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解直角三角形一.选择题1.(2018•江苏苏州•3分)如图,某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务,当海监船由西向东航行至A处时,测得岛屿P恰好在其正北方向,继续向东航行1小时到达B处,测得岛屿P在其北偏西30°方向,保持航向不变又航行2小时到达C处,此时海监船与岛屿P之间的距离(即PC的长)为()A.40海里B.60海里C.20海里D.40海里【分析】首先证明PB=BC,推出∠C=30°,可得PC=2PA,求出PA即可解决问题;【解答】解:在Rt△PAB中,∵∠APB=30°,∴PB=2AB,由题意BC=2AB,∴PB=BC,∴∠C=∠CPB,∵∠ABP=∠C+∠CPB=60°,∴∠C=30°,∴PC=2PA,∵PA=AB•tan60°,∴PC=2×20×=40(海里),故选:D.【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题,解题的关键是证明PB=BC,推出∠C=30°.2.(2018•江苏无锡•3分)如图,已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点,正方形EFGH的顶点G、H都在边AD上,若AB=3,BC=4,则tan∠AFE的值()A.等于B.等于C.等于D.随点E位置的变化而变化【分析】根据题意推知EF∥AD,由该平行线的性质推知△AEH∽△ACD,结合该相似三角形的对应边成比例和锐角三角函数的定义解答.【解答】解:∵EF∥AD,∴∠AFE=∠FAG,∴△AEH∽△ACD,∴==.设EH=3x,AH=4x,∴HG=GF=3x,∴tan∠AFE=tan∠FAG===.故选:A.【点评】考查了正方形的性质,矩形的性质以及解直角三角形,此题将求∠AFE的正切值转化为求∠FAG的正切值来解答的.3.(2018·黑龙江哈尔滨·3分)如图,在菱形ABCD中,对角线AC.BD相交于点O,BD=8,tan∠ABD=,则线段AB的长为()A.B.2C.5D.10【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD,AO=CO,OB=OD,求出OB,解直角三角形求出AO,根据勾股定理求出AB即可.【解答】解:∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,AO=CO,OB=OD,∴∠AOB=90°,∵BD=8,∴OB=4,∵tan∠ABD==,∴AO=3,在Rt△AOB中,由勾股定理得:AB===5,故选:C.【点评】本题考查了菱形的性质、勾股定理和解直角三角形,能熟记菱形的性质是解此题的关键.4.(2018•贵州贵阳•3分)如图,A.B.C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长为1,则tanBAC的值为(B)(A)1(B)1(C)23(D)33【解】图解2.二.填空题1.(2018•江苏无锡•2分)已知△ABC中,AB=10,AC=2,∠B=30°,则△ABC的面积等于15或10.【分析】作AD⊥BC交BC(或BC延长线)于点D,分AB.AC位于AD异侧和同侧两种情况,先在Rt△ABD中求得AD.BD的值,再在Rt△ACD中利用勾股定理求得CD的长,继而就两种情况分别求出BC的长,根据三角形的面积公式求解可得.【解答】解:作AD⊥BC交BC(或BC延长线)于点D,①如图1,当AB.AC位于AD异侧时,在Rt△ABD中,∵∠B=30°,AB=10,∴AD=ABsinB=5,BD=ABcosB=5,在Rt△ACD中,∵AC=2,∴CD===,则BC=BD+CD=6,∴S△ABC=•BC•AD=×6×5=15;②如图2,当AB.AC在AD的同侧时,由①知,BD=5,CD=,则BC=BD﹣CD=4,∴S△ABC=•BC•AD=×4×5=10.综上,△ABC的面积是15或10,故答案为15或10.【点评】本题主要考查解直角三角形,解题的关键是熟练掌握三角函数的运用、分类讨论思想的运算及勾股定理.2.(2018•江苏苏州•3分)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=2,BC=.