河南省洛阳市2020届高三数学上学期尖子生第一次联考试题 理（PDF）

书书书洛阳市!#$!!!!!学年上学期尖子生第一次联考高三数学试题!理科本试卷分第!卷!选择题和第卷!非选择题两部分%第!卷#至!页#第卷!至&页%共#’分%考试时间#!分钟%第!卷!选择题#共(分注意事项$#%答卷前#考生务必将自己的姓名$考号填写在答题卡上%!%考试结束#将答题卡交回%一%选择题$本大题共#!个小题#每小题’分#共(分!在每小题给出的四个选项中#只有一项是符合题目要求的!#!全集#$#集合%#%&’(#)*+!#$!&)#&#集合*#%(’(#&!+&&+槡,&#则%!!,*-!’##!(####.!’##!####/!!##!(####0!!##!!!已知复数-满足!#+!1-#)2+&1#则’-’#-!槡!.!’/!槡’0!槡’!2!已知角!的顶点为坐标原点#始边与&轴非负半轴重合#终边与直线(#2&重合#且314!$#又.!/#0是角!终边上一点#且’1.’#槡#!1为坐标原点#则/)0等于-!!.!)!/!&0!)&&!已知等比数列%20&中#2!)2,#&2’#等差数列%30&中#3&+3(#2’#则数列%30&的前$项和4$等于-!$.!#,/!2(0!5!’!已知5!&为偶函数#当&%时#5!&#)4&)2&#则曲线(#5!&在点!)##)2处的切线与两坐标轴围成图形的面积等于-!#.!2&/!#&0!#!(!在’)(#$(内任取一个实数/#设5!&#)&!+/&+/#则函数5!&的图象与&轴有公共点的概率等于-!!#’.!5#’/!2’0!###’5!已知双曲线&!2!)(!3!##!2%#3%的左$右焦点分别为6##6!#.为双曲线上一点#且’.6#’#!’.6!’!若314&6#.6!#槡#’&#则该双曲线的离心率等于高三数学!理#第#页#!共&页#!!#$%$-!槡(.!!/!槡(或!0!槡2+#或槡(,!若向量’2#’3#(7满足’’2’#’’3’###’2)’3#)#!#$’2)(7#’3)(7%#2#’(7’的最大值为-!槡!!.!#!/!#0!!$!某小区有排成一排的5个车位#现有2辆不同型号的车需要停放#如果要求剩余的&个车位连在一起#那么不同的停放方法的种数为-!#(.!#,/!!&0!2!#!已知函数5!&#’&!)&&+2’#若方程’5!&(!+35!&+7#恰有七个不相同的实根#则实数6的取值范围是-!!)!#.!!)!#)#/!!##0!!#!##!定义在!上的函数5!&的导函数为58!&#若对任意实数&#有5!&%58!&#且5!&+!#$为奇函数#则不等式5!&+!#$7&$的解集为-!!)8#.!!#+8/!!)8##90!!#9#+8#!!已知三棱锥.)%*:的四个顶点均在同一个球面上#底面)%*:满足*%#*:#槡(#&%*:#!#若该三棱锥体积的最大值为2#则其外接球的体积为-!,.!#(/!#(20!2!2第卷!非选择题#共$分二%填空题$本大题共&个小题#每小题’分#共!分!#2!已知圆:*!&)2!+!()3!###平面区域#*&+()(*&)(+&+(+,-.#若圆心:/##且圆:与&轴相切#则圆心:!2#3与!!#,点连线斜率的取值范围是!#&!水车在古代是进行灌溉引水的工具#是人类的一项古老的发明#也是人类利用自然和改造自然的象征!如图是一个半径为$的水车#一个水斗从点%!槡22#)2出发#沿圆周按逆时针方向匀速旋转#且旋转一周用时(秒!经过;秒后#水斗旋转到.点#设.的坐标为!&#(#其纵坐标满足(#5!;#$314!#;+$;+##%#’$’$!!!则下列叙述正确的是!$$#(###2#$#)(+%当;/’2’#’’(时#点.到&轴的距离的最大值为(+&当;/’##!’(时#函数(#5!;单调递减+’当;#!时#’.%’#槡(2!高三数学!理#第!页#!共&页#!!#$%$#’!已知椭圆:#*&!2#!+(!3#!