江苏省南京市2019届高三数学二轮专题复习 专题07 导数及其应用（pdf）

南京市2019届高三数学二轮专题复习资料第1页共53页专题7：导数及其应用目录问题归类篇...............................................................................................................................................................2类型一：切线方程...........................................................................................................................................2类型二利用导数研究函数的单调性问题:....................................................................................................6类型三：函数极值与最值.............................................................................................................................13类型四：不等式恒成立问题.........................................................................................................................24类型五：方程有解（或解的个数）问题.....................................................................................................33综合应用篇.............................................................................................................................................................41一、例题分析.................................................................................................................................................41二、反馈巩固.................................................................................................................................................45南京市2019届高三数学二轮专题复习资料第2页共53页问题归类篇类型一：切线方程一、前测回顾1．曲线y＝x3上在点(－1，－1)的切线方程为．答案：y＝3x＋2．解析：y′＝3x2，则切线的斜率是3×(－1)2，再利用点斜式求出切线方程．2．曲线y＝x3－3x2＋2x过点(0，0)的切线方程为．答案：y＝2x或y＝－14x．解析：y′＝3x2－6x＋2，设切点为（x0，x03－3x02＋2x0），则切线的斜率为3x02－6x0＋2．切线方程为y－(x03－3x02＋2x0)＝(3x02－6x0＋2)(x－x0)，（0，0）代入，得x0的值，从而得到切线方程．二、方法联想涉及函数图象的切线问题：如果已知切点，则利用切点求切线；如果不知切点，则先设切点坐标求出切线方程的一般形式再利用已知条件．注意：(1)“在”与“过”的区别：“在”表示该点为切点，“过”表示该点不一定为切点．(2)切点的三个作用：①求切线斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．三、方法应用例1．（2018全国新课标Ⅰ文、理）设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax．若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为．答案：y＝x.解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即a＝1，，∴f(x)＝x3＋x，∴f′(0)＝1，∴切线方程为y＝x.例2．（2018·无锡期末）已知函数f(x)＝ex(3x－2)，求过点(2，0)与函数y＝f(x)的图像相切的直线方程；解析：设切点为(x0，y0)，f'(x)＝ex(3x＋1)，则切线斜率为ex0(3x0＋1)，所以切线方程为y－y0＝ex0(3x0＋1)(x－x0)，因为切线过(2，0)，所以－ex0(3x0－2)＝ex0(3x0＋1)(2－x0)，化简得3x02－8x0＝0，解得x0＝0，83.当x0＝0时，切线方程为y＝x－2，当x0＝83时，切线方程为y＝9e83x－18e83.例3．（2014江苏）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋bx(a，b为常数)过点P(2,－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是．答案：－3南京市2019届高三数学二轮专题复习资料第3页共53页解析：由题意可得－5＝4a＋b2①，又f'(x)＝2ax－bx2，过点P(2,－5)的切线的斜率4a－b4＝－72②，由①②解得a＝－1，b＝－2，所以a＋b＝－3．例4、已知函数f(x)＝2x3－3x，若过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切，求t的取值范围．