将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB'C′,连接B'C,则sin∠ACB′=.【分析】根据勾股定理求出AC,过C作CM⊥AB′于M,过A作AN⊥CB′于N,求出B′M、CM,根据勾股定理求出B′C,根据三角形面积公式求出AN,解直角三角形求出即可.【解答】解:在Rt△ABC中,由勾股定理得:AC==5,过C作CM⊥AB′于M,过A作AN⊥CB′于N,∵根据旋转得出AB′=AB=2,∠B′AB=90°,即∠CMA=∠MAB=∠B=90°,∴CM=AB=2,AM=BC=,∴B′M=2﹣=,在Rt△B′MC中,由勾股定理得:B′C===5,∴S△AB′C==,∴5×AN=2×2,解得:AN=4,∴sin∠ACB′==,故答案为:.【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理、矩形的性质和判定,能正确作出辅助线是解此题的关键.3.(2018•山东济宁市•3分)如图,在一笔直的海岸线l上有相距2km的A,B两个观测站,B站在A站的正东方向上,从A站测得船C在北偏东60°的方向上,从B站测得船C在北偏东30°的方向上,则船C到海岸线l的距离是km.【解答】解:过点C作CD⊥AB于点D,根据题意得:∠CAD=90°﹣60°=30°,∠CBD=90°﹣30°=60°,∴∠ACB=∠CBD﹣∠CAD=30°,∴∠CAB=∠ACB,∴BC=AB=2km,在Rt△CBD中,CD=BC•sin60°=2×=(km).故答案为:.3.(2018•广西南宁•3分)如图,从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°,从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°,已知甲楼的高AB是120m,则乙楼的高CD是40m(结果保留根号)【分析】利用等腰直角三角形的性质得出AB=AD,再利用锐角三角函数关系得出答案.【解答】解:由题意可得:∠BDA=45°,则AB=AD=120m,又∵∠CAD=30°,∴在Rt△ADC中,tan∠CDA=tan30°==,解得:CD=40(m),故答案为:40.【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用,正确得出tan∠CDA=tan30°=是解题关键.4.(2018·黑龙江齐齐哈尔·3分)四边形ABCD中,BD是对角线,∠ABC=90°,tan∠ABD=,AB=20,BC=10,AD=13,则线段CD=17.【分析】作AH⊥BD于H,CG⊥BD于G,根据正切的定义分别求出AH、BH,根据勾股定理求出HD,得到BD,根据勾股定理计算即可.【解答】解:作AH⊥BD于H,CG⊥BD于G,∵tan∠ABD=,∴=,设AH=3x,则BH=4x,由勾股定理得,(3x)2+(4x)2=202,解得,x=4,则AH=12,BH=16,在Rt△AHD中,HD==5,∴BD=BH+HD=21,∵∠ABD+∠CBD=90°,∠BCH+∠CBD=90°,∴∠ABD=∠CBH,∴=,又BC=10,∴BG=6,CG=8,∴DG=BD﹣BG=15,∴CD==17,故答案为:17.【点评】本题考查的是勾股定理、锐角三角函数的定义,掌握解直角三角形的一般步骤、理解锐角三角函数的定义是解题的关键.5.(2018•贵州铜仁•4分)在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,D.E是边AB上两点,且CE所在直线垂直平分线段AD,CD平分∠BCE,BC=2,则AB=4.【分析】由CE所在直线垂直平分线段AD可得出CE平分∠ACD,进而可得出∠ACE=∠DCE,由CD平分∠BCE利用角平分线的性质可得出∠DCE=∠DCB,结合∠ACB=90°可求出∠ACE.∠A的度数,再利用余弦的定义结合特殊角的三角函数值,即可求出AB的长度.【解答】解:∵CE所在直线垂直平分线段AD,∴CE平分∠ACD,∴∠ACE=∠DCE.∵CD平分∠BCE,∴∠DCE=∠DCB.∵∠ACB=90°,∴∠ACE=∠ACB=30°,∴∠A=60°,∴AB===4.故答案为:4.三.解答题1.(2018·湖北随州·8分)随州市新㵐水一桥(如图1)设计灵感来源于市花﹣﹣兰花,采用蝴蝶兰斜拉桥方案,设计长度为258米,宽32米,为双向六车道,2018年4月3日通车.