二次函数的图象与性质优质课教学设计

1/16二次函数的图象与性质【课时安排】5课时【第一课时】【教学目标】（一）知识与技能：1．会用描点法画函数y=ax²(a0)的图象，并根据图象认识、理解和掌握其性质。2．体会数形结合的转化，能用y=ax²(a0)的图象和性质解决简单的实际问题。（二）过程与方法：经历探索二次函数y=ax²(a0)图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数的经验，培养观察、思考、归纳的良好思维习惯。（三）情感态度：通过动手画图，同学之间交流讨论，达到对二次函数y=ax²(a0)图象和性质的真正理解，从而产生对数学的兴趣，调动学生的积极性。【教学重点】1．会画y=ax²(a0)的图象。2．理解，掌握图象的性质。【教学难点】二次函数图象及性质探究过程和方法的体会。【教学过程】一、情境导入，初步认识：问题1：请同学们回忆一下一次函数的图象、反比例函数的图象的特征是什么？二次函数图象是什么形状呢？问题2：如何用描点法画一个函数图象呢？二、思考探究，获取新知：探究1：画二次函数y=ax²(a0)的图象。1．要求同学们人人动手，按“列表、描点、连线”的步骤画图y=x²的图象，同学们画好2/16后相互交流、展示，表扬画得比较规范的同学。2．从列表和描点中，体会图象关于y轴对称的特征。3．强调画抛物线的三个误区。误区一：用直线连结，而非光滑的曲线连结，不符合函数的变化规律和发展趋势。如图（1）就是y=x²的图象的错误画法。误区二：并非对称点，存在漏点现象，导致抛物线变形。如图（2）就是漏掉点(0，0)的y=x²的图象的错误画法。误区三：忽视自变量的取值范围，抛物线要求用平滑曲线连点的同时，还需要向两旁无限延伸，而并非到某些点停止。如图（3）就是到点(-2，4)，(2，4)停住的y=x²图象的错误画法。探究2：y=ax²(a0)图象的性质在同一坐标系中，画出y=x²，，y=2x²的图象。要求同学们独立完成图象，教师帮助引导，强调画图时注意每一个函数图象的对称性。动脑筋观察上述图象的特征(共同点)，从而归纳二次函数y=ax²(a0)的图象和性质。教师引导学生观察图象，从开口方向，对称轴，顶点，y随x的增大时的变化情况等几个方面让学生归纳，教师整理讲评、强调。y=ax²(a0)图象的性质：1．图象开口向上。2．对称轴是y轴，顶点是坐标原点，函数有最低点。3．当x0时，y随x的增大而增大，简称右升；当x0时，y随x的增大而减小，简称左降。三、典例精析，掌握新知：例已知函数是关于x的二次函数。1．求k的值。2．k为何值时，抛物线有最低点，最低点是什么？在此前提下，当x在哪个范围内取值时，y随x的增大而增大？分析：此题是考查二次函数y=ax²的定义、图象与性质的，由二次函数定义列出关于k的方程，进而求出k的值，然后根据k+20，求出k的取值范围，最后由y随x的增大而增大，212yx3/16求出x的取值范围。解：1．由已知得22042kkk，解得k=2或k=-3。所以当k=2或k=-3时，函数24(2)kkykx是关于x的二次函数。2．若抛物线有最低点，则抛物线开口向上，所以k+20。由1知k=2，最低点是（0，0)，当x≥0时，y随x的增大而增大。四、运用新知，深化理解：1．下列函数中，当x0时，y值随x值增大而减小的是（）A．y=x²B．y=x-1C．D．y=2．已知点（-1，y1)，(2，y²)，(-3，y³)都在函数y=x²的图象上，则（）A．y1y²y³B．y1y³y²C．y³y²y1D．y²y1y³3．抛物线y=x²的开口向，顶点坐标为，对称轴为，当x=-2时，y=；当y=3时，x=，当x≤0时，y随x的增大而；当x0时，y随x的增大而。4．如图，抛物线y=ax²上的点B，C与x轴上的点A（-5，0），D（3，0）构成平行四边形ABCD，BC与y轴交于点E（0，6），求常数a的值。