（全国通用）2019年中考数学复习 第四章 图形的认识 4.2 三角形及其全等（讲解部分）检测（pd

第四章　图形的认识２９　　　§４．２　三角形及其全等９０考点一　三角形的相关概念　　１．三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段①　首尾顺次　相接所组成的图形叫做三角形．２．三角形的分类（１）按边分：三角形三边都不相等的三角形等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形②　等边三角形　{{（２）按角分：三角形③　直角三角形　斜三角形锐角三角形钝角三角形{{３．三角形的中位线（１）定义：连接三角形两边④　中　点的线段叫三角形的中位线．（２）性质：三角形的中位线⑤　平行　于第三边，且等于第三边的⑥　一半　．４．三角形三边的关系文字叙述数学语言理论依据图形内容三角形两边的和⑦　大于　第三边在△ＡＢＣ中，ａ，ｂ，ｃ为三边长，则有ａ＋ｂ＞ｃ，ｂ＋ｃ＞ａ，ａ＋ｃ＞ｂ三角形两边的差小于第三边在△ＡＢＣ中，ａ，ｂ，ｃ为三边长，则有ａ－ｂ＜ｃ，ｂ－ｃ＜ａ，ｃ－ａ＜ｂ两点之间，线段最短应用（１）判断三条线段能否组成三角形．（２）已知三角形的两边，求第三边的取值范围　　５．与三角形有关的角定理三角形三个内角的和等于⑧　１８０°　推论直角三角形的两个锐角⑨　互余　三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的⑩　和　考点二　全等三角形的判定与性质　　１．全等三角形的性质全等三角形的􀃊􀁉􀁓　对应　边相等，􀃊􀁉􀁔　对应　角相等．２．全等三角形的判定判定判定１：三边分别相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“ＳＳＳ”）判定２：两边和它们的􀃊􀁉􀁕　夹角　分别相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“ＳＡＳ”）判定３：两角和它们的􀃊􀁉􀁖　夹边　分别相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ＡＳＡ”）判定４：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“ＡＡＳ”）判定５：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“ＨＬ”）􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋９１方法一　利用三角形“三线”的性质解题的方法　　三角形的高、中线、角平分线是三条线段，由三角形的高可得９０°的角，由三角形的中线可得线段之间的关系，由三角形的角平分线可得角之间的关系．例１　（２０１５四川绵阳，５，３分）如图，在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ、∠ＡＣＢ的平分线ＢＥ、ＣＤ相交于点Ｆ，∠ＡＢＣ＝４２°，∠Ａ＝６０°，则∠ＢＦＣ＝（　　）Ａ．１１８°Ｂ．１１９°Ｃ．１２０°Ｄ．１２１°解析　在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝１８０°－∠Ａ－∠ＡＢＣ＝１８０°－６０°－４２°＝７８°．∵ＢＥ、ＣＤ分别平分∠ＡＢＣ、∠ＡＣＢ，∴∠ＦＢＣ＝１２∠ＡＢＣ＝２１°，∠ＦＣＢ＝１２∠ＡＣＢ＝３９°，∴∠ＢＦＣ＝１８０°－∠ＦＢＣ－∠ＦＣＢ＝１８０°－２１°－３９°＝１２０°．故选Ｃ．答案　Ｃ方法二　合理选择全等三角形的判定方法　　１．从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少有一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）准确地确定要补充的边（角），有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路：􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋３０　　　５年中考３年模拟（１）已知两边找夹角→ＳＡＳ找直角→ＨＬ找第三边→ＳＳＳ{（２）已知一边、一角一边为角的对边→找另一角→ＡＡＳ一边为角的邻边找夹角的另一边→ＳＡＳ找夹边的另一角→ＡＳＡ找边的对角→ＡＡＳ{ìîíïïïï（３）已知两角找夹边→ＡＳＡ找其中一角的对边→ＡＡＳ{２．若题中没有全等的三角形，则可根据题中条件合理地添加辅助线，如运用作高法、倍长中线法、截长补短法、分解图形法等来解决运动、拼接、旋转等探究性题目．例２　（２０１８云南昆明，１５，６分）如图，在△ＡＢＣ和△ＡＤＥ中，ＡＢ＝ＡＤ，∠Ｂ＝∠Ｄ，∠１＝∠２．求证：ＢＣ＝ＤＥ．证明　∵∠１＝∠２，∴∠１＋∠ＤＡＣ＝∠２＋∠ＤＡＣ，即∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ，（１分）在△ＡＢＣ和△ＡＤＥ中，∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ，ＡＢ＝ＡＤ，∠Ｂ＝∠Ｄ，{（３分）∴△ＡＢＣ≌△ＡＤＥ（ＡＳＡ），（５分）∴ＢＣ＝ＤＥ．（６分）（其他证法参照此标准给分）　　变式训练　（２０１７湖北武汉，１８，８分）如图，点Ｃ，Ｆ，Ｅ，Ｂ在一条直线上，∠ＣＦＤ＝∠ＢＥＡ，ＣＥ＝ＢＦ，ＤＦ＝ＡＥ．写出ＣＤ与ＡＢ之间的关系，并证明你的结论．解析　ＣＤ与ＡＢ之间的关系为ＣＤ＝ＡＢ，且ＣＤ∥ＡＢ．证明：∵ＣＥ＝ＢＦ，∴ＣＦ＝ＢＥ．在△ＣＤＦ和△ＢＡＥ中，ＣＦ＝ＢＥ，∠ＣＦＤ＝∠ＢＥＡ，ＤＦ＝ＡＥ，{∴△ＣＤＦ≌△ＢＡＥ，∴ＣＤ＝ＢＡ，∠Ｃ＝∠Ｂ，∴ＣＤ∥ＢＡ．􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