答案：t∈(－3，－1)解：设切点坐标(x0，y0)，切线斜率为k，则有y0＝2x30－3x0k＝f'(x0)＝6x20－3切线方程为：y－(2x30－3x0)＝(6x20－3)(x－x0)因为切线过P(1，t)，所以将P(1，t)代入直线方程可得：t－(2x30－3x0)＝(6x20－3)(1－x0)t＝(6x20－3)(1－x0)＋(2x30－3x0)＝6x20－3－6x30＋3x0＋2x30－3x0＝－4x30＋6x20－3所以问题等价于方程t＝－4x30＋6x20－3，令g(x)＝－4x3＋6x2－3即直线y＝t与g(x)＝－4x3＋6x2－3有三个不同交点g'(x)＝－12x2＋12x＝－12x(x－1)令g'(x)＞0解得0＜x＜1所以g(x)在(－∞，0)，(1，＋∞)单调递减，在(0，1)单调递增g(x)＝g(1)＝－1，g(x)＝g(0)＝－3所以若有三个交点，则t∈(－3，－1)所以当t∈(－3，－1)时，过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切．四、归类巩固*1．若曲线y＝12x＋b是曲线y＝lnx(x＞0)的一条切线，则实数b的值为.(已知切线方程求参数值)答案：ln2－1，*2．已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________.（已知切线过定点，求参数）答案：1解析：由题意可得f′(x)＝3ax2＋1，∴f′(1)＝3a＋1，又f(1)＝a＋2，∴f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)，又此切线过点(2,7)，∴7－(a＋2)＝(3a＋1)(2－1)，解得a＝1.*3．函数f(x)＝alnx－bx2上一点P(2，f(2))处的切线方程为y＝－3x＋2ln2＋2，求a，b的值（已知切线方程求参数）答案：a＝2，b＝1，*4.（2018·南京盐城期末·20）设函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax＋bx(a,b∈R）,若函数f(x)与g(x)的图象在x＝1处有相同的切线，求a，b的值．（已知两曲线的公共切线，求参数）南京市2019届高三数学二轮专题复习资料第4页共53页答案：a＝12，b＝－12．**5．在平面直角坐标系xOy中，直线l与曲线y＝x2(x＞0)和y＝x3(x＞0)均相切，切点分别为A(x1，y1)和B(x2，y2),则x1x2的值是（已知两曲线的公共切线，求切点）答案43．解析：由题设函数y＝x2在A(x1，y1)处的切线方程为：y＝2x1x－x12，函数y＝x3在B(x2，y2)处的切线方程为y＝3x22x－2x23．所以2x1＝3x22x12＝2x23，解之得：x1＝3227，x2＝89．所以x1x2＝43．**6．若存在过点(1，0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋154x－9都相切，求a的值．(已知公切线，求参数的值)答案：－2564或－1．解析：设曲线y＝x3的切点(x0，x30)，则切线方程为y－x30＝3x20(x－x0)，切线过点(1，0)，所以－x30＝3x20(1－x0)，所以x0＝0或x0＝32，则切线为y＝0或y＝274x－274，由y＝0与y＝ax2＋154x－9相切，则ax2＋154x－9＝0，所以a≠0且△＝0；由或y＝274x－274与y＝ax2＋154x－9相切，则ax2＋154x－9＝274x－274，所以a≠0且△＝0。解得a的值为－2564或－1．**7．（2015新课标2）已知曲线y＝x＋lnx在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝．（已知切线方程求参数）答案：8解析：∵y'＝1＋1x，∴y'|x＝1＝2，∴y＝x＋lnx在点(1，1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，∴y＝2x－1，又切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，当a＝0时，y＝2x＋1与y＝2x－1平行，故a≠0．∵y'＝2ax＋(a－2)，∴令2ax＋a＋2＝2得x＝－12，代入y＝2x－1，得y＝－2，∴点(－12，－2)在y＝ax2＋(a＋2)x＋1的图象上，故－2＝a×(－12)2＋(a＋2)×(－12)＋1，∴a＝8．**8．曲线y＝－1x(x＜0)与曲线y＝lnx公切线（切线相同）的条数为.南京市2019届高三数学二轮专题复习资料第5页共53页（求两曲线的公切线条数）答案：1**9．设直线l1，l2分别是函数f(x)=ln,01,ln,1,xxxx图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是．（已知切线的位置关系，求参数的数量关系及范围）答案：(0,1)解析：设111222,ln,,lnPxxPxx（不妨设121,01xx），则由导数的几何意义易得切线12,ll的斜率分别为121211,.kkxx由已知得12122111,1,.kkxxxx切线1l的方程分别为1111lnyxxxx，切线2l的方程为2221lnyxxxx，即1111lnyxxxx.分别令0x得110,1ln,0,1ln.AxBx又1l与2l的交点为2111221121,ln11xxPxxx，11x，21122112111211PABABPxxSyyxxx，01PABS．***10.（2018·苏北四市期末·19）已知函数2()1()ln()fxxaxgxxaaR，．若存在与函数f(x)，g(x)的图象都相切的直线，求实数a的取值范围．（已知公切线，利用零点存在性定理，求参数取值范围）解析：设函数f(x)上点(x1，f(x1))与函数g(x)上点(x2，g(x2))处切线相同，则f'(x1)＝g'(x2)＝f(x1)－g(x2)x1－x2所以2x1＋a＝1x2＝x12＋ax1＋1－(lnx2－a)x1－x2所以x1＝12x2－a2，代入x1－x2x2＝x12＋ax1＋1－(lnx2－a)得：14x22－a2x2＋lnx2＋a24－a