江苏省南京市2019届高三数学二轮专题复习 专题05 不等式问题（pdf）

南京市2019届高三数学二轮专题复习资料1专题5：不等式问题目录问题归类篇...............................................................................................................................................................2类型一:解不等式...........................................................................................................................................2类型二:不等式恒成立.....................................................................................................................................3类型三:基本不等式.........................................................................................................................................5类型四:f(x)＝x＋ax型函数............................................................................................................................7类型五:f(x)＝ax2＋bx＋cdx＋e(或f(x)＝dx＋eax2＋bx＋c)型..................................................................................8类型六:线性规划.........................................................................................................................................10综合应用篇.............................................................................................................................................................12一、例题分析.................................................................................................................................................12二、反馈巩固.................................................................................................................................................13南京市2019届高三数学二轮专题复习资料2问题归类篇类型一:解不等式一、前测回顾1．解下列不等式：(1)－3x2＋4x＋4＞0(2)－2＋xx＋1≤2(3)4x－3·2x＋12－8≤0（4）ax2－ax＋1＜0答案：(1)(－23，2)；(2)(－∞，－4]∪(－1，＋∞)；(3)(－∞，52]；(4)当0≤a≤4时，解集为；当a＞4时，a－a2－4a2a＜x＜a＋a2－4a2a；当a＜0时，x＞a－a2－4a2a或x＜a＋a2－4a2a．二、方法联想一元二次不等式从四个方面考虑：(1)二次项系数为0和正负情况；(2)二次方程根是否存在情况(优先用十字相乘法求根)；(3)二次方程根的大小情况；(4)二次不等式的不等号方向．分式不等式(1)f(x)g(x)＞0等价于f(x)g(x)＞0；f(x)g(x)＜0等价于f(x)g(x)＜0．(2)f(x)g(x)≥0等价于f(x)g(x)≥0，g(x)≠0；f(x)g(x)≤0等价于f(x)g(x)≤0，g(x)≠0．三、方法应用例1.已知函数f(x)＝|x|＋|x－4|，则不等式f(x2＋2)＞f(x)的解集用区间表示为________．答案(－∞，－2)∪(2，＋∞)思路分析作出函数f(x)＝|x|＋|x－4|的图像，通过函数的图像并结合单调性，得出关于x的不等式组，解得x的取值范围．函数f(x)的图像如图，知图像关于直线x＝2对称．因为x2＋2＞0且f(x2＋2)＞f(x)，则必有x2＋2＞4，x2＋2＞x，4＜x2＋2＋x，即x2＞2，x2－x＋2＞0，x2＋x－2＞0，解得x∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)．解后反思本题主要考查分段函数的图像和性质、一元二次不等式等基础知识，考查数形结合、分类讨论等思想及运算求解能力．例2.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)＞x的解集为________．答案(－5,0)∪(5，＋∞)解法1不等式f(x)＞x的解集，即为函数y＝f(x)图像在函数y＝x图像上方部分x的取值范围．因为函数f(x)和y＝x都是R上的奇函数，且方程f(x)＝x的根为±5,0，由图像知，不等式f(x)＞x的解集为(－5,0)南京市2019届高三数学二轮专题复习资料3∪(5，＋∞)．解法2令x＜0，则－x＞0，因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－4(－x)]＝－x2－4x.