（江苏专用）2020版高考数学一轮复习 第十四章 圆锥曲线与方程 14.1 椭圆及其性质教师用书（P

第十四章圆锥曲线与方程真题多维细目表考题涉分题型难度考点考向解题方法核心素养２０１９江苏，７５分填空题易双曲线的几何性质求双曲线渐近线方程公式法直接法数学运算２０１９江苏，１７１４分解答题易直线与椭圆的位置关系椭圆的定义、标准方程、圆的方程、直线与椭圆的位置关系直接法数学运算直观想象２０１８江苏，８５分填空题易双曲线的几何性质求双曲线离心率直接法数学运算２０１８江苏，１８１６分解答题中①椭圆的定义和标准方程②椭圆的几何性质③直线与椭圆的位置关系①求圆的方程②求椭圆的方程③由直线与椭圆的位置关系求直线方程直接法数学运算２０１７江苏，８５分填空题易双曲线的几何性质双曲线的性质及应用直接法数学运算２０１７江苏，１７１４分解答题易①椭圆方程②椭圆的几何性质①求椭圆方程②由椭圆的几何性质求坐标直接法数学运算２０１６江苏，３５分填空题易双曲线的几何性质已知双曲线方程，求焦距直接法数学运算２０１６江苏，１０５分填空题易椭圆的几何性质求椭圆的离心率直接法数学运算２０１６江苏，２２１０分解答题中①抛物线的方程②抛物线的几何性质求抛物线的方程直接法数学运算２０１５江苏，１２５分填空题易双曲线的几何性质利用双曲线的性质求最值直接法数学运算２０１５江苏，１８１６分解答题中①椭圆方程②直线与椭圆的位置关系①求椭圆方程②求椭圆的弦长直接法数学运算命题规律与趋势０１考查内容考查圆锥曲线的定义与方程、几何性质、直线与椭圆的位置关系，弦中点，定点与定值问题，范围问题．０２命题特征一小一大，一道填空题，难度不大，一道解答题，在第１７题，难度适中．０３核心素养以考查数学运算及逻辑推理为主．０４命题趋势高考中，本章内容题型平稳，填空题考查双曲线或抛物线的基本概念和几何性质，解答题考查椭圆的方程和几何性质，直线与椭圆的位置关系．０５备考建议１．重视对圆锥曲线定义的理解与应用．一方面，既要理解圆锥曲线的定义，还要了解圆锥曲线的其他表现形式；另一方面，要充分创造条件应用定义；从而简化问题的求解．２．总结基本问题的常见算法（通性通法），如直线与圆锥曲线的交点个数问题，求交点问题，弦长问题、中点问题等．３．合理选择解题思路，优化解题过程．４．适时利用平面几何性质．第十四章　圆锥曲线与方程１０９　　§１４．１　椭圆及其性质对应学生用书起始页码Ｐ１８８考点一椭圆的定义和标准方程高频考点　　１．椭圆的定义平面内与两个定点Ｆ１，Ｆ２的距离的和等于常数（大于｜Ｆ１Ｆ２｜）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合Ｐ＝｛Ｍ（ｘ，ｙ）｜｜ＭＦ１｜＋｜ＭＦ２｜＝２ａ｝，｜Ｆ１Ｆ２｜＝２ｃ，其中ａ＞０，ｃ＞０，且ａ，ｃ为常数：（１）当２ａ＞｜Ｆ１Ｆ２｜时，Ｐ点的轨迹是椭圆；（２）当２ａ＝｜Ｆ１Ｆ２｜时，Ｐ点的轨迹是线段；（３）当２ａ＜｜Ｆ１Ｆ２｜时，Ｐ点不存在．２．椭圆的标准方程（１）焦点在ｘ轴上的椭圆的标准方程为ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０），焦点在ｙ轴上的椭圆的标准方程为ｘ２ｂ２＋ｙ２ａ２＝１（ａ＞ｂ＞０）．给定椭圆ｘ２ｍ＋ｙ２ｎ＝１，ｍ＞０，ｎ＞０（ｍ≠ｎ），要根据ｍ、ｎ的大小来判断焦点在哪个坐标轴上．