江苏省南京市2019届高三数学二轮专题复习 专题06 空间的平行与垂直问题（pdf）

南京市2019届高三数学二轮专题复习资料1专题6：空间的平行与垂直问题目录问题归类篇...............................................................................................................................................................2类型一:线线平行...........................................................................................................................................2类型二:线面平行...........................................................................................................................................3类型三:面面平行...........................................................................................................................................4类型四:线线垂直...........................................................................................................................................6类型五:线面垂直...........................................................................................................................................7类型六:面面垂直...........................................................................................................................................8类型七:有关表面积、体积计算.................................................................................................................10综合应用篇..............................................................................................................................................................11一、例题分析..................................................................................................................................................11二、反馈巩固.................................................................................................................................................14南京市2019届高三数学二轮专题复习资料2问题归类篇类型一:线线平行一、前测回顾1．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，若D、E是棱CC1，AB的中点，求证：DE∥平面AB1C1．提示：法一：用线面平行的判定定理来证：“平行投影法”：取AB1的中点F，证四边形C1DEF是平行四边形．“中心投影法”延长BD与B1C1交于M，利用三角线中位线证DE∥AM．法二：用面面平行的性质取BB1中点G，证平面DEG∥平面AB1C1．二、方法联想（1）证明线线平行方法1：利用中位线；方法2：利用平行四边形；方法3：利用平行线段成比例；方法4：利用平行公理；方法5：利用线面平行性质定理；方法6：利用线面垂直性质定理；方法7：利用面面平行．（2）已知线线平行，可得线面平行三、方法应用例.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上(异于点P，C)，平面ABE与棱PD交于点F．（1）求证：ABEF∥；（2）若平面PAD平面ABCD，求证：AFEF．解答（1）因为ABCD是矩形，所以ABCD∥．又因为AB平面PDC，CD平面PDC，所以AB∥平面PDC．又因为AB平面ABEF，平面ABEF平面PDCEF，所以ABEF∥．1,3,5ABCA1B1C1DEDABCDEFP南京市2019届高三数学二轮专题复习资料3（2）因为ABCD是矩形，所以ABAD．又因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，AB平面ABCD，所以AB平面PAD．又AF平面PAD，所以ABAF．又由（1）知ABEF∥，所以AFEF．四、归类巩固*1．如图，在五面体ABCDEF中，面ABCD为平行四边形，求证：EF∥BC．(平行公理证明线线平行，由线线平行得线面平行)类型二:线面平行一、前测回顾1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C(2)若E，F分别是A1A，C1C的中点，求证：平面EB1D1∥平面BDF．提示：(1)用面面平行的判定定理证：证明BD∥B1D1，A1B∥D1C．(2)证明BD∥B1D1，BF∥D1E．