(完整版)柯西不等式教学设计

柯西不等式教学设计一、教学目标：1、知识目标：（1）认识二维柯西不等式的两种形式：○1代数形式；○2向量形式。（2）学会二维柯西不等式的两种证明方法：○1代数方法；○2向量方法。（3）了解一般形式的柯西不等式，并学会应用及探究其证明过程。2、能力目标：（1）学会运用柯西不等式解决一些简单问题。（2）学会运用柯西不等式证明不等式。（3）培养学生知识迁移、自主探究能力。3、情感、态度、价值观目标：通过对柯西不等式的学习，使学生感受数学的美妙，提高数学素养，激发学习兴趣。二、教学重点与难点：1、教学重点：（1）二维柯西不等式的两种形式及其证明：○1代数形式；○2向量形式。（2）探究一般的柯西不等式形式。2、教学难点：（1）柯西不等式的证明思路。（2）运用柯西不等式解决问题。三、教学方法：探究法、讲述法。四、教学过程及内容：1、单刀直入，通过基本不等式222abab引出平方和与乘积的关系，直接引入主题2222()()(,,,)abcdabcd为实数：【师】：同学们，以前我们学习了基本不等式222abab，它反映的是两个实数的平方和与乘积的大小关系，今天我们将学习一个著名的不等式——柯西不等式，它的形式上也含有平方和与乘积。下面我们先来看一下这个式子2222()()(,,,)abcdabcd为实数【生】：全神贯注地看黑板。【师】：在黑板展示：222222222222()()=abcdacbdadbc由于2222222222()()acbdadbcacbdadbc因此222222()()()()abcdacbdadbc所以22222()()()abcdacbd当且仅当0adbc时，等号成立。【师】：这就是柯西不等式中最简单的形式，即它的二维形式。2、讲解二维柯西不等式定理，并给出两个相关推论：二维形式的柯西不等式：若,,,abcd都是实数，则22222()()()abcdacbd当且仅当0adbc时，等号成立。推论一：2222abcdacbd推论二：2222abcdacbd3、练习巩固新知识：例一：已知,ab为实数，证明：4422332()()()ababab【生】：动笔演算。【讲解】：利用柯西不等式，4422222222222332()()[()()]()()()ababababaabbab例二：求函数3546yxx的最大值。【生】：动笔演算。【分析】：此题首先想到利用倒数求解，此方法可行，但是过程相对繁琐。【讲解】：函数的定义域为[5,6]，观察式子形式，可以用推论二。即223546(34)[(5)(6)]5yxxxx。当且仅当4536xx，即13425x时，函数有最大值5。4、讲解柯西不等式的向量形式：在平面直角坐标系中，(,),(,),abcd,[0,]，则||||cosacbd又2222||,||,abcd而|||||||cos|||||即2222||acbdabcd当且仅当,共线时，等号成立，即adbc柯西不等式的向量形式：设,是两个向量，则，当且仅当是零向量，或存在实数k，使得k时，等号成立。又称之为Cauchy-Schwarz不等式。5、通过柯西不等式的向量形式，将二维形式推广到三维，得到三维形式的柯西不等式：三维形式的柯西不等式：2222222123123112233()()()aaabbbababab当且仅当0(1,2,3)ibi，或存在k使得(1,2,3)iiakbi时，等号成立。6、三维柯西不等式巩固练习：例三：设123,,xxx为正数，求证：123123111()()9xxxxxx【生】：动笔演算。【讲解】：利用柯西不等式，2123123123123111111()()()9xxxxxxxxxxxx7、探究一般形式的柯西不等式：【师】：同学们类比一下二维和三维的柯西不等式，猜想一下一般形式的柯西不等式会是怎么样呢？【生】：踊跃回答：222222212121122(+)(+)(+)nnnnaaabbbababab………【师】：很好！同学们都很聪明，那么怎么证明这个一般形式的柯西不等式呢？它又是在什么样的条件下才能使得等号成立呢？这个问题留给同学们课后思考。（提示：用向量证明。）下面我们先来看一个例题：例四：设,,,,21Rxxxn求证：222211212231nnnnxxxxxxxxxxx≥【讲解】：在不等式左端乘以因式12nxxx，由柯西不等式，得2222112231231()nnnnxxxxxxxxxxxx22221122312222231112231231212,nnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx≥于是222211212231nnnnxxxxxxxxxxx≥8、小结：总结代数形式的柯西不等式和向量形式的柯西不等式，注意提醒学生等号成立的条件。五、板书设计：柯西不等式二维形式的柯西不等式：若,,,abcd都是实数，则22222()()()abcdacbd当且仅当0adbc时，等号成立。推论一：2222abcdacbd推论二：2222abcdacbd柯西不等式的向量形式：设,是两个向量，则，当且仅当是零向量，或存在实数k，使得k时，等号成立。三维形式的柯西不等式：2222222123123112233()()()aaabbbababab当且仅当0(1,2,3)ibi，或存在k使得(1,2,3,)iiakbi时，等号成立。一般形式的柯西不等式：222222212121122(+)(+)(+)nnnnaaabbbababab………当且仅当0(1,2,n)ibi…，，或存在k使得(1,2,n)iiakbi…，时，等号成立。