（２）若焦点位置不确定，则可设椭圆方程为Ａｘ２＋Ｂｙ２＝１（Ａ＞０，Ｂ＞０，且Ａ≠Ｂ）．考点二椭圆的几何性质高频考点　　１．椭圆的简单几何性质焦点在ｘ轴上焦点在ｙ轴上标准方程ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０）ｙ２ａ２＋ｘ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０）图形焦点坐标Ｆ１（－ｃ，０），Ｆ２（ｃ，０）Ｆ１（０，－ｃ），Ｆ２（０，ｃ）顶点坐标Ａ１（－ａ，０），Ａ２（ａ，０）Ｂ１（０，－ｂ），Ｂ２（０，ｂ）Ａ１（０，－ａ），Ａ２（０，ａ）Ｂ１（－ｂ，０），Ｂ２（ｂ，０）范围｜ｘ｜≤ａ，｜ｙ｜≤ｂ｜ｘ｜≤ｂ，｜ｙ｜≤ａ准线方程ｘ＝±ａ２ｃｙ＝±ａ２ｃ长轴长｜Ａ１Ａ２｜＝２ａ短轴长｜Ｂ１Ｂ２｜＝２ｂ焦距｜Ｆ１Ｆ２｜＝２ｃ离心率ｅ＝ｃａ＝１－ｂ２ａ２（０＜ｅ＜１），ｅ越接近于１，椭圆越扁；ｅ越接近于０，椭圆越圆　　２．点与椭圆的位置关系已知点Ｐ（ｘ０，ｙ０），椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０），则（１）点Ｐ（ｘ０，ｙ０）在椭圆内⇔ｘ２０ａ２＋ｙ２０ｂ２＜１；（２）点Ｐ（ｘ０，ｙ０）在椭圆上⇔ｘ２０ａ２＋ｙ２０ｂ２＝１；（３）点Ｐ（ｘ０，ｙ０）在椭圆外⇔ｘ２０ａ２＋ｙ２０ｂ２＞１．若已知点在椭圆上，则把点的坐标代入椭圆方程，可构造关于一些量的等式；若已知点在椭圆内（外），则把点的坐标代入椭圆方程，可构造关于一些量的不等式，进而可解决相关的取值范围或最值问题．　　与椭圆有关的常用结论（１）设Ｐ，Ａ，Ｂ是中心在原点的椭圆上不同的三点，其中Ａ，Ｂ两点关于原点对称，且直线ＰＡ、ＰＢ的斜率都存在，则ｋＰＡ·ｋＰＢ＝－ｂ２ａ２．（２）Ｐ是椭圆上一点，Ｆ为椭圆的焦点，则｜ＰＦ｜∈［ａ－ｃ，ａ＋ｃ］，即椭圆上的点到焦点距离的最大值为ａ＋ｃ，最小值为ａ－ｃ；（３）椭圆的通径（过焦点且垂直于长轴的弦）长为２ｂ２ａ，通径是最短的焦点弦；（４）Ｐ是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点，Ｆ１，Ｆ２为椭圆的两焦点，则△ＰＦ１Ｆ２的周长为２（ａ＋ｃ）．（５）椭圆上的点Ｐ（ｘ０，ｙ０）与两焦点构成的△ＰＦ１Ｆ２称作焦点三角形．如图．若｜ＰＦ１｜＝ｒ１，｜ＰＦ２｜＝ｒ２，∠Ｆ１ＰＦ２＝θ，则①ｃｏｓθ＝２ｂ２ｒ１ｒ２－１．②Ｓ△ＰＦ１Ｆ２＝１２ｒ１ｒ２ｓｉｎθ＝ｓｉｎθ１＋ｃｏｓθ·ｂ２＝ｂ２·ｔａｎθ２＝ｃ｜ｙ０｜，当｜ｙ０｜＝ｂ，即Ｐ为短轴端点时，Ｓ△ＰＦ１Ｆ２最大，且最大值为ｂｃ．考点三直线与椭圆的位置关系高频考点　　１．直线与椭圆的位置关系的判断方法通常将直线ｌ的方程Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０（Ａ，Ｂ不同时为０）代入椭圆Ｃ的方程Ｆ（ｘ，ｙ）＝０，消去ｙ（也可以消去ｘ）得到一个关于变量ｘ（或变量ｙ）的一元二次方程．即Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０，ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１，{消去ｙ，得ｍｘ２＋ｍｘ＋ｔ＝０．