（江苏专用）2020版高考数学一轮复习 第二十一章 选修4系列 21.1 矩阵与变换教师用书（PDF

１４８　　５年高考３年模拟Ｂ版（教师用书）第二十一章选修４系列§２１．１　矩阵与变换对应学生用书起始页码Ｐ４０８考点矩阵与变换高频考点　　１．二阶矩阵与平面向量（１）矩阵的概念在数学中，把形如１３éëêêùûúú，２１　３５éëêêùûúú，１２　３０　４－１éëêêùûúú这样的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵，其中，同一横排中按原来次序排列的一行数（或字母）叫做矩阵的行，同一竖排中按原来次序排列的一列数（或字母）叫做矩阵的列，而组成矩阵的每一个数（或字母）称为矩阵的元素．（２）行矩阵与列矩阵的乘法规则［ａ１１　ａ１２］ｂ１１ｂ２１éëêêùûúú＝［ａ１１×ｂ１１＋ａ１２×ｂ２１］．（３）二阶矩阵与列向量的乘法规则ａ１１ａ２１　ａ１２ａ２２éëêêùûúúｘ０ｙ０éëêêùûúú＝ａ１１×ｘ０＋ａ１２×ｙ０ａ２１×ｘ０＋ａ２２×ｙ０éëêêùûúú．２．几种常见的平面变换（１）当Ｍ＝１　００　１éëêêùûúú时，对应的变换是恒等变换．（２）由矩阵Ｍ＝ｋ　００　１éëêêùûúú或Ｍ＝１　００　ｋéëêêùûúú（ｋ＞０，且ｋ≠１）确定的变换ＴＭ称为（垂直）伸压变换．（３）反射变换是轴反射变换、中心反射变换的总称，几种特殊的反射变换：Ｍ＝１０　０－１éëêêùûúú：点的变换为（ｘ，ｙ）→（ｘ，－ｙ），变换前后关于ｘ轴对称；Ｍ＝－１０　０１éëêêùûúú：点的变换为（ｘ，ｙ）→（－ｘ，ｙ），变换前后关于ｙ轴对称；Ｍ＝－１０　０－１éëêêùûúú：点的变换为（ｘ，ｙ）→（－ｘ，－ｙ），变换前后关于原点对称；Ｍ＝０１　１０éëêêùûúú：点的变换为（ｘ，ｙ）→（ｙ，ｘ），变换前后关于直线ｙ＝ｘ对称．（４）当Ｍ＝ｃｏｓθｓｉｎθ　－ｓｉｎθｃｏｓθéëêêùûúú时，对应的变换叫旋转变换，即把平面图形（或点）绕某个定点逆时针旋转角度θ．（５）将一个平面图形投影到某条直线（或某个点）的变换称为投影变换，几种特殊的投影变换：Ｍ＝１０　００éëêêùûúú：将坐标平面上的点垂直投影到ｘ轴上，点的变换为（ｘ，ｙ）→（ｘ，０）；Ｍ＝００　０１éëêêùûúú：将坐标平面上的点垂直投影到ｙ轴上，点的变换为（ｘ，ｙ）→（０，ｙ）；Ｍ＝１１　００éëêêùûúú：将坐标平面上的点垂直于ｘ轴方向投影到ｙ＝ｘ上，点的变换为（ｘ，ｙ）→（ｘ，ｘ）；Ｍ＝００　１１éëêêùûúú：将坐标平面上的点平行于ｘ轴方向投影到ｙ＝ｘ上，点的变换为（ｘ，ｙ）→（ｙ，ｙ）；Ｍ＝１２１２　１２１２éëêêêêùûúúúú：将坐标平面上的点垂直于ｙ＝ｘ方向投影到ｙ＝ｘ上，点的变换为（ｘ，ｙ）→ｘ＋ｙ２，ｘ＋ｙ２()．（６）由矩阵Ｍ＝１０　ｋ１éëêêùûúú或Ｍ＝１ｋ　０１éëêêùûúú（ｋ∈Ｒ，ｋ≠０）确定的变换称为切变变换．３．线性变换的基本性质（１）设向量α＝ｘｙéëêêùûúú，则λα＝λｘλｙéëêêùûúú．