（江苏专用）2020版高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1.2 常用逻辑用语教师用书（P

４　　　　５年高考３年模拟Ｂ版（教师用书）§１．２　常用逻辑用语对应学生用书起始页码Ｐ６考点一命题及其关系　　１．四种命题间的相互关系２．四种命题的真假关系（１）两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性．（２）两个命题互为逆命题或互为否命题时，它们的真假性没有关系．３．否命题与命题的否定的区别否命题是对原命题的条件和结论同时否定；命题的否定仅仅否定原命题的结论，条件不变．因此否命题与命题的否定是两种不同的命题．考点二充分条件与必要条件　　１．“若ｐ，则ｑ”是真命题，即ｐ⇒ｑ；“若ｐ，则ｑ”为假命题，即ｐ⇒∕ｑ．２．（１）若ｐ⇒ｑ，则ｐ是ｑ的充分条件；（２）若ｑ⇒ｐ，则ｐ是ｑ的必要条件；（３）若ｐ⇒ｑ，但ｐ⇐∕ｑ，则ｐ是ｑ的充分不必要条件；（４）若ｐ⇒∕ｑ，但ｐ⇐ｑ，则ｐ是ｑ的必要不充分条件；（５）若ｐ⇒ｑ，且ｐ⇐ｑ，则ｐ是ｑ的充要条件；（６）若ｐ⇒∕ｑ，且ｐ⇐∕ｑ，则ｐ是ｑ的既不充分也不必要条件．３．从集合角度理解若ｐ以集合Ａ的形式出现，ｑ以集合Ｂ的形式出现，即Ａ＝｛ｘ｜ｐ（ｘ）｝，Ｂ＝｛ｘ｜ｑ（ｘ）｝，则关于充分、必要条件又可叙述为：若Ａ⊆Ｂ，则ｐ是ｑ的充分条件；若Ａ⊇Ｂ，则ｐ是ｑ的必要条件；若Ａ＝Ｂ，则ｐ是ｑ的充要条件；若Ａ⫋Ｂ，则ｐ是ｑ的充分不必要条件；若Ａ⫌Ｂ，则ｐ是ｑ的必要不充分条件；若Ａ⊈Ｂ，且Ａ⊉Ｂ，则ｐ是ｑ的既不充分也不必要条件．考点三简单的逻辑联结词　　１．逻辑联结词有：“或”“且”“非”．２．复合命题“ｐ∨ｑ”“ｐ∧ｑ”“¬ｐ”的真假判断如下表：ｐｑｐ∨ｑｐ∧ｑ¬ｐ真真假假真假真假真真真假真假假假假真考点四全称量词与存在量词　　１．全称命题与存在性命题（１）含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对Ｍ中任意一个ｘ，有ｐ（ｘ）成立”可用符号简记为∀ｘ∈Ｍ，ｐ（ｘ）．（２）含有存在量词的命题，叫做存在性命题．“Ｍ中存在元素ｘ，使ｐ（ｘ）成立”可用符号简记为∃ｘ∈Ｍ，ｐ（ｘ）．２．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀ｘ∈Ｍ，ｐ（ｘ）∃ｘ∈Ｍ，¬ｐ（ｘ）∃ｘ∈Ｍ，ｐ（ｘ）∀ｘ∈Ｍ，¬ｐ（ｘ）　　３．常用的正面叙述词语和它的否定词语正面词语等于（＝）大于（＞）小于（＜）是否定词语不等于（≠）不大于（≤）不小于（≥）不是正面词语都是任意的所有的至多有一个至少有一个否定词语不都是某个某些至少有两个一个也没有　　注意：（１）全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题．（２）命题的“否定”与一个命题的“否命题”是两个不同的概念．对命题ｐ的否定是否定命题的结论，而“否命题”既要否定条件，也要否定结论．􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋第一章　集合与常用逻辑用语５　　　　对应学生用书起始页码Ｐ７一、命题及其真假的判断方法　　１．直接法：利用相关知识直接判断命题的真假．２．间接法：（１）不正确的命题可通过举反例加以说明；（２）利用原命题与其逆否命题的真假一致性间接判断原命题的真假；（３）利用充要条件与集合关系判断命题的真假．３．真值表法：主要解决复合命题的真假判断，及利用真值表求参数范围．原命题为“已知ｎ∈Ｎ∗，若ａｎ＋ａｎ＋１２＜ａｎ，则｛ａｎ｝为递减数列”，则该命题的逆命题、否命题、逆否命题的真假依次为　　　　　　　　．