福建省永春第一中学2019届高三数学5月校质检试题 文（PDF）

高三年校质检文科试卷第1页，总8页高三年校质检文科试卷第2页，总8页高三年校质检文科试卷第3页，总8页三、解答题：本大题共6小题，共70分，应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（一）必考题：60分．17．（12分）如图所示，在𝛥𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵=45°，𝐷是𝐵𝐶边上一点，𝐴𝐷=2，𝐴𝐶=√19，𝐷𝐶=3.（1）求𝛥𝐴𝐷𝐶的面积；（2）求𝐵𝐷的长.18．（12分）噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了了解声音强度𝐷（单位：分贝）与声音能量（单位：𝑊/𝑐𝑚2）之间的关系，将测量得到的声音强度𝐷1和声音能量𝐼𝑖（𝑖=1，2…，10）数据作了初步处理，得到如图散点图及一些统计量的值.表中𝑊𝑖=lg𝐼𝑖，𝑊=110∑𝑊𝑖10𝑖=1。（1）根据散点图判断，𝐷=𝑎1+𝑏1𝐼与𝐷=𝑎2+𝑏2lg𝐼哪一个适宜作为声音强度𝐷关于声音能量的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据表中数据，求声音强度𝐷关于声音能量的回归方程；（3）当声音强度大于60分贝时属于噪音，会产生噪音污染，城市中某点𝑃共受到两个声源的影响，这两个声源的声音能量分别是𝐼1和𝐼2，且1𝐼1+4𝐼2=1010.己知点𝑃的声音能量等于声音能量𝐼1与𝐼2之和。请根据（1）中的回归方程，判断𝑃点是否受到噪音污染的干扰，并说明理由。附：对于一组数据(𝑢1,𝑣1),(𝑢2,𝑣2),⋯,(𝑢𝑛,𝑣𝑛).其回归直线𝑉=𝑎+𝛽𝑢的斜率和截距的最小二乘估计分别为：𝛽=∑(𝑢𝑗−𝑢̅)𝑛𝑖=1(𝑣𝑖−𝑣̅)∑(𝑢𝑖−𝑢̅)2𝑛𝑖=1,𝛼=𝑣̅−𝛽𝑢̅.高三年校质检文科试卷第4页，总8页19．（12分）如图1所示，在等腰梯形ABCD，//BCAD，CEAD，垂足为E，33ADBC，1EC．将DEC沿EC折起到△1DEC的位置，使平面△1DEC平面ABCE，如图2所示，点G为棱1AD的中点．（1）求证：AB平面1DEB；（2）求三棱锥1DGEC的体积．20．（12分）已知抛物线2:2(0)Cxpyp的焦点为F，准线为l，若点P在C上，点E在l上，且PEF是周长为12的正三角形．（1）求C的方程；（2）过点F的直线与抛物线相交于A，B两点，抛物线在点A处的切线与l交于点N，求ABN面积的最小值．21．（12分）已知函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+ln𝑥（𝑎∈𝑅）（1）求函数𝑓(𝑥)的单调递增区间（2）已知𝑔(𝑥)=4𝑥−3⋅2𝑥+1，若对任意的𝑚∈(0,+∞)，存在𝑛∈[0,1]，使得𝑓(𝑚)𝑔(𝑛)，求实数𝑎的取值范围．（二）选考题：请在第22、23题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）已知曲线𝐶的极坐标程是𝜌=√3，以极点为原点，极轴为𝑥轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线𝑙的参数方程{𝑥=1+√22𝑡𝑦=√22𝑡，（𝑡为参数），曲线𝑀的参数方程是{𝑥=cos𝜃𝑦=√3sin𝜃（𝜃为参数）．（1）写出曲线𝐶和直线𝑙的直角坐标方程；（2）若直线𝑙与曲线𝐶交于𝐴、𝐵两点，𝑃为曲线𝑀上的动点，求三角形𝐴𝐵𝑃面积的最大值．23．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知函数𝑓(𝑥)=|𝑥+𝑎|+|𝑥−𝑏|.(1)当𝑎=1,𝑏=1时，求不等式𝑓(𝑥)≤4的解集；(2)若𝑎0,𝑏0，𝑓(𝑥)的最小值为2，求1𝑎+2𝑏的最小值.高三年校质检文科试卷第5页，总8页2019届高三年校质检文科数学试卷参考答案（2019.05）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。题号123456789101112答案ACBDCCBDADDB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．8514．充分不必要15．4316．20182019三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．解：（1）在𝛥𝐴𝐶𝐷中，由余弦定理得cos∠𝐴𝐷𝐶=𝐴𝐷2+𝐷𝐶2−𝐴𝐶22𝐴𝐷×𝐷𝐶=22+32−192×2×3=−12.（3分）∴∠𝐴𝐷𝐶=120°，故sin∠𝐴𝐷𝐶=√32.（4分）∴𝑆𝛥𝐴𝐷𝐶=12𝐴𝐷⋅𝐷𝐶⋅sin∠𝐴𝐷𝐶=12×2×3×√32=3√32.（6分）（2）∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐴𝐷𝐶−∠𝐵=120°−45°=75°，（7分）sin∠𝐵𝐴𝐷=sin75°=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°=√2+√64.（9分）在𝛥𝐴𝐵𝐷中，由正弦定理得𝐴𝐷sin∠𝐵=𝐵𝐷sin∠𝐵𝐴𝐷，（10分）∴𝐵𝐷=𝐴𝐷⋅sin∠𝐵𝐴𝐷sin∠𝐵=2×√2+√64√22=1+√3.（12分）18．【解析】解：（1）𝐷=𝑎2+𝑏2lg𝐼更适合.（2分）（2）令𝑊𝑖=lg𝐼𝑖，先建立𝐷关于𝑊的线性回归方程.由于𝑏=∑10𝑖=1(𝑊𝑖−𝑊)(𝐷𝑖−𝐷)∑10𝑖=1(𝑊𝑖−𝑊)2=5.10.51=10，（4分）∴𝑎̂=𝐷̅−𝑏̂𝑊̅=160.7（6分）∴𝐷关于𝑊的线性回归方程是𝐷=10𝑊+160.7，即𝐷关于的回归方程是𝐷=10lg𝐼+160.7.（7分）（3）点𝑃的声音能量𝐼=𝐼1+𝐼2,∵1𝐼1+4𝐼2=1010，∴𝐼=𝐼1+𝐼2=10−10(1𝐼1+4𝐼2)(𝐼1+𝐼2)高三年校质检文科试卷第6页，总8页=10−10(5+𝐼2𝐼1+4𝐼1𝐼2)≥9×10−10,（10分）根据（1）中的回归方程，点𝑃的声音强度𝐷的预报值𝐷min=10 lg (9 ×10−10 )+160.7=10 lg9+60.760，（11分）∴点𝑃会受到巢声污染的干扰.（12分）19．（1）证明：平面1DEC平面ABCE，平面1DEC平面ABCEEC，1DEEC，1DE平面1DEC，1DE平面ABCE．又AB平面ABCE，1DEAB．又2,2,2ABBEAE，满足222AEABBE，BEAB．又1BEDEE，所以AB平面1DEB；（6分）（2）解：1CEDE，CEAE，1AEDEE，CE面1DAE．又线段CE为三棱锥1CDAE底面1DAE的高，111111112122326DGECCDAEVV．（12分）20．解：（1）由PEF是周长为12的等边三角形，得||||||4PEPFEF，又由抛物线的定义可得PEl．（1分）设准线l与y轴交于D，则//PEDF，从而60PEFEFD．