（山东专版）2019版中考数学总复习 第四章 图形的认识 4.1 线、角、相交线与平行线（讲解部分）

３２　　　５年中考３年模拟第四章　图形的认识§４．１　线、角、相交线与平行线８４考点清单考点一　线与角　　１．直线、射线、线段之间的区别与联系：端点属性表示方法联系直线①　无　无长度，不可度量射线②　一　个无长度，不可度量线段③　两　个有长度，可度量用④　两个　大写字母表示（射线的表示要注意：端点字母在前，方向字母在后），直线和线段也可以用⑤　一个　小写字母表示．射线、线段都是⑥　直线　的一部分　　２．相关概念和公理：直线公理经过两点确定⑦　一条　直线线段公理两点之间⑧　线段　最短线段的中点把一条线段分成⑨　两条　相等线段的点两点间的距离连接两点间的⑩　线段的长度　　　３．角的分类及换算：锐角直角钝角平角周角０°＜α＜９０°α＝􀃊􀁉􀁓　９０°　９０°＜α＜􀃊􀁉􀁔　１８０°　α＝􀃊􀁉􀁕　１８０°　α＝􀃊􀁉􀁖　３６０°　角的换算１周角＝􀃊􀁉􀁗　２　平角＝􀃊􀁉􀁘　４　直角，１°＝􀃊􀁉􀁙　６０′　，１′＝􀃊􀁉􀁚　６０″　　　４．如果两个角的和等于９０°，就说这两个角互为余角，同角或等角的余角相等；如果两个角的和等于１８０°，就说这两个角互为补角，􀃊􀁉􀁛　同角或等角　的补角相等．５．角的表示：可以用一个或三个大写字母表示，也可以用一个希腊字母表示，最简单的也可以用一个􀃊􀁊􀁒　阿拉伯数字　表示．６．角的平分线是一条􀃊􀁊􀁓　射线　，它在角的内部，将角分成两个相等的角．考点二　相交线与平行线　　１．过直线外一点，有且只有􀃊􀁊􀁔　一条　直线与这条直线平行或垂直．２．平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角􀃊􀁊􀁕　互补　．３．平行线的判定方法（１）同位角相等，两直线平行；（２）内错角相等，两直线平行；（３）同旁内角􀃊􀁊􀁖　互补　，两直线平行．􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋８５方法一　线段、角的计算技巧　　在有关角度计算的几何问题中，借助图形分析未知角与已知条件之间的关系，将问题转化为与已知条件相关的量进行计算是解题的关键．对与线段的和、差关系及线段的中点有关的计算问题，常借助图形，认真观察，分析，即可找出要求的未知问题与已知条件之间的内在联系，从而求解．例１　（２０１８平邑期末，２１，８分）如图，已知点Ｃ为线段ＡＢ上一点，ＡＣ＝１５ｃｍ，ＣＢ∶ＡＣ＝３∶５，Ｄ、Ｅ分别为ＡＣ、ＡＢ的中点，求ＤＥ的长．解析　∵ＡＣ＝１５ｃｍ，ＣＢ∶ＡＣ＝３∶５，∴ＣＢ＝１５×３５＝９ｃｍ，∴ＡＢ＝ＡＣ＋ＣＢ＝１５＋９＝２４ｃｍ，∵Ｅ是ＡＢ的中点，∴ＡＥ＝１２ＡＢ＝１２ｃｍ，∵ＡＣ＝１５ｃｍ，Ｄ为ＡＣ的中点，∴ＡＤ＝１２ＡＣ＝７．５ｃｍ，∴ＤＥ＝ＡＥ－ＡＤ＝１２－７．５＝４．５（ｃｍ）．　　变式训练　如图，∠ＡＯＣ与∠ＡＯＢ的和是１８０°，ＯＭ、ＯＮ分别是∠ＡＯＣ、∠ＡＯＢ的平分线，且∠ＭＯＮ＝４０°，试求∠ＡＯＣ和∠ＡＯＢ的度数．解析　∵ＯＮ平分∠ＡＯＢ，∴∠ＢＯＮ＝∠ＡＯＮ．设∠ＡＯＮ＝∠ＢＯＮ＝ｘ°，则∠ＡＯＢ＝２ｘ°，∠ＢＯＭ＝４０°－ｘ°，∠ＣＯＭ＝４０°＋ｘ°．∵ＯＭ平分∠ＡＯＣ，∴∠ＡＯＣ＝２∠ＣＯＭ＝２（４０°＋ｘ°），∵∠ＡＯＣ＋∠ＡＯＢ＝１８０°，∴８０°＋２ｘ°＋２ｘ°＝１８０°，∴ｘ＝２５，∴∠ＡＯＣ＝１３０°，∠ＡＯＢ＝５０°．方法二　平行线中的角􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋第四章　图形的认识３３　　　　　在平行线中求角的大小以及角与角的关系问题．通常根据图形特征，添加辅助线构造三线八角或构造三角形．依据平行线的性质或三角形的内角和定理来探究“夹在平行线间的折线”问题．