（２）设向量α＝ｘ１ｙ１éëêêùûúú，β＝ｘ２ｙ２éëêêùûúú，则α＋β＝ｘ１＋ｘ２ｙ１＋ｙ２éëêêùûúú．（３）Ａ是一个二阶矩阵，α，β是平面上任意两个向量，λ是任一实数，则Ａ（λα）＝λＡα，Ａ（α＋β）＝Ａα＋Ａβ．（４）二阶矩阵对应的变换（线性变换）把平面上的直线变成直线（或一点）．４．二阶矩阵的乘法（１）Ａ＝ａ１　ｂ１ｃ１　ｄ１éëêêùûúú，Ｂ＝ａ２　ｂ２ｃ２　ｄ２éëêêùûúú，则ＡＢ＝ａ１ａ２＋ｂ１ｃ２　ａ１ｂ２＋ｂ１ｄ２ｃ１ａ２＋ｄ１ｃ２　ｃ１ｂ２＋ｄ１ｄ２éëêêùûúú．（２）矩阵乘法满足结合律：（ＡＢ）Ｃ＝Ａ（ＢＣ）．５．逆变换与逆矩阵（１）对于二阶矩阵Ａ，Ｂ，若有ＡＢ＝ＢＡ＝Ｅ（Ｅ为单位矩阵），则称Ａ是可逆的，Ｂ称为Ａ的逆矩阵．（２）若二阶矩阵Ａ，Ｂ均存在逆矩阵，则ＡＢ也存在逆矩阵，且（ＡＢ）－１＝Ｂ－１Ａ－１．（３）利用行列式解二元一次方程组．６．特征值与特征向量（１）设Ａ是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋第二十一章　选修４系列１４９　　向量α，使Ａα＝λα，那么λ称为Ａ的一个特征值，而α称为Ａ的属于特征值λ的一个特征向量．（２）从几何上看，特征向量经过矩阵Ａ对应的变换作用后，与原向量保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变（λ＞０），或者方向相反（λ＜０）．特别地，当λ＝０时，特征向量就被变换成了零向量．（３）特征多项式设λ是二阶矩阵Ａ＝ａ　ｂｃ　ｄéëêêùûúú的一个特征值，它的一个特征向量为α＝ｘｙéëêêùûúú，则Ａｘｙéëêêùûúú＝λｘｙéëêêùûúú，即ｘｙéëêêùûúú满足二元一次方程组ａｘ＋ｂｙ＝λｘ，ｃｘ＋ｄｙ＝λｙ，{故（λ－ａ）ｘ－ｂｙ＝０，－ｃｘ＋（λ－ｄ）ｙ＝０．{（∗）由特征向量的定义知α≠０，因此ｘ，ｙ不全为０，若要上述二元一次方程组有不全为０的解，则必须有Ｄ＝０，即λ－ａ　－ｂ－ｃ　λ－ｄ＝０．定义：设Ａ＝ａ　ｂｃ　ｄéëêêùûúú是一个二阶矩阵，λ∈Ｒ，我们把多项式ｆ（λ）＝λ－ａ　－ｂ－ｃ　λ－ｄ＝λ２－（ａ＋ｄ）λ＋ａｄ－ｂｃ称为Ａ的特征多项式．（４）矩阵的特征值与特征向量的求法如果λ是二阶矩阵Ａ的特征值，则λ一定是二阶矩阵Ａ的特征多项式的一个根，它满足ｆ（λ）＝０．此时，将λ代入二元一次方程组（∗），就可以得到一组非零解ｘ０ｙ０éëêêùûúú，于是，非零向量ｘ０ｙ０éëêêùûúú即为Ａ的属于λ的一个特征向量．􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋对应学生用书起始页码Ｐ４０９一、求解逆矩阵　　求逆矩阵常用的三种方法（１）待定系数法：设Ａ是一个二阶可逆矩阵ａ　ｂｃ　ｄéëêêùûúú，则ＡＡ－１＝Ａ－１Ａ＝Ｅ（Ｅ为单位矩阵）．