斜拉桥又称斜张桥,主要由索塔、主梁、斜拉索组成.某座斜拉桥的部分截面图如图2所示,索塔AB和斜拉索(图中只画出最短的斜拉索DE和最长的斜拉索AC)均在同一水平面内,BC在水平桥面上.已知∠ABC=∠DEB=45°,∠ACB=30°,BE=6米,AB=5BD.(1)求最短的斜拉索DE的长;(2)求最长的斜拉索AC的长.【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质计算DE的长;(2)作AH⊥BC于H,如图2,由于BD=DE=3,则AB=3BD=15,在Rt△ABH中,根据等腰直角三角形的性质可计算出BH=AH=15,然后在Rt△ACH中利用含30度的直角三角形三边的关系即可得到AC的长.【解答】解:(1)∵∠ABC=∠DEB=45°,∴△BDE为等腰直角三角形,∴DE=BE=×6=3.答:最短的斜拉索DE的长为3m;(2)作AH⊥BC于H,如图2,∵BD=DE=3,∴AB=3BD=5×3=15,在Rt△ABH中,∵∠B=45°,∴BH=AH=AB=×15=15,在Rt△ACH中,∵∠C=30°,∴AC=2AH=30.答:最长的斜拉索AC的长为30m.【点评】本题考查了解直角三角形的应用:将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,构造出直角三角形转化为解直角三角形问题).2.(2018·湖南郴州·8分)小亮在某桥附近试飞无人机,如图,为了测量无人机飞行的高度AD,小亮通过操控器指令无人机测得桥头B,C的俯角分别为∠EAB=60°,∠EAC=30°,且D,B,C在同一水平线上.已知桥BC=30米,求无人机飞行的高度AD.(精确到0.01米.参考数据:≈1.414,≈1.732)【分析】由∠EAB=60°、∠EAC=30°可得出∠CAD=60°、∠BAD=30°,进而可得出CD=AD.BD=AD,再结合BC=30即可求出AD的长度.【解答】解:∵∠EAB=60°,∠EAC=30°,∴∠CAD=60°,∠BAD=30°,∴CD=AD•tan∠CAD=AD,BD=AD•tan∠BAD=AD,∴BC=CD﹣BD=AD=30,∴AD=15≈25.98.【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题,通过解直角三角形找出CD=AD.BD=AD是解题的关键.3.(2018•江苏宿迁•10分)如图,为了测量山坡上一棵树PQ的高度,小明在点A处利用测角仪测得树顶P的仰角为450,然后他沿着正对树PQ的方向前进10m到达B点处,此时测得树顶P和树底Q的仰角分别是600和300,设PQ垂直于AB,且垂足为C.(1)求∠BPQ的度数;(2)求树PQ的高度(结果精确到0.1m,)【答案】(1)∠BPQ=30°;(2)树PQ的高度约为15.8m.【分析】(1)根据题意题可得:∠A=45°,∠PBC=60°,∠QBC=30°,AB=100m,在Rt△PBC中,根据三角形内角和定理即可得∠BPQ度数;(2)设CQ=x,在Rt△QBC中,根据30度所对的直角边等于斜边的一半得BQ=2x,由勾股定理得BC=x;根据角的计算得∠PBQ=∠BPQ=30°,由等角对等边得PQ=BQ=2x,用含x的代数式表示PC=PQ+QC=3x,AC=AB+BC=10+x,又∠A=45°,得出AC=PC,建立方程解之求出x,再将x值代入PQ代数式求之即可.【详解】(1)依题可得:∠A=45°,∠PBC=60°,∠QBC=30°,AB=10m,在Rt△PBC中,∵∠PBC=60°,∠PCB=90°,∴∠BPQ=30°;(2)设CQ=x,在Rt△QBC中,∵∠QBC=30°,∠QCB=90°,∴BQ=2x,BC=x,又∵∠PBC=60°,∠QBC=30°,∴∠PBQ=30°,由(1)知∠BPQ=30°,∴PQ=BQ=2x,∴PC=PQ+QC=3x,AC=AB+BC=10+x,又∵∠A=45°,∴AC=PC,即3x=10+x,解得:x=,∴PQ=2x=≈15.8(m),答:树PQ的高度约为15.8m.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用,涉及到三角形的内角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