##!2#%3#%与双曲线:!*&!2!!)(!3!!##!2!%#3!%有相同的焦点6##6!#点.是曲线:#与:!的一个公共点#9##9!分别是:#和:!的离心率#若.6#0.6!#则&9#!+9!!的最小值为#(!已知数列%20&的首项2##2#前0项和为40#20+##!40+2#0/1!设30#)*+220#数列%3020&的前0项和0#则0的取值范围是三%解答题$本大题共(个小题#共5分#解答应写出必要的文字说明%证明过程或演算步骤!#5!!本小题满分#!分已知2#3#7分别是)%*:内角%#*#:的对边#且满足!2+3+7!314*+314:)314%#3314:!!#求角%的大小+!!设2#槡2#4为)%*:的面积#求4+槡29*3*9*3:的最大值!#,!!本小题满分#!分如图#底面%*:=是边长为2的正方形#平面%=60平面%*:=#%62=#%=0=#%6#槡!(#=#槡2(!!#求证*平面%:0平面*=+!!求直线:%与平面*6所成角的正弦值+!2在线段%6上是否存在点?#使得二面角?)*)=的大小为(:,若存在#求出%?%6的值+若不存在#说明理由!#$!!本小题满分#!分-过大年#吃水饺.是我国不少地方过春节的一大习俗!!#$年春节前夕#%市某质检部门随机抽取了#包某种品牌的速冻水饺#检测其某项质量指标值#所得频率分布直方图如右*!#求所抽取的#包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数3&!同一组中的数据用该组区间的中点值作代表+!!$由直方图可以认为#速冻水饺的该项质量指标值@服从正态分布A!%#&!#利用该正态分布#求@落在!#&;’’#2,;&’内的概率+%将频率视为概率#若某人从该市某超市购买了&包这种品牌的速冻水饺#记这&包速冻水饺中这种质量指标值位于!##2内的包数为B#求B的分布列和数学期望!附*计算得所抽查的这#包速冻水饺的质量指标值的标准差为&##&!!槡5’4##;$’+若’(A!%#&!#则.!%)&$’*%+&#;(,!(#.!%)!&$’*%+!&#;$’&&!!!!本小题满分#!分高三数学!理#第2页#!共&页#!!#$%$已知抛物线:#&!#&(的焦点6也是椭圆:!*(!2!+&!3!##!2%3%的一个焦点#:#与:!的公共弦的长为槡!(!!#求:!的方程+!!过点6的直线C与:#相交于%#*两点#与:!相交于:#=两点#且566%:与566*=同向!!(若’%:’#’*=’#求直线C的斜率+!)设:#在点%处的切线与&轴的交点为?#证明*直线C绕点6旋转时#)?6=总是钝角三角形!!#!!本小题满分#!分已知函数5!&+&!)3&!2#3/!#其导函数为(#58!&!!#当3#!时#若函数(#58!&在!上有且只有一个零点#求实数2的取值范围+!!设27#点.!/#0!/#0/!是曲线(#5!&上的一个定点#是否存在实数&!&7/使得5!&)0#58!&+/!!&)/成立,并证明你的结论!&选考题’请考生在第!!%!2两题中任选一题作答!注意$只能做所选定的题目!如果多做#则按所做的第一个题目计分!!!!’选修&)&*坐标系与参数方程(!#分在平面直角坐标系&1(中#曲线:#的参数方程为+2;#(#&;)&;,-.#!;为参数!以坐标原点为极点#&轴正半轴为极轴的极坐标系中#曲线:!的极坐标方程为)!+!)9*3*+$(##曲线:2的极坐标方程为)!)!)9*3*+$$#!!#求曲线:##:!和:2的直角坐标方程+!!已知点.!&#(!&%是曲线:#上一点#=#分别是:!和:2上的点#求’.?’)’.A’的最大值!!2!’选修&)’*不等式选讲(!#分设函数5!&#&)’&+!’)’&)2’)/#若8&/!##/)&+5!&恒成立!!#求实数/的取值范围+!!求证*)*+!/+#!/+!%)*+!/+!!/+2!高三数学!理#第&页#!共&页#!!#$%$洛阳市!