（山东专版）2019版中考数学总复习 第二章 方程（组）与不等式（组）2.1 整式方程（讲解部分）检

第二章　方程（组）与不等式（组）７　　　　第二章　方程（组）与不等式（组）§２．１　整式方程２２考点清单考点一　一元一次方程　　１．方程：含有①　未知数　的等式叫方程．２．一元一次方程：只含有②　一个未知数　，且未知数的次数是１，这样的③　整式　方程，叫一元一次方程．３．解一元一次方程的步骤如下：（１）去分母，（２）④　去括号　，（３）移项，（４）⑤　合并同类项　，（５）未知数的系数化为１．考点二　一元二次方程及解法　　１．定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是２的整式方程叫一元二次方程．２．解法：（１）直接开平方法；（２）⑥　配方法　；（３）公式法；（４）因式分解法．３．一元二次方程根的判别式：在求根公式中，ｂ２－４ａｃ叫根的判别式．当ｂ２－４ａｃ＞０时，方程有⑦　两个不相等的实数根　，当ｂ２－４ａｃ＝０时，方程有两个相等的实数根，当ｂ２－４ａｃ＜０时，方程没有实数根．４．一元二次方程根与系数的关系：一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）的两个根为ｘ１，ｘ２，则ｘ１＋ｘ２＝－ｂａ，ｘ１·ｘ２＝ｃａ．考点三　一元二次方程的应用　　１．列一元二次方程解应用题的一般步骤：（１）审题；（２）设出未知数；（３）⑧　列方程　；（４）解方程；（５）检验结果；（６）答，写出结果．２．列一元二次方程解常见应用题型（１）增长率问题对于正的增长率问题，弄清增长率的次数和问题中每一个数据的意义，利用公式⑨　ａ（１＋ｘ）２＝ｂ　求解，其中ａ＜ｂ；对于负增长率问题，若是经过两次下降后，则利用公式⑩　ａ（１－ｘ）２＝ｂ　求解，其中ａ＞ｂ．（２）比赛场次问题ｎ个队进行单循环比赛，共比赛􀃊􀁉􀁓　ｎ（ｎ－１）２　场．（３）面积问题解不规则图形的面积问题时，把不规则图形转化成规则图形，找出变化前后面积之间的关系，列一元二次方程求解．􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋不定方程（组）的解如果方程（组）中，未知数的个数多于方程的个数，那么解往往有无穷多个，不能唯一确定，这样的方程（组）称为不定方程（组）．对于不定方程（组），我们常常限定只求整数解，甚至只求正整数解．加上这类限制后，解可能唯一确定，或只有有限个，或无解．这类问题有以下两种基本类型：１．判定不定方程（组）有无整数解或解的个数；２．如果不定方程（组）有整数解，求出其全部整数解．二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些不定方程（组）常常转化为二元一次不定方程求其整数解．解不定方程（组），没有固定的方法可循，需具体问题具体分析，经常用到整数的整除、奇数偶数、因数分解、不等式分析、穷举、分离整数、配方等知识与方法．根据方程（组）的特点进行适当变形，并灵活运用相关知识与方法是解不定方程（组）的基本思路．例１　满足１９９８２＋ｍ２＝１９９７２＋ｎ２（０＜ｍ＜ｎ＜１９９８）的整数对（ｍ，ｎ）共有　　　　对．解题思路　由方程特点，联想到平方差公式，利用因数分解来解答．答案　３例２　电影票有１０元，１５元，２０元三种票价，班长用５００元买了３０张电影票，其中票价为２０元的比票价为１０元的多（　　）Ａ．２０张Ｂ．１５张Ｃ．１０张Ｄ．５张解题思路　设购买１０元，１５元，２０元的电影票分别为ｘ，ｙ，ｚ张．根据题意列方程组，整体求出ｚ－ｘ的值．答案　Ｃ􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋８　　　　５年中考３年模拟２２方法一　解一元二次方程　　掌握一元二次方程几种解法的特点，理解一元二次方程化为一元一次方程的转化思想．例１　（２０１８黑龙江齐齐哈尔，１９，５分）解方程：２（ｘ－３）＝３ｘ（ｘ－３）．解析　原方程可化为２（ｘ－３）－３ｘ（ｘ－３）＝０，（１分）整理，得（ｘ－３）（２－３ｘ）＝０，（２分）即ｘ－３＝０或２－３ｘ＝０，（３分）解得ｘ１＝３，ｘ２＝２３．（５分）　　变式训练　（２０１８甘肃兰州，１８，５分）解方程：３ｘ２－２ｘ－２＝０．解析　移项，得３ｘ２－２ｘ＝２，配方，得３ｘ－１３()２＝７３，（３分）解得ｘ１＝１＋７３，ｘ２＝１－７３．（５分）方法二　利用一元二次方程解应用题　　掌握列方程解应用题的一般步骤（１）审题：分析题中已知是什么，要求什么，明确各数量之间的关系．（２）设未知数：通常有两种设法———直接设法和间接设法．（３）列出含未知数的等式，即列方程．