二、方法联想（1）证明线面平行方法1构造三角形(中心投影法)，转化为线线平行．寻找平面内平行直线步骤，如下图：①在直线和平面外寻找一点P；②连接PA交平面α于点M；③连接PA交平面α于点N，④连接MN即为要找的平行线．方法2：构造平行四边形(平行投影法)，转化为线线平行．寻找平面内平行直线步骤，如下图：①选择直线上两点A、B构造两平行直线和平面α相交于M、N；②连接MN即为要找的平行线．方法3：构造面面平行．构造平行平面步骤，如下图：①过A做AC平行于平面α内一条直线A’C’；②连结BC；③平面ABC即为所要找的平行平面．（2）已知线面平行A1D1ABCDB1C1E·F·ABCDEFmlα①②ABCA’C’①②①AMNB南京市2019届高三数学二轮专题复习资料4方法1可得线线平行，过直线l做平面β交已知平面α于直线m，则l∥m．方法2可得面面平行三、方法应用例.如图，在四棱锥PABCD中，AD⊥平面PAB，AP⊥AB.(1)求证：CD⊥AP；(2)若CD⊥PD，求证：CD∥平面PAB.解答(1)因为AD⊥平面PAB，AP⊂平面PAB，所以AP⊥AD.(2分)又因为AP⊥AB，AB∩AD＝A，AB，AD⊂平面ABCD，所以AP⊥平面ABCD.(4分)因为CD⊂平面ABCD，所以CD⊥AP.(6分)(2)由(1)知CD⊥AP，又CD⊥PD，AP∩PD＝P，AP，PD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD.(8分)因为AD⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，所以AB⊥AD.又因为AB⊥AP，AP∩AD＝A，AP，AD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD.(10分)因为CD，AB都是平面PAD的垂线，所以CD∥AB.(12分)又因为CD⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，所以CD∥平面PAB.(14分)解后反思第(2)题证明中，可先证CD⊥AD，AB⊥AD，并强调四边形ABCD是平面四边形，也可证得CD∥AB(在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行)．四、归类巩固**1．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D、E是棱CC1，AB的上的点，且AE＝23AB，若DE∥平面AB1C1，求CDDC1的值．（已知线面，转化为线线平行）*2．E，P，G，H分别是四面体的棱ABCD的棱AB、CD、CA、CB的中点，求证：PE∥平面PGH．（通过面面的平行证明线面平行）*3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是A1A的中点．点F在棱CC1上，使得平面EB1D1∥平面BDF．求证：点F为棱CC1的中点．类型三:面面平行一、前测回顾ABCDEPHG南京市2019届高三数学二轮专题复习资料5ABCSGFE1．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M为棱CC1的中点，AC交BD于O，求证：A1O⊥平面MBD提示：用线面垂直的判定定理：证BD⊥平面AA1C1C，从而得出BD⊥A1O；在矩形AA1C1C中，用平几知识证明A1O⊥OM；二、方法联想（1）证明面面平行方法在一个平面内寻找两条相交直线证明与另一个平面平行．注意证面面平行必须先通过证线面平行，不可以直接通过证线线平行来证面面平行．（2）已知面面平行可得线线平行三、方法应用例.如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.证明(1)∵GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面.(2)∵E、F分别为AB、AC的中点，∴EF∥BC，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG.∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.四、归类巩固*1．如图，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：（1）平面EFG∥平面ABC；（2）BC⊥SA．答案：证明略(考查平面与平面平行，线线垂直)MOA1D1ABCDB1C1南京市2019届高三数学二轮专题复习资料6类型四:线线垂直一、前测回顾1．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱长均相等，D为BB1的中点，求证：A1B⊥CD．分析：要证明A1B⊥CD，只要证明A1B与CD所在的平面垂直，或CD与A1B所在的平面垂直，但都没有现成的平面，构造经过CD的平面与直线A1B垂直，或经过A1B的平面与直线CD垂直．方法1：取AB的中点E，连CE，证A1B⊥平面CDE；方法2：取B1C1的中点F，连BF，证CD⊥平面A1BF．二、方法联想（1）证明线线垂直方法1：利用线面垂直；构造垂面证线线垂直要证l垂直于AB，构造垂面证线线垂直步骤:如下图：①过A找垂直于l的直线AC；②连结BC，③证BC垂直l，则l⊥面ABC．方法2：利用线线平行转移线线垂直；方法3：利用勾股定理；方法4：利用等腰三角形三线合一；方法5：利用菱形对角线互相垂直；方法6：利用四边形为矩形．（2）已知线线垂直可得线面垂直三、方法应用例.如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，E是棱AB上一点，且OE∥平面BCC1B1.(1)求证：E是AB的中点；(2)若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC.解答(1)连结BC1，因为OE∥平面BCC1B1，OE⊂平面ABC1，平面BCC1B1∩平面ABC1＝BC1，所以OE∥BC1.(4分)因为侧面AA1C1C是菱形，AC1∩A1C＝O，所以O是棱AC1的中点．(5分)A1BCC1B1DAABlC①②南京市2019届高