解析　若ｎ∈Ｎ∗，ａｎ＋ａｎ＋１２＜ａｎ，则ａｎ＋１＜ａｎ，所以｛ａｎ｝为递减数列，所以原命题为真命题，所以其逆否命题也是真命题；原命题的逆命题为已知ｎ∈Ｎ∗，若｛ａｎ｝为递减数列，则ａｎ＋ａｎ＋１２＜ａｎ，该命题为真命题，所以原命题的否命题也为真命题．答案　真，真，真　　１－１　给出以下四个命题：①“若ｘ＋ｙ＝０，则ｘ，ｙ互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若ｑ≤－１，则ｘ２＋ｘ＋ｑ＝０有实根”的逆否命题；④“若ａｂ是正整数，则ａ，ｂ都是正整数”．其中真命题是　　　　．（写出所有真命题的序号）１－１答案　①③解析　①命题“若ｘ＋ｙ＝０，则ｘ，ｙ互为相反数”的逆命题为“若ｘ，ｙ互为相反数，则ｘ＋ｙ＝０”，显然①为真命题；②的否命题为不全等的三角形的面积不相等，不全等的三角形的面积也可能相等，故②为假命题；③原命题正确，所以它的逆否命题也正确，故③为真命题；④若ａｂ是正整数，则ａ，ｂ不一定都是正整数，例如ａ＝－１，ｂ＝－３，故④为假命题．　　１－２　在命题ｐ的四种形式（原命题、逆命题、否命题、逆否命题）中，真命题的个数记为ｆ（ｐ）．已知命题ｐ：“若两条直线ｌ１：ａ１ｘ＋ｂ１ｙ＋ｃ１＝０，ｌ２：ａ２ｘ＋ｂ２ｙ＋ｃ２＝０平行，则ａ１ｂ２－ａ２ｂ１＝０”，那么ｆ（ｐ）＝　　　　．１－２答案　２解析　原命题ｐ显然是真命题，故其逆否命题也是真命题．原命题的逆命题是若ａ１ｂ２－ａ２ｂ１＝０，则两条直线ｌ１：ａ１ｘ＋ｂ１ｙ＋ｃ１＝０，ｌ２：ａ２ｘ＋ｂ２ｙ＋ｃ２＝０平行，这是假命题，因为当ａ１ｂ２－ａ２ｂ１＝０时，还有可能ｌ１与ｌ２重合，原命题ｐ的逆命题是假命题，从而其否命题也是假命题，故ｆ（ｐ）＝２．􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋二、充分条件与必要条件问题的解法　　１．充分、必要条件的判断方法（１）定义法：直接判断“若ｐ，则ｑ”“若ｑ，则ｐ”的真假．（２）等价法：利用Ａ⇒Ｂ与􀱑Ｂ⇒¬Ａ，Ｂ⇒Ａ与¬Ａ⇒¬Ｂ，Ａ⇔Ｂ与¬Ｂ⇔¬Ａ的等价关系判断．对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．（３）集合法：写出集合Ａ＝｛ｘ｜ｐ（ｘ）｝及Ｂ＝｛ｘ｜ｑ（ｘ）｝，利用集合间的关系进行判断．２．已知充分、必要条件求参数的取值范围此类问题一般是将充分必要条件转化为集合间的关系，然后根据集合间的关系列出关于参数的不等式（组）求解．　　（１）设函数ｆ（ｘ）＝ｃｏｓ（２ｘ＋φ），则“ｆ（ｘ）为奇函数”是“φ＝π２”的　　　　　　条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）（２）已知ｐ：（ｘ－ｍ）２＞３（ｘ－ｍ）是ｑ：ｘ２＋３ｘ－４＜０的必要不充分条件，则实数ｍ的取值范围为　　　　　　　　　．解析　（１）当φ＝π２时，ｆ（ｘ）＝－ｓｉｎ２ｘ，为奇函数，故必要性成立；而当φ＝π２＋２π时，ｆ（ｘ）＝－ｓｉｎ２ｘ，也为奇函数，所以充分性不成立．故填必要不充分．（２）令Ａ＝｛ｘ｜（ｘ－ｍ）２＞３（ｘ－ｍ）｝＝｛ｘ｜ｘ＜ｍ或ｘ＞ｍ＋３｝，Ｂ＝｛ｘ｜ｘ２＋３ｘ－４＜０｝＝｛ｘ｜－４＜ｘ＜１｝，∵ｐ是ｑ的必要不充分条件，∴Ｂ⫋Ａ，∴ｍ≥１或ｍ＋３≤－４，即ｍ≥１或ｍ≤－７，∴实数ｍ的取值范围是（－∞，－７］∪［１，＋∞）．答案　（１）必要不充分　（２）（－∞，－７］∪［１，＋∞）　　２－１　设｛ａｎ｝是公比为ｑ的等比数列，则“ｑ＞１”是“｛ａｎ｝为递增数列”的　　　　条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）２－１答案　既不充分也不必要解析　当数列｛ａｎ｝的首项ａ１＜０时，若ｑ＞１，则数列｛ａｎ｝是递减数列；当数列｛ａｎ｝的首项ａ１＜０时，要使数列｛ａｎ｝为递增数列，则０＜ｑ＜１，所以“ｑ＞１”是“数列｛ａｎ｝为递增数列”的既不充分也不必要条件．　　