（２）公式法：ａ　ｂｃ　ｄ＝ａｄ－ｂｃ，记为ｄｅｔＡ，有Ａ－１＝ｄｄｅｔＡ　－ｂｄｅｔＡ－ｃｄｅｔＡ　ａｄｅｔＡéëêêêêùûúúúú，当且仅当ｄｅｔＡ＝ａｄ－ｂｃ≠０．（３）从几何变换的角度求解二阶矩阵的逆矩阵．（２０１７南通、泰州模拟）设矩阵Ａ满足：Ａ１　２０　６éëêêùûúú＝－１　－２０　　３éëêêùûúú，求矩阵Ａ的逆矩阵Ａ－１．解析　解法一：设矩阵Ａ＝ａ　ｂｃ　ｄéëêêùûúú，则ａ　ｂｃ　ｄéëêêùûúú１　２０　６éëêêùûúú＝－１　－２０　　３éëêêùûúú，所以ａ＝－１，２ａ＋６ｂ＝－２，ｃ＝０，２ｃ＋６ｄ＝３，ìîíïïïï解得ａ＝－１，ｂ＝０，ｃ＝０，ｄ＝１２，ìîíïïïïïï所以Ａ＝－１　００　１２éëêêêùûúúú．根据逆矩阵公式得Ａ－１＝－１　００　２éëêêùûúú．解法二：在Ａ１　２０　６éëêêùûúú＝－１　－２０　　３éëêêùûúú两边同时乘逆矩阵Ａ－１得，１　２０　６éëêêùûúú＝Ａ－１－１　－２０　　３éëêêùûúú．设Ａ－１＝ａ　ｂｃ　ｄéëêêùûúú，则１　２０　６éëêêùûúú＝ａ　ｂｃ　ｄéëêêùûúú－１　－２０　　３éëêêùûúú，所以－ａ＝１，－２ａ＋３ｂ＝２，－ｃ＝０，－２ｃ＋３ｄ＝６，ìîíïïïï解得ａ＝－１，ｂ＝０，ｃ＝０，ｄ＝２，ìîíïïïï从而Ａ－１＝－１　００　２éëêêùûúú．　　１－１　（２０１７常州期末）已知矩阵Ａ＝２　１３　２éëêêùûúú，列向量Ｘ＝ｘｙéëêêùûúú，Ｂ＝４７éëêêùûúú．若ＡＸ＝Ｂ，直接写出Ａ－１，并求出Ｘ．１－１解析　由Ａ＝２　１３　２éëêêùûúú，得Ａ－１＝２－３　－１２éëêêùûúú．由ＡＸ＝Ｂ，得Ｘ＝Ａ－１Ｂ＝２－３　－１２éëêêùûúú４７éëêêùûúú＝１２éëêêùûúú．　　１－２　（２０１８海安中学、南京外国语学校、金陵中学四模，２１Ｂ）已知二阶矩阵Ａ＝２　ｂｃ　１éëêêùûúú，矩阵Ａ属于特征值λ＝－１的一个特征向量为α＝１－１éëêêùûúú．求矩阵Ａ的逆矩阵．１－２解析　由已知得，Ａα＝λα，即２　ｂｃ　１éëêêùûúú１－１éëêêùûúú＝－１×１－１éëêêùûúú，得２－ｂ＝－１，ｃ－１＝１．{（２分）解得ｂ＝３，ｃ＝２．因此矩阵Ａ＝２　３２　１éëêêùûúú．（５分）所以Ａ－１＝ｄａｄ－ｂｃ　－ｂａｄ－ｂｃ－ｃａｄ－ｂｃ　ａａｄ－ｂｃéëêêêêùûúúúú＝－１４　３４１２　－１２éëêêêêùûúúúú．（１０分）􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋１５０　　５年高考３年模拟Ｂ版（教师用书）二、矩阵变换及应用　　利用矩阵求曲线方程或图形中相关点的坐标，再利用曲线或图形的性质求解相关问题．（２０１７南京、盐城模拟）设ａ，ｂ∈Ｒ．若直线ｌ：ａｘ＋ｙ－７＝０在矩阵Ａ＝３　０－１ｂéëêêùûúú对应的变换作用下，得到直线ｌ′：９ｘ＋ｙ－９１＝０．求实数ａ，ｂ的值．解析　解法一：取直线ｌ：ａｘ＋ｙ－７＝０上两点：Ａ（０，７），Ｂ（１，７－ａ）．