（2分）在RtEDF中，1||||cos422DFEFEFD，即2p．（3分）所以抛物线C的方程为24xy．（4分）（2）依题意可知，直线l的斜率存在，故设直线l的方程为：1ykx，高三年校质检文科试卷第7页，总8页联立24,1,xyykx消去y可得，2440xkx．设1(Ax，1)y，2(Bx，2)y，则124xxk，124xx．（5分）所以222222121212||1||1()4116164(1)ABkxxkxxxxkkk．（6分）由24xy，得2xy，所以过A点的切线方程为111()2xyyxx，（7分）又2114xy，所以切线方程可化为21124xxyx．（8分）令1y，可得21111114222xyxkxx，所以点(2,1)Nk，（9分）．所以点N到直线l的距离222|22|211kdkk，（10分）所以231||4(1)42ABNSABdk，当0k时，等号成立．（11分）所以ABN面积的最小值为4．（12分）21．解：（1）∵𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+ln𝑥，𝑥∈(0,+∞)，∴𝑓′(𝑥)=𝑎+1𝑥，（2分）①当𝑎≥0时，𝑓′(𝑥)=𝑎+1𝑥0∴𝑓(𝑥)在(0,+∞)上单调递增，（3分）②当𝑎0时，𝑓′(𝑥)=𝑎+1𝑥0⇒1𝑥−𝑎⇒𝑥−1𝑎，∴𝑓(𝑥)在(0,−1𝑎)上单调递增，综上：当𝑎≥0时，𝑓(𝑥)的增区间是(0,+∞)，当𝑎0时，𝑓(𝑥)的增区间是(0,−1𝑎)；（6分）（2）𝑔(𝑥)=4𝑥−3⋅2𝑥+1，𝑥∈[0,1]，令2𝑥=𝑡∈[1,2]，𝑦=𝑡2−3𝑡+1，𝑡∈[1,2]，当𝑡=1或2时，𝑦max=−1，（7分）由（Ⅰ）知，当𝑎≥0时，𝑓(𝑥)在(0,+∞)上单调递增，无最值，不可能满足𝑓(𝑚)𝑔(𝑛)，（8分）当𝑎0时，在(0,−1𝑎)上递增，在(−1𝑎,+∞)上递减；∴𝑓(𝑥)max=𝑓(−1𝑎)=−1+ln(−1𝑎)，（10分）∵对任意的𝑚∈(0,+∞)，存在𝑛∈[0,1]，使得𝑓(𝑚)𝑔(𝑛)，高三年校质检文科试卷第8页，总8页∴𝑓(𝑥)max𝑔(𝑥)max，∴−1+ln(−1𝑎)−1，（11分）∴ln(−1𝑎)0，∴−1𝑎1，∴𝑎−1．（12分）22．解：（1）由题意可知𝐶:𝑥2+𝑦2=3，直线𝑙的直角坐标方程为𝑦=𝑥−1．（4分）（2）将直线𝑙方程代入𝐶的方程并整理得𝑡2+√2𝑡−2=0，（5分）设𝐴,𝐵对应的参数分别为𝑡1，𝑡2，则𝑡1+𝑡2=−√2，𝑡1𝑡2=−2，∴|𝐴𝐵|=|𝑡1−𝑡2|=√10（7分）设𝑃(cos𝜃,√3sin𝜃)，所以点𝑃到直线𝑙的距离𝑑=|cos𝜃−√3sin𝜃−1|√2=|2sin(𝜋6−𝜃)−1|√2，（8分）所以当sin(𝜋6−𝜃)=−1时，𝑑的最大值3√22，（9分）即三角形𝐴𝐵𝑃面积最大值为12×√10×3√22=3√52．（10分）23．解：（1）当𝑎=1，𝑏=1时，𝑓(𝑥)={−2𝑥,𝑥≤−12,−1𝑥≤12𝑥,𝑥1，（2分）当x≤-1时，-2x≤4，x≥-2,即-2≤x≤-1.当-1＜x≤1时，2≤4成立.当x＞1时，2x≤4，x≤2.所以1＜x≤2.所以𝑓(𝑥)≤4的解集为[−2,2].（5分）（2）因为𝑓(𝑥)=|𝑥+𝑎|+|𝑥−𝑏|≥|(𝑥+𝑎)+(𝑏−𝑥)|=|𝑎+𝑏|，又𝑓(𝑥)最小值为2所以|𝑎+𝑏|=2，又𝑎0，𝑏0∴𝑎+𝑏=2所以1𝑎+2𝑏=12(𝑎+𝑏)(1𝑎+2𝑏)=12*3+𝑏𝑎+2𝑎𝑏+≥12(3+2√2)（8分）当且仅当𝑎=2√2−2，𝑏=4−2√2时取等号（9分）故1𝑎+2𝑏的最小值为3+2√22.（10分）