设一元二次方程ｍｘ２＋ｎｘ＋ｔ＝０的判别式为Δ，则Δ＞０⇔直线ｌ与椭圆Ｃ相交；Δ＝０⇔直线ｌ与椭圆Ｃ相切；Δ＜０直线ｌ与椭圆Ｃ相离．􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋１１０　　５年高考３年模拟Ｂ版（教师用书）２．弦长公式设斜率为ｋ（ｋ≠０）的直线ｌ与椭圆Ｃ相交于Ａ，Ｂ两点，Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），则｜ＡＢ｜＝（ｘ１－ｘ２）２＋（ｙ１－ｙ２）２＝ｋ２＋１｜ｘ１－ｘ２｜＝ｋ２＋１·（ｘ１＋ｘ２）２－４ｘ１ｘ２或｜ＡＢ｜＝（ｘ１－ｘ２）２＋（ｙ１－ｙ２）２＝１ｋ２＋１｜ｙ１－ｙ２｜＝１ｋ２＋１·（ｙ１＋ｙ２）２－４ｙ１ｙ２（ｋ≠０）．３．处理中点弦问题的常用方法（１）点差法：设弦的两端点为Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），则有ｘ２１ａ２＋ｙ２１ｂ２＝１，ｘ２２ａ２＋ｙ２２ｂ２＝１，相减得（ｘ１－ｘ２）（ｘ１＋ｘ２）ａ２＋（ｙ１－ｙ２）（ｙ１＋ｙ２）ｂ２＝０，从而有ｋ＝ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝－ｂ２ａ２·ｘ１＋ｘ２ｙ１＋ｙ２，式中含有ｘ１＋ｘ２，ｙ１＋ｙ２，ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２三个未知量，这样就直接联系了中点坐标和直线的斜率，借用中点坐标公式即可求得斜率．（２）根与系数的关系：联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解．注意　中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足．􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋对应学生用书起始页码Ｐ１９０一、求椭圆的离心率或其取值范围的方法　　（１）若给定椭圆的方程，则根据椭圆方程确定ａ２，ｂ２的值，进而求出ａ，ｃ的值，从而利用公式ｅ＝ｃａ直接求解；（２）若椭圆的方程未知，则根据条件及几何图形建立关于ａ，ｂ，ｃ的齐次等式（或不等式），化为关于ａ，ｃ的齐次方程（或不等式），进而化为关于ｅ的方程（或不等式）进行求解．（２０１５重庆理，２１，１２分）如图，椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０）的左、右焦点分别为Ｆ１，Ｆ２，过Ｆ２的直线交椭圆于Ｐ，Ｑ两点，且ＰＱ⊥ＰＦ１．（１）若｜ＰＦ１｜＝２＋２，｜ＰＦ２｜＝２－２，求椭圆的标准方程；（２）若｜ＰＦ１｜＝｜ＰＱ｜，求椭圆的离心率ｅ．解题导引　（１）利用椭圆的定义求得ａ值→利用勾股定理求得ｃ值→求出ｂ值→写出椭圆标准方程（２）解法一：设Ｐ点坐标→利用两点间距离公式得｜ＰＦ１｜→利用等腰直角三角形得｜ＱＦ１｜＝２｜ＰＦ１｜→由△ＰＦ１Ｑ的周长为４ａ建立方程→转化为关于ｅ的方程，求得离心率解法二：由椭圆定义及已知条件得｜ＱＦ１｜＝４ａ－２｜ＰＦ１｜→利用等腰直角三角形得｜ＱＦ１｜＝２｜ＰＦ１｜→列方程求出｜ＰＦ１｜→利用椭圆定义求出｜ＰＦ２｜→利用｜ＰＦ１｜２＋｜ＰＦ２｜２＝｜Ｆ１Ｆ２｜２求离心率解析　（１）由椭圆的定义，有２ａ＝｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜＝（２＋２）＋（２－２）＝４，故ａ＝２．