因为３－１　０ｂéëêêùûúú０７éëêêùûúú＝０７ｂéëêêùûúú，３－１　０ｂéëêêùûúú１７－ａéëêêùûúú＝　　３ｂ（７－ａ）－１éëêêùûúú，所以Ａ（０，７），Ｂ（１，７－ａ）在矩阵Ａ对应的变换作用下分别得到点Ａ′（０，７ｂ），Ｂ′（３，ｂ（７－ａ）－１）．由题意，知Ａ′，Ｂ′在直线ｌ′：９ｘ＋ｙ－９１＝０上，所以７ｂ－９１＝０，２７＋ｂ（７－ａ）－１－９１＝０，{解得ａ＝２，ｂ＝１３．{解法二：设直线ｌ上任意一点Ｐ（ｘ，ｙ），点Ｐ在矩阵Ａ对应的变换作用下得到点Ｑ（ｘ′，ｙ′）．因为３　０－１ｂéëêêùûúúｘｙéëêêùûúú＝ｘ′ｙ′éëêêùûúú，所以ｘ′＝３ｘ，ｙ′＝－ｘ＋ｂｙ．{又因为点Ｑ（ｘ′，ｙ′）在直线ｌ′上，所以９ｘ′＋ｙ′－９１＝０．即２７ｘ＋（－ｘ＋ｂｙ）－９１＝０，亦即２６ｘ＋ｂｙ－９１＝０，又点Ｐ（ｘ，ｙ）在直线ｌ上，所以ａｘ＋ｙ－７＝０．所以２６ａ＝ｂ１＝－９１－７，解得ａ＝２，ｂ＝１３．　　２－１　已知在矩阵Ａ＝ａ０　１ｂéëêêùûúú对应的变换作用下把点（１，１）变换成点（２，２）．（１）求ａ，ｂ的值；（２）求曲线Ｃ：ｘ２＋ｙ２＝１在矩阵Ａ的变换作用下对应的曲线方程．２－１解析　（１）由ａ０　１ｂéëêêùûúú１１éëêêùûúú＝２２éëêêùûúú，得ａ＋１＝２，ｂ＝２，{∴ａ＝１，ｂ＝２．{（２）设曲线Ｃ上任一点Ｍ′（ｘ０，ｙ０）在矩阵Ａ对应的变换作用下得到点Ｍ（ｘ，ｙ），又Ａ＝１０　１２éëêêùûúú，∴１０　１２éëêêùûúúｘ０ｙ０éëêêùûúú＝ｘｙéëêêùûúú，即ｘ＝ｘ０＋ｙ０，ｙ＝２ｙ０，{∴ｘ０＝ｘ－１２ｙ，ｙ０＝１２ｙ，ìîíïïïï∵点Ｍ′在曲线Ｃ上，∴ｘ－１２ｙ()２＋１２ｙ()２＝１．故所求曲线方程为ｘ２－ｘｙ＋１２ｙ２＝１．　　２－２　二阶矩阵Ｍ对应的变换将点（１，－１）与（－２，１）分别变换成点（－１，－１）与（０，－２）．设直线ｌ在矩阵Ｍ对应的变换作用下得到直线ｍ：ｘ－ｙ＝４，求直线ｌ的方程．２－２解析　设Ｍ＝ａ　ｂｃ　ｄéëêêùûúú，则有ａ　ｂｃ　ｄéëêêùûúú１－１éëêêùûúú＝－１－１éëêêùûúú，ａ　ｂｃ　ｄéëêêùûúú－２１éëêêùûúú＝０－２éëêêùûúú，所以ａ－ｂ＝－１，ｃ－ｄ＝－１，－２ａ＋ｂ＝０，－２ｃ＋ｄ＝－２．ìîíïïïï解得ａ＝１，ｂ＝２，ｃ＝３，ｄ＝４，ìîíïïïï所以Ｍ＝１　２３　４éëêêùûúú．设直线ｌ上任一点Ｐ（ｘ，ｙ）在矩阵Ｍ对应的变换作用下得到点Ｐ′（ｘ′，ｙ′）．因为ｘ′ｙ′éëêêùûúú＝１　２３　４éëêêùûúúｘｙéëêêùûúú＝ｘ＋２ｙ３ｘ＋４ｙéëêêùûúú，所以ｘ′＝ｘ＋２ｙ，ｙ′＝３ｘ＋４ｙ．{又ｘ′－ｙ′＝４，所以直线ｌ的方程为（ｘ＋２ｙ）－（３ｘ＋４ｙ）＝４，即ｘ＋ｙ＋２＝０．􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