#$!!!!!学年上学期尖子生第一次联考高三数学试题参考答案!理一%选择题$#)’0/-./##(?#0/0/.####?#!.0二%填空题$#2!!)8#)52(9’5’#+8###&;$%’###’!$!###(!#2*0$2&三%解答题$#5!解*!#@#!2+3+7!314*+314:)314%#3314:#A#根据正弦定理#知!2+3+7!3+7)2#37#//!2分即3!+7!)2!#)37!#A#由余弦定理#得9*3%#3!+7!)2!!37#)#!!又%/!##所以%#!2!//!’分!!根据2#槡2#%#!2及正弦定理可得3314*#7314:#2314%#槡2槡2!#!#A#3#!314*#7#!314:!//!5分A#4##!37314%##!D!314*D!314:D槡2!#槡2314*314:!//!,分A#4+槡29*3*9*3:#槡2314*314:+槡29*3*)9*3:#槡29*3!*):!//!#分故当*#:#*+:#2,-.#即*#:#(时#4+槡29*3*)9*3:取得最大值槡2!//!#!分#,!解*!#证明*因为平面%=60平面%*:=#平面%=6!平面%*:=#%=#=:平面%=6#=0%=#所以=0平面%*:0!//!!分因为%::平面%*:=#所以=0%:!又因为四边形%*:=是正方形#所以%:0*0!因为=!*=#=#=:平面*=#*=:平面*=#所以%:0平面*=!又因为%::平面%:#所以平面%:0平面*0!//!&分!!因为=%#=:#=两两垂直#所以以=为坐标原点#建立空间直角坐标系=&(-#如图所示!则%!2###6!2##槡!(#!##槡2(#*!2#2##:!#2##566:%#!2#)2##566*#!)2#)2#槡2(#5666#!2##)槡(!设平面*6的法向量为0#!&#(#-#高三数学!理答案#第#页#!共’页#!!#$%$则0)566*#)2&)2(+槡2(-##0)5666#2&)槡(-#,-.#//!(分取&#槡(#得0#!槡(#槡!(#2!所以9*30566:%#01#566:%)0’566:%’’0’#)槡2(槡2!D槡2$#)槡#2#2!所以直线:%与平面*6所成角的正弦值为槡#2#2!//!,分!2假设存在点?在线段%6上#设?!2##;#*;*槡!(#则566*?#!#)2#;#566*#!)2#)2#槡2(!设平面?*的法向量为/#!&##(##-##则/)566*?#)2(#+;-###/)566*#)2&#)2(#+槡2(-##%#//!#分令(##;#得/#!槡2();#;#2!所以’9*30/#566:%1’#’/)566:%’’/’’566:%’#’槡$()(;’槡2!D!槡2();!+;!+槡$##!#整理得!;!)槡((;+#’##解得;#槡(!或;#槡’(!!舍去#故在线段%6上存在点?#使得二面角?)*)=的大小为(:#此时%?%6##&!//!#!分#$!解*!#所抽取的#包速冻水饺该项质量指标值的平均数3&#’D;#+#’D;!+!’D;2+2’D;!’+&’D;#’#!(;’!//!&分!!$@#@服从正态分布A!%#&!#且%#!(;’#&4##;$’#//!(分A#.!#&;’’$@$2,;&’#.!!(;’)##;$’$@$!(;’+##;$’#;(,!(#A#@落在!#&;’’#2,;&’内的概率是;(,!(!//!,分%根据题意得B(*&#!#!#.!B##:&!#!&###(+.!B###:#&!#!&##&+#.!B#!#:!&!#!,+.!B#2#:2&!#!&##&+#.!B#&#:&&!#!&###(!//!#分A#B的分布列为B#!2&.##(#&2,#&##(A#!B#&D#!#!!//!#!分高三数学!理答案#第!页#!共’页#!!#$%$!!解*!#由:#&!#&(知其焦点6的坐标为!##!因为6也是椭圆:!的一个焦点#所以2!)3!##!#$又: