中考数学二次函数综合题含答案

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，已知抛物线2yaxbxc经过A（－3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；（3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．①求S与m的函数关系式；②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2yx2x3.（2）3210.（3）①2Sm4m3.②当m=﹣2时，S最大，最大值为1，此时点E的坐标为（﹣2，2）.【解析】【分析】（1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可.（2）根据BC是定值，得到当PB+PC最小时，△PBC的周长最小，根据点的坐标求得相应线段的长即可.（3）设点E的横坐标为m，表示出E（m，2m+6），F（m，2m2m3），最后表示出EF的长，从而表示出S于m的函数关系，然后求二次函数的最值即可.【详解】解：（1）∵抛物线2yaxbxc经过A（－3，0），B（1，0），∴可设抛物线交点式为yax3x1.又∵抛物线2yaxbxc经过C（0，3），∴a1.∴抛物线的解析式为：yx3x1，即2yx2x3.（2）∵△PBC的周长为：PB+PC+BC，且BC是定值.∴当PB+PC最小时，△PBC的周长最小.∵点A、点B关于对称轴I对称，∴连接AC交l于点P，即点P为所求的点.∵AP=BP，∴△PBC的周长最小是：PB+PC+BC=AC+BC.∵A（－3，0），B（1，0），C（0，3），∴AC=32，BC=10.∴△PBC的周长最小是：3210.（3）①∵抛物线2yx2x3顶点D的坐标为（﹣1，4），A（﹣3，0），∴直线AD的解析式为y=2x+6∵点E的横坐标为m，∴E（m，2m+6），F（m，2m2m3）∴22EFm2m32m6m4m3.∴22DEFAEF1111SSSEFGHEFAGEFAHm4m32m4m32222.∴S与m的函数关系式为2Sm4m3.②22Sm4m3m21，∴当m=﹣2时，S最大，最大值为1，此时点E的坐标为（﹣2，2）.2．（2017南宁，第26题，10分）如图，已知抛物线2239yaxaxa与坐标轴交于A，B，C三点，其中C（0，3），∠BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点M，N．（1）直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；（2）点P为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD为等腰三角形，求出点P的坐标；（3）证明：当直线l绕点D旋转时，11AMAN均为定值，并求出该定值．【答案】（1）a=13，A（﹣3，0），抛物线的对称轴为x=3；（2）点P的坐标为（3，0）或（3，﹣4）；（3）32．【解析】试题分析：（1）由点C的坐标为（0，3），可知﹣9a=3，故此可求得a的值，然后令y=0得到关于x的方程，解关于x的方程可得到点A和点B的坐标，最后利用抛物线的对称性可确定出抛物线的对称轴；（2）利用特殊锐角三角函数值可求得∠CAO=60°，依据AE为∠BAC的角平分线可求得∠DAO=30°，然后利用特殊锐角三角函数值可求得OD=1，则可得到点D的坐标．设点P的坐标为（3，a）．依据两点的距离公式可求得AD、AP、DP的长，然后分为AD=PA、AD=DP、AP=DP三种情况列方程求解即可；（3）设直线MN的解析式为y=kx+1，接下来求得点M和点N的横坐标，于是可得到AN的长，然后利用特殊锐角三角函数值可求得AM的长，最后将AM和AN的长代入化简即可．试题解析：（1）∵C（0，3），∴﹣9a=3，解得：a=13．令y=0得：22390axaxa，∵a≠0，∴22390xx，解得：x=﹣3或x=33，∴点A的坐标为（﹣3，0），B（33，0），∴抛物线的对称轴为x=3．（2）∵OA=3，OC=3，∴tan∠CAO=3，∴∠CAO=60°．∵AE为∠BAC的平分线，∴∠DAO=30°，∴DO=33AO=1，∴点D的坐标为（0，1）．设点P的坐标为（3，a）．依据两点间的距离公式可知：AD2=4，AP2=12+a2，DP2=3+（a﹣1）2．当AD=PA时，4=12+a2，方程无解．当AD=DP时，4=3+（a﹣1）2，解得a=0或a=2（舍去），∴点P的坐标为（3，0）．当AP=DP时，12+a2=3+（a﹣1）2，解得a=﹣4，∴点P的坐标为（3，﹣4）．综上所述，点P的坐标为（3，0）或（3，﹣4）．（3）设直线AC的解析式为y=mx+3，将点A的坐标代入得：330m，解得：m=3，∴直线AC的解析式为33yx．设直线MN的解析式为y=kx+1．把y=0代入y=kx+1得：kx+1=0，解得：x=1k，∴点N的坐标为（1k，0），∴AN=13k=31kk．将33yx与y=kx+1联立解得：x=23k，∴点M的横坐标为23k．过点M作MG⊥x轴，垂足为G．则AG=233k．∵∠MAG=60°，∠AGM=90°，∴AM=2AG=4233k=2323kk，∴11AMAN=323231kkkk=33232kk=3(31)2(31)kk=32．点睛：本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，分类讨论是解答问题（2）的关键，求得点M的坐标和点N的坐标是解答问题（3）的关键．3．如图，直线y＝-12x-3与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点A，C的抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴的另一个交点为点B(2，0)，点D是抛物线上一点，过点D作DE⊥x轴于点E，连接AD，DC．设点D的横坐标为m．(1)求抛物线的解析式；(2)当点D在第三象限，设△DAC的面积为S，求S与m的函数关系式，并求出S的最大值及此时点D的坐标；(3)连接BC，若∠EAD＝∠OBC，请直接写出此时点D的坐标．【答案】(1)y＝14x2+x﹣3；(2)S△ADC=﹣34(m+3)2+274；△ADC的面积最大值为274；此时D(﹣3，﹣154)；(3)满足条件的点D坐标为(﹣4，﹣3)或(8，21).【解析】【分析】（1）求出A坐标，再用待定系数法求解析式；（2）设DE与AC的交点为点F.设点D的坐标为：(m，14m2+m﹣3)，则点F的坐标为：(m，﹣12m﹣3)，根据S△ADC＝S△ADF+S△DFC求出解析式，再求最值；（3）①当点D与点C关于对称轴对称时，D(﹣4，﹣3)，根据对称性此时∠EAD＝∠ABC．②作点D(﹣4，﹣3)关于x轴的对称点D′(﹣4，3)，直线AD′的解析式为y＝32x+9，解方程组求出函数图像交点坐标.【详解】解：(1)在y＝﹣12x﹣3中，当y＝0时，x＝﹣6，即点A的坐标为：(﹣6，0)，将A(﹣6，0)，B(2，0)代入y＝ax2+bx﹣3得：366304230abab，解得：141ab，∴抛物线的解析式为：y＝14x2+x﹣3；(2)设点D的坐标为：(m，14m2+m﹣3)，则点F的坐标为：(m，﹣12m﹣3)，设DE与AC的交点为点F.∴DF＝﹣12m﹣3﹣(14m2+m﹣3)＝﹣14m2﹣32m，∴S△ADC＝S△ADF+S△DFC＝12DF•AE+12•DF•OE＝12DF•OA＝12×(﹣14m2﹣32m)×6＝﹣34m2﹣92m＝﹣34(m+3)2+274，∵a＝﹣34＜0，∴抛物线开口向下，∴当m＝﹣3时，S△ADC存在最大值274，又∵当m＝﹣3时，14m2+m﹣3＝﹣154，∴存在点D(﹣3，﹣154)，使得△ADC的面积最大，最大值为274；(3)①当点D与点C关于对称轴对称时，D(﹣4，﹣3)，根据对称性此时∠EAD＝∠ABC．②作点D(﹣4，﹣3)关于x轴的对称点D′(﹣4，3)，直线AD′的解析式为y＝32x+9，由2392134yxyxx，解得60xy或821xy，此时直线AD′与抛物线交于D(8，21)，满足条件，综上所述，满足条件的点D坐标为(﹣4，﹣3)或(8，21)【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的应用，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会构建一次函数解决实际问题，属于中考压轴题．.4．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，当△CDP为等腰三角形时，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线的顶点为E，EF⊥x轴于点F，N是线段EF上一动点，M（m，0）是x轴一个动点，若∠MNC＝90°，请求出m的取值范围．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）点P的坐标为（1，2）或（2，1）或（3﹣2,2）；（3）554m【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；（2）由待定系数法即可求得直线BC的解析式，再设P（t，3﹣t），即可得D（t，﹣t2+2t+3），即可求得PD的长，然后分三种情况讨论，求点P的坐标；（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列出关系式m＝（n﹣32）2﹣54，然后根据n的取值得到最小值．【详解】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，A（﹣1，0），C（0，3），∴103bcc，解得b＝2，c＝3．故该抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3．（2）令﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，即B（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b′，则330bkb，解得：k=-1,b’=3故直线BC的解析式为y＝﹣x+3；∴设P（t，3﹣t），∴D（t，﹣t2+2t+3），∴PD＝（﹣t2+2t+3）﹣（3﹣t）＝﹣t2+3t，∵OB＝OC＝3，∴△BOC是等腰直角三角形，∴∠OCB＝45°，当CD＝PC时，则∠CPD＝∠CDP，∵PD∥y轴，∴∠CPD＝∠OCB＝45°，∴∠CDP＝45°，∴∠PCD＝90°，∴直线CD的解析式为y＝x+3，解2323yxyxx得03xy或14xy∴D（1，4），此时P（1，2）；当CD＝PD时，则∠DCP＝∠CPD＝45°，∴∠CDP＝90°，∴CD∥x轴，∴D点的纵坐标为3，代入y＝﹣x2+2x+3得，3＝﹣x2+2x+3，解得x＝0或x＝2，此时P（2，1）；当PC＝PD时，∵PC＝2t，∴2t＝﹣t2+3t，解得t＝0或t＝3﹣2，此时P（3﹣2，2）；综上，当△CDP为等腰三角形时，点P的坐标为（1，2）或（2，1）或（3﹣2，2）（3）如图2，由（1）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴E（1，4），设N（1，n），则0≤n≤4，取CM的中点Q（2m，32），∵∠MNC＝90°，∴NQ＝12CM，∴4NQ2＝CM2，∵NQ2＝（1﹣2m）2+（n﹣32）2，∴4[（1﹣2m）2+（n﹣32）2]＝m2+9，整理得，m＝（n﹣32）2﹣54，∵0≤n≤4，当n＝32时，m最小值＝﹣54，n＝4时，m＝5，综上，m的取值范围为：﹣54≤m≤5．【点睛】此题考查了待定系数法求函数的解析式、平行线的性质、二次函数的最值问题、判别式的应用以及等腰直角三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．5．如图，