江苏省南京市2019届高三数学二轮专题复习 专题04 平面向量（pdf）

南京市2019届高三数学二轮专题复习资料第1页共22页专题4：平面向量目录问题归类篇...............................................................................................................................................................2类型一：向量的运算.......................................................................................................................................2类型二:形如AD→＝xAB→＋yAC→等式中系数x，y值的确定............................................................................5类型三：平面向量的综合应用.......................................................................................................................8综合应用篇.............................................................................................................................................................11一、例题分析.................................................................................................................................................11二、反馈巩固.................................................................................................................................................14南京市2019届高三数学二轮专题复习资料第2页共22页问题归类篇类型一：向量的运算一、前测回顾1．已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________.答案：－3．2．(1)已知向量a＝(0，2)，|b|＝2，则|a－b|的取值范围是．(2)若a是平面内的单位向量，若向量b满足b·(a－b)＝0，则|b|的取值范围是．(3)已知||2a，||3b，,ab的夹角为120，则|2|ab__________.答案：(1)[0,4]；(2)[0,1]；(3)27.3．(1)已知向量a和向量b的夹角为135°，|a|＝2，|b|＝3，则向量a和向量b的数量积a·b＝________．(2)若向量a，b满足|a|＝3，|b|＝1，|a－2b|＝19，则向量a，b的夹角是．(3)已知1ab，且22abab，则a与b的夹角为．(4)已知A，B，C为圆O上的三点，若AO→＝12(AB→＋AC→)，则AB→与AC→的夹角为________．(5)已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则实数λ的值为________．(6)已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k等于______．答案：(1)－32；(2)2π3；(3);(4)90°;(5)32；(6)12．4．(1)在△ABC中，∠BAC＝120，AB＝2，AC＝1，点D是边BC上一点，DC＝2BD，则AD·BC＝．(2)如图1，在边长为2的菱形ABCD中，BAD＝60，E为CD中点，则AEBD＝．(3)已知OA＝2，OB＝23,OA·OB＝0，点C在线段AB上，且∠AOC＝60，则AB·OC＝________________．(4)在△ABC中，∠BAC＝120，AB＝2，AC＝1，点D是边BC上一点，DC＝2BD，E为BC边上的点，且AE·BC＝0．则AD·BC＝；AD·AE＝___________．答案：(1)－83；(2)1；(3)4；(4)－83,37；二、方法联想1．向量的运算方法1用向量的代数运算．方法2结合向量表示的几何图形．三、方法应用ABCDE图1南京市2019届高三数学二轮专题复习资料第3页共22页ABCMN（例3）例1．已知向量(1,3),(3,)mab.若向量,ab的夹角为6，则实数m___________．解：由题意得23133cos2629mm，两边平方化简得6318m，解得3m，经检验符合题意．例2．在如图的平面图形中，已知1OM，2ON，120MON，2BMMA，2CNNA，则·BCOM的值为．解：由2BMMA，可知||2||BMMA，∴||3||BAMA．由2CNNA，可知||2||CNNA，∴||3||CANA，故||||3||||BACAMANA．连接MN，则BCMN∥，33()BCMNONOM，∴23()3()BCOMONOMOMONOMOM23(||||cos120||)6ONOMOM．