设椭圆的半焦距为ｃ，由已知ＰＦ１⊥ＰＦ２，得２ｃ＝｜Ｆ１Ｆ２｜＝｜ＰＦ１｜２＋｜ＰＦ２｜２＝（２＋２）２＋（２－２）２＝２３，即ｃ＝３，从而ｂ＝ａ２－ｃ２＝１．故所求椭圆的标准方程为ｘ２４＋ｙ２＝１．（２）解法一：连接Ｆ１Ｑ，如图，设Ｐ（ｘ０，ｙ０），因为点Ｐ在椭圆上，且ＰＦ１⊥ＰＦ２，所以ｘ２０ａ２＋ｙ２０ｂ２＝１，ｘ２０＋ｙ２０＝ｃ２，求得ｘ０＝±ａｃａ２－２ｂ２，ｙ０＝±ｂ２ｃ．由｜ＰＦ１｜＝｜ＰＱ｜＞｜ＰＦ２｜得ｘ０＞０，从而｜ＰＦ１｜２＝ａａ２－２ｂ２ｃ＋ｃæèçöø÷２＋ｂ４ｃ２＝２（ａ２－ｂ２）＋２ａａ２－２ｂ２＝（ａ＋ａ２－２ｂ２）２．由ＰＦ１⊥ＰＦ２，｜ＰＦ１｜＝｜ＰＱ｜，知｜ＱＦ１｜＝２｜ＰＦ１｜．因此（２＋２）｜ＰＦ１｜＝４ａ，即（２＋２）（ａ＋ａ２－２ｂ２）＝４ａ，于是（２＋２）（１＋２ｅ２－１）＝４，解得ｅ＝１２１＋４２＋２－１æèçöø÷２éëêêùûúú＝６－３．解法二：连接Ｆ１Ｑ，由椭圆的定义，有｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜＝２ａ，｜ＱＦ１｜＋｜ＱＦ２｜＝２ａ．从而由｜ＰＦ１｜＝｜ＰＱ｜＝｜ＰＦ２｜＋｜ＱＦ２｜，有｜ＱＦ１｜＝４ａ－２｜ＰＦ１｜．又由ＰＦ１⊥ＰＱ，｜ＰＦ１｜＝｜ＰＱ｜，知｜ＱＦ１｜＝２｜ＰＦ１｜，因此，４ａ－２｜ＰＦ１｜＝２｜ＰＦ１｜，得｜ＰＦ１｜＝２（２－２）ａ，从而｜ＰＦ２｜＝２ａ－｜ＰＦ１｜＝２ａ－２（２－２）ａ＝２（２－１）ａ．由ＰＦ１⊥ＰＦ２，知｜ＰＦ１｜２＋｜ＰＦ２｜２＝｜Ｆ１Ｆ２｜２＝（２ｃ）２，因此ｅ＝ｃａ＝｜ＰＦ１｜２＋｜ＰＦ２｜２２ａ＝（２－２）２＋（２－１）２＝􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋第十四章　圆锥曲线与方程１１１　　９－６２＝６－３．　　１－１　（２０１６课标全国Ⅲ改编，１２，５分）已知Ｏ为坐标原点，Ｆ是椭圆Ｃ：ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０）的左焦点，Ａ，Ｂ分别为Ｃ的左，右顶点．Ｐ为Ｃ上一点，且ＰＦ⊥ｘ轴．过点Ａ的直线ｌ与线段ＰＦ交于点Ｍ，与ｙ轴交于点Ｅ．若直线ＢＭ经过ＯＥ的中点，则Ｃ的离心率为　　　　．１－１答案　１３解析　解法一：设点Ｍ（－ｃ，ｙ０），ＯＥ的中点为Ｎ，则直线ＡＭ的斜率ｋ＝ｙ０ａ－ｃ，从而直线ＡＭ的方程为ｙ＝ｙ０ａ－ｃ（ｘ＋ａ），令ｘ＝０，得点Ｅ的纵坐标ｙＥ＝ａｙ０ａ－ｃ．同理，ＯＥ的中点Ｎ的纵坐标ｙＮ＝ａｙ０ａ＋ｃ．因为２ｙＮ＝ｙＥ，所以２ａ＋ｃ＝１ａ－ｃ，即２ａ－２ｃ＝ａ＋ｃ，所以ｅ＝ｃａ＝１３．解法二：如图，设ＯＥ的中点为Ｎ，由题意知｜ＡＦ｜＝ａ－ｃ，｜ＢＦ｜＝ａ＋ｃ，｜ＯＦ｜＝ｃ，｜ＯＡ｜＝｜ＯＢ｜＝ａ，∵ＰＦ∥ｙ轴，∴｜ＭＦ｜｜ＯＥ｜＝｜ＡＦ｜｜ＡＯ｜＝ａ－ｃａ，｜ＭＦ｜｜ＯＮ｜＝｜ＢＦ｜｜ＯＢ｜＝ａ＋ｃａ，又∵｜ＭＦ｜｜ＯＥ｜＝｜ＭＦ｜２｜ＯＮ｜，即ａ－ｃａ＝ａ＋ｃ２ａ，∴ａ＝３ｃ，故ｅ＝ｃａ＝１３．　　１－２　（２０１８盐城中学期末，９）已