２－２　已知函数ｆ（ｘ）为定义在Ｒ上的奇函数，当ｘ≥０时，ｆ（ｘ）＝２ｘ＋ｔ（ｔ为常数），则ｆ（ｍ）＜３的一个充分不必要条件是　　　　．２－２答案　－２＜ｍ＜２（答案不唯一）解析　因为函数ｆ（ｘ）为定义在Ｒ上的奇函数，所以ｆ（０）＝０，所以ｔ＝－１，所以ｆ（ｘ）＝２ｘ－１，易求得ｆ（ｍ）＜３的充要条件是ｍ＜２，所以ｆ（ｍ）＜３的一个充分不必要条件是－２＜ｍ＜２．（答案不唯一）􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋三、与复合命题、全（特）称命题有关的参数问题的解法　　根据复合命题的真假求参数范围的步骤：（１）先求出每个简单命题是真命题时参数的取值范围；（２）再根据复合命题的真假确定各个简单命题的真假情况（有时不一定只有一种情况）；（３）最后由（２）的结论求出满足条件的参数的取值范围．（１）给定命题ｐ：对任意实数ｘ都有ａｘ２＋ａｘ＋１＞０成立；ｑ：关于ｘ的方程ｘ２－ｘ＋ａ＝０有实数根．如果ｐ∨ｑ为真命题，ｐ∧ｑ为假命题，那么实数ａ的取值范围为　　　　　　　　　．􀪋􀪋􀪋􀪋６　　　　５年高考３年模拟Ｂ版（教师用书）（２）（２０１８南通期中，３）若命题“∃ｔ∈Ｒ，ｔ２－２ｔ－ａ＜０”是假命题，则实数ａ的取值范围是　　　　．解析　（１）“对任意实数ｘ都有ａｘ２＋ａｘ＋１＞０成立”⇔ａ＝０或ａ＞０，Δ＜０，{∴０≤ａ＜４．“关于ｘ的方程ｘ２－ｘ＋ａ＝０有实数根”⇔Δ＝１－４ａ≥０，∴ａ≤１４．∵ｐ∨ｑ为真命题，ｐ∧ｑ为假命题，∴ｐ，ｑ一真一假．若ｐ真ｑ假，则有０≤ａ＜４，ａ＞１４，{∴１４＜ａ＜４；若ｐ假ｑ真，则有ａ＜０或ａ≥４，ａ≤１４，{∴ａ＜０．故ａ的取值范围为（－∞，０）∪１４，４()．（２）因为命题“∃ｔ∈Ｒ，ｔ２－２ｔ－ａ＜０”为假命题，所以命题“∀ｔ∈Ｒ，ｔ２－２ｔ－ａ≥０”为真命题，所以Δ＝（－２）２－４×１×（－ａ）＝４ａ＋４≤０，解得ａ≤－１．答案　（１）（－∞，０）∪１４，４()　（２）（－∞，－１］　　３－１　已知ｃ＞０且ｃ≠１，设命题ｐ：函数ｙ＝ｃｘ在Ｒ上单调递减；命题ｑ：对任意实数ｘ，不等式ｘ２－２ｘ＋ｃ＞０恒成立．（１）写出命题ｑ的否定，并求非ｑ为真时，实数ｃ的取值范围；（２）如果命题“ｐ∨ｑ”为真命题，“ｐ∧ｑ”为假命题，求实数ｃ的取值范围．３－１解析　（１）¬ｑ：存在ｘ０∈Ｒ，不等式ｘ２０－２ｘ０＋ｃ≤０成立．若非ｑ为真，则Δ＝（－２）２－４ｃ≥０，即ｃ≤１２，又ｃ＞０且ｃ≠１，∴０＜ｃ≤１２．（２）因为命题“ｐ∨ｑ”为真命题，“ｐ∧ｑ”为假命题，所以ｐ与ｑ一真一假．若ｐ为真命题，则０＜ｃ＜１；若ｑ为真命题，则Δ＝（－２）２－４ｃ＜０，即ｃ＞１２且ｃ≠１．则ｐ真ｑ假时，０＜ｃ≤１２；ｐ假ｑ真时，ｃ＞１．∴实数ｃ的取值范围是０，１２(]∪（１，＋∞）．易错警示　解题中要特别注意已知条件中参数的范围，否则会导致答案错误．　　３－２　已知ｐ：ｘ２＋２ｘ－３＞０，ｑ：ｘ２－５ｘ＋６＜０．若“（¬ｑ）∧ｐ”为真，则ｘ的取值范围是　　　　　　　　　　　　．３－２答案　（－∞，－３）∪（１，２］∪［３，＋∞）解析　ｐ为真命题时，由ｘ２＋２ｘ－３＞０，得ｘ＞１或ｘ＜－３；ｑ为真命题时，由ｘ２－５ｘ＋６＜０，解得２＜ｘ＜３．∵“（¬ｑ）∧ｐ”为真，∴ｐ为真命题，ｑ为假命题，∴ｘ＞１或ｘ＜－３，ｘ≥３或ｘ≤２，{可得ｘ＜－３或１＜ｘ≤２或ｘ≥３．∴ｘ的取值范围为（－∞，－３）∪（１，２］∪［３，＋∞）．􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