）（1）已知数列na的前n项和为nS，若321nnSn=++，求na.（2）已知{an}是各项为正的等比数列，a1＝2，a3＝2a2+16,设bn＝2logna，求数列{bn}的前n项和．18.（本小题满分12分）已知双曲线C：22221xyab−=（a＞0，b＞0）的离心率为3，且223ac=（1）求双曲线C的方程.（2）已知直线0xym−+=与双曲线C交于不同的两点A，B且线段AB的中点在圆225xy+=上，求m的值19.（本小题满分12分）已知:(1)(2)0,:pxxq+−关于x的不等式2260xmxm+−+恒成立(1)当xR时q成立，求实数m的取值范围.(2)若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围.20.（本小题满分12分）已知{}na为等差数列，前n项和为()nSnN，{}nb是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312bb+=,3412baa=−，11411Sb=.4（1）求{}na和{}nb的通项公式；（2）求数列221{}nnab−的前n项和()nN.（3）设221lognncb−=，nP为数列214nnncc+的前n项和，求不超过2019P的最大整数．21.（本小题满分12分）如图,已知抛物线C顶点在坐标原点，焦点F在y轴的非负半轴上，点(2,1)M−是抛物线上的一点.（1）求抛物线C的标准方程（2）若点,PQ在抛物线C上,且抛物线C在点,PQ处的切线交于点S,记直线,MPMQ的斜率分别为12,kk，且满足211kk−=,当,PQ在C上运动时，PQS的面积是否为定值？若是，求出PQS的面积；若不是，请说明理由.22.（本小题满分12分）如图，已知椭圆C：22221(0,0)xyabab+=的离心率为12，右准线方程为4x=，A，B分别是椭圆C的左，右顶点，过右焦点F且斜率为k(k＞0)的直线l与椭圆C相交于M，N两点．（1）求椭圆C的标准方程.（2）记△AFM，△BFN的面积分别为S1，S2，若1232SS=求k的值.（3）设线段MN的中点为D，直线OD与右准线相交于点E，记直线AM，BN，FE的斜率分别为k1，k2，k3，求k2·(k1－k3)的值．出题人：蒋红慧江金彪校对：韩悦审核：姜卫东5高二数学期中考试答案1.C2.D3.B4.A5.D6.B7.C8.C9.B10.A11.B12.A13.3m14.123-1nna−=15.5[,]6616.()2,+16.详解：（1）当直线lx⊥轴时，直线l：1x=与抛物线交于(1,2)(1,2)−、，与圆222(1)xyr−+=交于(1,)(1,)rr−、，满足ACBD=.（2）当直线l不与x轴垂直时，设直线l方程(1)ykx=−.1122(,),(,)AxyBxy联立方程组2(1)4ykxyx=−=化简得2222(24)0kxkxk−++=由韦达定理12242xxk+=+由抛物线得定义，过焦点F的线段122424ABAFBFxxk=+=++=+当四点顺序为ACDB、、、时ACBD=AB的中点为焦点F（1，0），这样的不与x轴垂直的直线不存在；当四点顺序为ACBD、、、时，ACBD=ABCD=又2CDr=，2442rk+=，即222rk=−当2r时存在互为相反数的两斜率k，即存在关于1x=对称的两条直线。综上，当(2,)r+时有三条满足条件的直线.故选B.17．解：(1)当1n=时，116as==；当2n时，111(321)[32(1)1]232nnnnnnassnn−−−=−=++−+−+=+由于1a不适合此式，6所以16,1232,2nnnan−==+……………………………5分（2）设等比数列的公比为q，由a1＝2，a3＝2a2+16，得2q2＝4q+16，即q2﹣2q﹣8＝0，解得q＝﹣2（舍）或q＝4．∴；bn＝log2an，∵b1＝1，bn+1﹣bn＝2（n+1）﹣1﹣2n+1＝2，∴数列{bn}是以1为首项，以2为公差的等差数列，则数列{bn}的前n项和．18.（1）由题意，2323caac==，解得63a=，c=2．∴22224233bca=−=−=．∴双曲线C的方程为2233124xy−=；（2）由22331240xyxym−=−+=，得3x2-6mx-3m2-4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），∴x1+x2=2m，又中点在直线x-y+m=0上，∴中点坐标为（m，2m），代入x2+y2=5得m=±1，满足判别式△＞0．∴m的值为±1．19.（1）由题可知2244240,60,32mmmmm=+−+−=−实数m的取值7范围是()3,2−（2）:12px−，设{|12}Axx=−，2|260Bxxmxm=+−+p是q的充分不必要条件，A是B的真子集①由（1）知，32m−时，B=R，符合题意；②3m=−时，26903Bxxxxx=−+=，符合题意③2m=时，24402Bxxxxx=++=−，符合题意④32mm−或时，设2(2)6xmfxmx+−+=,()fx的对称轴为直线xm=−，由A是B的真子集得()()1212,10203+703+100mmmmffmm−−−−−−或或，71010712,323333mmmm−−−−或或综上所述：10733m-20.【解析】（1）设等差数列{}na的公差为d，等比数列{}nb的公比为q.由已知2312bb+=，得21()12bqq+=，而12b=，∴260qq+−=.又∵0q，解得2q=.∴2nnb=.由3412baa=−，可得138da−=①，由114=11Sb，可得1516ad+=②，联立①②，解得11a=，3d=，由此可得32nan=−.∴数列{}na的通项公式为32nan=−，数列{}nb的通项公式为2nnb=.（2）设数列221{}nnab−的前n项和为nT，由262nan=−，12124nnb−−=，有221(31)4nnnabn−=−，8∴23245484(31)4nnTn=++++−，23414245484(34)4(31)4nnnTnn+=++++−+−，上述两式相减，得231324343434(31)4nnnTn+−=++++−−1112(14)4(31)414(32)48.nnnnn++−=−−−−=−−−得1328433nnnT+−=+.∴数列221{}nnab−的前n项和为1328433nn+−+.（3）由（Ⅰ）知：21212nnb−−=，则212log221nncn−==−()()()()22221444111111212141212122121nnnnnccnnnnnnn+===+=+−−+−−+−+1111111111112132352212121nnPnnnn=+−++−+++−=+−++20192019201920194039P=+不超过2019P的最大整数为201921.（1）设抛物线的方程为22xpy=将M（-2，1）点坐标代入方程中，解得24xy=（2）设221212,,,44xxPxQx，设直线PQ的方程为ykxb=+,代入抛物线方程24xy=，得到2440xkxb−−=，则12124,4xxkxxb+==−，结合211kk−=，而()2,1M−则2221212121112244,2424xxxxkkxx−−−−====++，代入，得到214xx−=所以()()2221212124161616xxxxxxkb−=+−=+=，解得21kb+=9过P点的切线斜率为12x，过Q切线斜率为22x，则PS的方程为21124xxyx=−，QS的方程为22224xxyx=−，联解这两个方程，得到S的坐标为()2,kb−，故点S的直线PQ的距离为22222211kbdkk+==++，而PQ的长度为2212114kxxk+−=+，故面积为22112414221SdPQkk==+=+，故为定值。22.（1）设椭圆的焦距为2c(c＞0)．依题意，𝑐𝑎=12，且𝑎2𝑐=4，解得a＝2，c＝1．故b2＝a2－c2＝3．所以椭圆C的标准方程为𝑥24+𝑦23=1．（2）设点M(x1，y1)，N(x2，y2)．据题意，𝑆1𝑆2=32，即12×|𝐴𝐹|×|𝑦1|12×|𝐵𝐹|×|𝑦2|=32，整理可得|𝑦