（４）解方程．（５）检验并写出答案．１．增长率问题一般情况下，假设基数为ａ，平均增长率为ｘ，增长的次数为ｎ（一般情况下为２），增长后的量为ｂ，则有表达式ａ（１＋ｘ）ｎ＝ｂ．例２　（２０１７广西南宁，２４，１０分）为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居民到社区阅览室借阅图书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本）．该阅览室在２０１４年图书借阅总量是７５００本，２０１６年图书借阅总量是１０８００本．（１）求该社区的图书借阅总量从２０１４年至２０１６年的年平均增长率；（２）已知２０１６年该社区居民借阅图书人数有１３５０人，预计２０１７年达到１４４０人．如果２０１６年至２０１７年图书借阅总量的增长率不低于２０１４年至２０１６年的年平均增长率，那么２０１７年的人均借阅量比２０１６年增长ａ％，求ａ的值至少是多少．解析　（１）设该社区的图书借阅总量从２０１４年至２０１６年的年平均增长率为ｘ，（１分）由题意，得７５００（１＋ｘ）２＝１０８００，（３分）解得ｘ＝０．２＝２０％或ｘ＝－２．２（不合题意，舍去）．（４分）答：该社区从２０１４年至２０１６年图书借阅总量的年平均增长率为２０％．（５分）（２）根据题意得２０１６年该社区居民人均图书借阅量为１０８００÷１３５０＝８（本）．设从２０１６年至２０１７年的图书借阅总量的增长率为ｙ，则８×（１＋ａ％）×１４４０＝１０８００×（１＋ｙ），化简，得ａ＝９３．７５ｙ－６．２５，（７分）依题意，得ｙ≥０．２，∵ｋ＝９３．７５＞０，∴ａ随ｙ的增大而增大，∴当ｙ＝０．２时，ａ取最小值，（８分）ａ最小值＝９３．７５×０．２－６．２５＝１２．５．（９分）答：ａ的值至少是１２．５．（１０分）２．利润问题在现实生活中，购买商品和销售商品时，经常会遇到进价、原价（标价）、售价、打折等概念，在了解这些基本概念的基础上，还必须熟悉销售问题中的相关公式与等量关系．（１）相关公式：利润率＝利润进价×１００％；商品售价＝商品标价×商品销售折扣；商品售价＝商品进价×（１＋商品利润率）．（２）相等关系：利润＝售价－进价；商品进价×（１＋商品利润率）＝商品标价×商品销售折扣．例３　（２０１７菏泽，１９，７分）某玩具厂生产一种玩具，按照控制成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按４８０元销售时，每天可销售１６０个；若销售单价每降低１元，每天可多售出２个，已知每个玩具的固定成本为３６０元，问这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润２００００元？解析　设这种玩具的销售单价为ｘ元，由题意，得（ｘ－３６０）［１６０＋２（４８０－ｘ）］＝２００００，整理，得ｘ２－９２０ｘ＋２１１６００＝０，解得ｘ１＝ｘ２＝４６０．答：这种玩具的销售单价为４６０元时，厂家每天可获利润２００００元．思路分析　根据“销售单价每降低１元，每天可多售出２个”，确定出售价降低ｘ元时，销售增加的量，从而确定每天的销量；根据“利润＝每个玩具的利润×玩具的销量”列方程求解．方法规律　（１）每天的总利润＝每件产品的利润×每天销售产品的件数．（２）若单价降低，则销售量需加上每天增加的量；若单价提高，则销售量需减去每天减少的量．　　变式训练　（２０１８新疆乌鲁木齐，９，４分）宾馆有５０间房供游客居住．当每间房每天定价为１８０元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加１０元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出２０元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为１０８９０元？设房价定为ｘ元，则有（　　）Ａ．（１８０＋ｘ－２０）５０－ｘ１０()＝１０８９０Ｂ．（ｘ－２０）５０－ｘ－１８０１０()＝１０８９０Ｃ．ｘ５０－ｘ－１８０１０()－５０×２０＝１０８９０Ｄ．（ｘ＋１８０）５０－ｘ１０()－５０×２０＝１０８９０答案　Ｂ解析　当房价定为ｘ元时，空闲的房间有ｘ－１８０１０个，所以有游客居住的房间有５０－ｘ－１８０１０()个，则宾馆当天的利润为５０－ｘ－１８０１０()（ｘ－２０）元，故Ｂ正确．思路分析　先求出房价定为ｘ元时有游客居住的房间数，而每间房的利润就是房价减去支出的２０元，从而得出宾馆当天的利润并列出等式．􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