例3．如图，在△ABC中，点M为边BC的中点，且2AM，点N为线段AM的中点，若74ABAC，则NBNC的值为▲．答案：54解析：22ABACAMBM，则273442BMAMABAC，所以222235124NBNCMNBM．例4．已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为π 3，向量b满足b2−4e·b+3=0，则|a−b|的最小值是__________．答案：3−1NMOCBA南京市2019届高三数学二轮专题复习资料第4页共22页解答：设(1,0)e，(,)bxy，则222430430bebxyx22(2)1xy如图所示，aOA，bOB，（其中A为射线OA上动点，B为圆C上动点，3AOx.）∴min131abCD.（其中CDOA.）例5．在平面凸四边形ABCD中，22AB，3CD，点E满足2DEEC，且||||2AEBE．若165AEDE，则ADBC的值为__________．答案：2解析：因为3CD，点E满足2DEEC，所以2DE，1EC．||||2AEBE，22AB，得到2AEC．又因为165AEDE，所以16cos5AEDEAED，得到4cos5AED．又3coscos5BECAEBAED．ADBCAEEDBEECAEECEDBEEDEC，coscosAEECAECEDBEBEDEDEC，43212212552．四、归类巩固*1．已知平面向量a，b满足|b|＝1，且a与b－a的夹角为120°，则a的模的取值范围是答案：（0，233]．提示：结合向量的几何图形求解．*2.已知向量(1,2)a，(2,2)b，(1,)c．若2cab，则．答案：12.提示：向量的基本运算.南京市2019届高三数学二轮专题复习资料第5页共22页*3.设向量(1,0)a，(1,)mb，若()maab，则m=_______．答案：1.提示：向量的基本运算.**4．在等腰梯形ABCD中,已知AB平行于DC，AB＝2，BC＝1，ABC＝π3，动点E，F分别在线段BC，DC上，且BE＝λBC，DF＝19λDC，则AE·AF的最小值为.答案：1829．提示：数量积AE·AF表示为λ的函数．***5．△ABC的外接圆的圆心为O，AB＝2，AC＝3，则AO→·BC→＝________.答案：52．提示：外心隐含着垂直关系．**6.在四边形ABCD中，已知2ABab，4BCab，53CDab，其中，ba,是不共线的向量，则四边形ABCD的形状是．答案：梯形.提示：向量的基本运算.**7.在平面直角坐标系中，已知点A（-1，0），B（2，0），E，F是y轴上的两个动点，且|EF|=2，则AE·BF的最小值为______．答案：3类型二:形如AD→＝xAB→＋yAC→等式中系数x，y值的确定一、前测回顾1．在△ABC中，点M，N满足AM＝2MC,BN＝NC．若MN→＝xAB→＋yAC→，则x＋y的值为．答案：13．2．平面内有三个向量OA，OB，OC，其中OA与OB的夹角为2π3，OA与OC的夹角为π6，且，|OA|＝|OB|＝2，|OC|＝43，若,OCOAOBR，则的值为_______．答案：6．南京市2019届高三数学二轮专题复习资料第6页共22页3．已知在△ABC中，O为△ABC的外心，AB＝16，AC＝102，AO→＝xAB→＋yAC→，且32x＋25y＝25，则|AO→|等于___________．答案：10．提示：由AOxAByAC，可得AOAOxABAOyACAO，211282ABAOAMABAB，同理：211002ACAOANABAC，所以212810043225100AOxyxy，所以|AO→|＝10．二、方法联想方法1通过平面向量运算，完成向量AD→用AB→，AC→表示，进而确定x，y的值．方法2若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量等式AD→＝xAB→＋yAC→，可考虑两边对同一向量作数量积运算，从而得到关于x，y的方程，再进行求解．方法3若所给的图形比较特殊（矩形、正方形、正三角形、特殊梯形等），则可以建系将向量坐标化，从而得到关于x，y的方程，再进行求解．三、方法应用例1如图，在平行四边形ABCD中，AC,BD相交于点O，E为线段AO的中点，若BDBABE（R,），则．解：由111()242BEBOBABDBA,得34．例2平面内有三个向量OA，OB，OC,模长分别为2,2，34，OA与OB的夹角为32，OA与OC的夹角为6．若OC=mOA+nOB（m，nR），则m+n=．解：由已知得：2)21(2232cos||||OBOAOBOA，12233426cos||||OCOAOCOA，则1224)(nmOBnOAmOAOCOA，48444)()(22mnnmOBnOAmOBnOAmOCOC，解得：22nm或24nm，则0nm或6．南京市2019届高三数学二轮专题复习资料第7页共22页例3设点P是ABC所在平面上的一点，点D是BC的中点，且23BCBABP，设PDABAC，则．答案：23．解析：因为23BCBABP，所以2()BCBPBPBA，即2PCAP，所以13APAC，所以11()33ADAPPDACABACABAC，又点D是BC的中点，所以1122ADABAC，所以111,232，所以23．例4如图，四边形OABC是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，且2OD，点P为BCD内（含边界）的动点，设,,OPOC