例２　（２０１７枣庄，３，３分）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含３０°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含４５°的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠１的度数是（　　）Ａ．１５°Ｂ．２２．５°Ｃ．３０°Ｄ．４５°解析　如图，过Ａ点作ＡＢ∥ａ，∴∠１＝∠２，∵ａ∥ｂ，∴ＡＢ∥ｂ，∴∠３＝∠４＝３０°，而∠２＋∠３＝４５°，∴∠２＝１５°，∴∠１＝１５°．故选Ａ．答案　Ａ思路分析　过Ａ点作ＡＢ∥ａ，利用平行线的性质得到ＡＢ∥ｂ，所以∠１＝∠２，∠３＝∠４＝３０°，又∠２＋∠３＝４５°，所以∠１＝１５°．易错警示　本题容易出错的地方是不能根据条件添加辅助线，运用平行线的性质推导角度的关系．方法规律　有关平行线的问题，通常利用平行线的性质实现角的转化，再结合其他条件进行求解．方法拓展　在几何中常常有一些基本图形虽然不能当作定理使用，但是如果当作结论使用无疑会给我们解题带来方便，如图，若ＡＢ∥ＣＤ，只需作ＥＦ∥ＡＢ就可证出∠ＡＥＣ＝∠Ａ＋∠Ｃ，此题就用到了这个基本图形．　　变式训练　（２０１７东营，５，３分）已知ａ∥ｂ，一块含３０°角的直角三角板如图所示放置，∠２＝４５°，则∠１等于（　　）Ａ．１００°Ｂ．１３５°Ｃ．１５５°Ｄ．１６５°答案　Ｄ解析　∵ａ∥ｂ，∴∠３＝∠４，∵∠２＝４５°，∴∠６＝∠２＝４５°，∴∠５＝９０°－∠６＝９０°－４５°＝４５°，∴∠３＝∠４＝１８０°－４５°＝１３５°，∴∠１＝∠７＋∠３＝３０°＋１３５°＝１６５°．思路分析　首先利用对顶角相等和直角三角形中两个锐角互余求出∠５的度数，进而得出∠４的度数，然后利用两直线平行，同位角相等，得出∠３的度数，最后利用三角形的外角和将∠１转化为∠７与∠３的和得出答案．方法三　角、线段、相交线中的规律　　本节出现了许多易混淆的概念和性质．在学习时，应在“准”字上多下功夫．运用“比较”的思想方法，弄清它们的联系与区别，防止作出错误推断．如数同一顶点处角的个数的方法与数同一条线段上若干个点分线段条数的方法．角的和差运算与线段和差运算中的变与不变的规律，都可以运用“比较”的方法解决．例３　如图，在锐角∠ＡＯＢ内部，画１条射线，可得３个锐角；画２条不同的射线，可得６个锐角；画３条不同的射线，可得１０个锐角；……；照此规律，画１０条不同的射线，可得锐角　　个．解析　第（１）个图有１＋２＝３个锐角；第（２）个图有１＋２＋３＝６个锐角；第（３）个图有１＋２＋３＋４＝１０个锐角；……；按如图所示的规律画ｎ条不同的射线得到的锐角个数为１＋２＋３＋…＋（ｎ＋１）＝（ｎ＋１）（ｎ＋２）２，所以画１０条不同的射线，可得锐角６６个．答案　６６　　变式训练　（１）如图，∠ＡＯＢ＝９０°，∠ＢＯＣ＝３０°，ＯＭ平分∠ＡＯＣ，ＯＮ平分∠ＢＯＣ，求∠ＭＯＮ的度数；（２）如果（１）中∠ＡＯＢ＝α，其他条件不变，求∠ＭＯＮ的度数；（３）如果（１）中∠ＢＯＣ＝β（β为锐角），其他条件不变，求∠ＭＯＮ的度数；（４）从（１）、（２）、（３）的结果能看出什么规律？（５）线段的计算与角的计算存在着紧密的联系，它们之间可以互相借鉴解法，请你模仿（１）～（４），设计一道以线段为背景的计算题，写出其中的规律来．解析　（１）∠ＭＯＮ＝∠ＣＯＭ－∠ＣＯＮ＝１２∠ＡＯＣ－１２∠ＢＯＣ＝１２×１２０°－１２×３０°＝４５°．（２）∠ＭＯＮ＝∠ＣＯＭ－∠ＣＯＮ＝１２∠ＡＯＣ－１２∠ＢＯＣ＝１２（α＋３０°）－１２×３０°＝１２α．（３）∠ＭＯＮ＝∠ＣＯＭ－∠ＣＯＮ＝１２∠ＡＯＣ－１２∠ＢＯＣ＝１２（９０°＋β）－１２β＝４５°．（４）∠ＭＯＮ的大小等于∠ＡＯＢ的一半，而与∠ＢＯＣ的大小无关．（５）如图，设线段ＡＢ＝ａ，延长ＡＢ到Ｃ，使ＢＣ＝ｂ，点Ｍ、Ｎ分别为ＡＣ、ＢＣ的中点，求ＭＮ的长．规律：ＭＮ的长度总等于ＡＢ的长度的一半，而与ＢＣ的长度无关．􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