要使f(x)＞x，则x＞0，x2－4x＞x或x＜0，－x2－4x＞x或x＝0，0＞x，解得－5＜x＜0或x＞5，所以不等式f(x)＞x的解集为(－5,0)∪(5，＋∞)．四、归类巩固*1、设0,不等式28(8sin)cos20xx对xR恒成立,则的取值范围为____________.(一元二次不等式恒成立)答案：,656,0**2、已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1，则a的最大值是________．答案：36(判别式法)类型二:不等式恒成立一、前测回顾1．若对任意x∈R，都有(m－2)x2－2(m－2)x－4＜0恒成立，则实数m的取值范围是．2．若对任意x＞0，都有mx2－2x－1＜0恒成立，则实数m的取值范围是．3．若对任意－1≤m≤1，都有mx2－2x＋1－m＜0恒成立，则实数x的取值范围是．答案：(1)(－2，2]；(2)(－∞，0]；(3)(3－1，2)．二、方法联想恒成立问题(1)二次不等式恒成立问题方法1结合二次函数图象分析．方法2分离变量法(2)一次不等式恒成立问题①若关于x的不等式ax＋b≥0对任意x∈[m，n]上恒成立，则f(m)≥0，f(n)≥0；②若关于x的不等式ax＋b≤0对任意x∈[m，n]上恒成立，则f(m)≤0，f(n)≤0．三、方法应用南京市2019届高三数学二轮专题复习资料4例．(2017全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝(1－x2)ex．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当x≥0时，f(x)≤ax＋1，求a的取值范围．解:(1)f′(x)＝(1－2x－x2)ex．令f′(x)＝0，得x＝－1－2或x＝－1＋2．当x∈(－∞，－1－2)时，f′(x)＜0；当x∈(－1－2，－1＋2)时，f′(x)＞0；当x∈(－1＋2，＋∞)时，f′(x)＜0．所以f(x)在(－∞，－1－2)，(－1＋2，＋∞)上单调递减，在(－1－2，－1＋2)上单调递增．(2)f(x)＝(1＋x)(1－x)ex．当a≥1时，设函数h(x)＝(1－x)ex，则h′(x)＝－xex＜0(x＞0)，因此h(x)在[0，＋∞)上单调递减，而h(0)＝1，故h(x)≤1，所以f(x)＝(x＋1)h(x)≤x＋1≤ax＋1．当0＜a＜1时，设函数g(x)＝ex－x－1，则g′(x)＝ex－1＞0(x＞0)，所以g(x)在[0，＋∞)上单调递增，而g(0)＝0，故ex≥x＋1．当0＜x＜1时，f(x)＞(1－x)(1＋x)2，(1－x)(1＋x)2－ax－1＝x(1－a－x－x2)，取x0＝5－4a－12，则x0∈(0，1)，(1－x0)(1＋x0)2－ax0－1＝0，故f(x0)＞ax0＋1．当a≤0时，取x0＝5－12，则x0∈(0，1)，f(x0)＞(1－x0)(1＋x0)2＝1≥ax0＋1．综上，a的取值范围是[1，＋∞)．四、归类巩固*1、已知当x∈(0，+∞)时，不等式9x-m·3x+m+10恒成立，求实数m的取值范围.答案：m2+22.（数形结合解决恒成立）**2、若对任意xR，不等式23324xaxx恒成立，则实数a的范围是．答案：11a（分离参数求范围）**3、已知函数2lnxfxaxxa，对任意的12,0,1xx，不等式121fxfxa恒成立，则a的取值范围是___________答案：,e（函数性质研究恒成立）**4、若存在正数x使1)(2axx成立,则a的取值范围是.答案：1a(注意存在性问题与恒成立问题的关联)**5、已知正数x，y满足x＋22xy≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为________；答案2(考查不等式恒成立).**6、当1,2x时，不等式03423xxax恒成立，则实数a的取值范围是________；南京市2019届高三数学二轮专题复习资料5答案[-6,-2](考查不等式恒成立).**7、已知函数f(x)＝x2＋ax＋11x＋1(a∈R)，若对于任意的x∈N*，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是________；答案－83，＋∞(考查不等式恒成立).类型三:基本不等式一、前测回顾1、函数y＝1－4x＋15－4x(x＞54)的最大值为．2、已知x＞0，y＞0，且1x＋9y＝2，则x＋y的最小值为．答案：(1)－6；(2)8．二、方法联想利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号．三个不等式关系：(1)a，b∈R，a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时取等号．(2)a，b∈R＋，a＋b≥2ab，当且仅当a＝b时取等号．(3)a，b∈R，a2＋b22≤(a＋b2)2，当且仅当a＝b时取等号．上述三个不等关系揭示了a2＋b2，ab，a＋b三者间的不等关系．其中，基本不等式及其变形：a，b∈R＋，a＋b≥2ab(或ab≤(a＋b2)2)，当且仅当a＝b时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值．三、方法应用例1.已知a＋b＝2，b＞0，当12|a|＋|a|b取最小值时，实数a的值是________．答案－2思路分析1注意到所研究的代数式12|a|＋|a|b中含有|a|b，因此，将另一个式子12|a|利用条件a＋b＝2转化为|a|b的倒数形式，应用基本不等式来进行求最值．思路分析2通过消元，将12|a|＋|a|b转化为一元函数，通过研究一元函数的性质来研究它的最值．解法112|a|＋|a|b＝a＋b4|a|＋|a|b＝a4|a|＋b4|a|＋|a|b≥－14＋2b4|a|·|a|b＝34，当且仅当a＜0，且b4|a|＝|a|b，即a＝－2，b＝4时取等号．解法2因为a＋b＝2，b＞0，所以12|a|＋|a|b＝12|a|＋|a