五、师生互动，课堂小结：（一）师生共同回顾二次函数y=ax²(a0)图象的画法及其性质。（二）通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流。【教学反思】本节课是从学生画y=x²的图象，从而掌握二次函数y=ax²(a0)图象的画法，再由图象观察、探究二次函数y=ax²(a0)的性质，培养学生动手、动脑、探究归纳问题的能力。【第二课时】【教学目标】（一）知识与技能：131x34yx4/161．会用描点法画函数y=ax²(a0)的图象，并根据图象认识、理解和掌握其性质。2．体会数形结合的转化，能用y=ax²(a0)的图象与性质解决简单的实际问题。（二）过程与方法：经历探索二次函数y=ax²(a0)图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数的经验，培养观察、思考、归纳的良好思维习惯。（三）情感态度：通过动手画图，同学之间交流讨论，达到对二次函数y=ax²(a≠0)图象和性质的真正理解，从而产生对数学的兴趣，调动学习的积极性。【教学重点】1．会画y=ax²(a0)的图象；2．理解掌握图象的性质。【教学难点】二次函数图象的性质及其探究过程和方法的体会。【教学过程】一、情境导入，初步认识1．在坐标系中画出的图象，结合的图象，谈谈二次函数y=ax²(a0)的图象具有哪些性质？2．你能画出的图象吗？二、思考探究，获取新知探究1：画y=ax²(a0)的图象请同学们在上述坐标系中用“列表、描点、连线”的方法画出的图象。教师要求学生独立完成，强调画图过程中应注意的问题，同学们完成后相互交流，表扬图象画得“美观”的同学。问：从所画出的图象进行观察，与有何关系？归纳：与。5/16二者图象形状完全相同，只是开口方向不同，两图象关于y轴对称。（教师引导学生从理论上进行证明这一结论。）探究2：二次函数y=ax²(a0)性质问：你能结合y=-12x²的图象，归纳出y=ax²(a0)图象的性质吗？教师提示应从开口方向，对称轴，顶点位置，y随x的增大时的变化情况几个方面归纳，教师整理，强调y=ax²(a0)图象的性质。1．开口向下。2．对称轴是y轴，顶点是坐标原点，函数有最高点。3．当x0时，y随x的增大而减小，简称右降，当x0时，y随x的增大而增大，简称左升。探究3：二次函数y=ax²(a≠0)的图象及性质：学生回答：一般地，抛物线y=ax²的对称轴是，顶点是，当a0时抛物线的开口向，顶点是抛物线的最点，a越大，抛物线开口越；当a0时，抛物线的开口向，顶点是抛物线的最点，a越大，抛物线开口越，总之，|a|越大，抛物线开口越。三、典例精析，掌握新知：例1：函数y=(-2x)²的图象是，顶点坐标是，对称轴是，开口方向是。解：抛物线，（0，0），y轴，向上；例2：函数y=x²，y=12x²和y=-2x²的图象如图所示：请指出三条抛物线的解析式。解：2根据抛物线y=ax²中，a的值的作用来判断，上面最外面的抛物线为y=12x²，中间为y=x²，在x轴下方的为y=-2x²。6/16解析式需化为一般式，再根据图象特征解答，避免发生错误。抛物线y=ax²中，当a0时，开口向上；当a0时，开口向下，|a|越大，开口越小。例3：已知抛物线y=ax²经过点（1，-1），求y=-4时x的值。分析：把点(1，-1)的坐标代入y=ax²，求得a的值，得到二次函数的表达式，再把y=-4代入已求得的表达式中，即可求得x的值。解：∵点（1，-1）在抛物线y=ax²上，-1=a·12，∴a=-1，∴抛物线为y=-x²。当y=-4时，有-4=-x²，∴x=±2。在求y=ax²的解析式时，往往只须一个条件代入即可求出a值。四、运用新知，深化理解。1．下列关于抛物线y=x²和y=-x²的说法，错误的是（）。A．抛物线y=x²和y=-x²有共同的顶点和对称轴B．抛物线y=x²和y=-x²关于x轴对称C．抛物线y=x²和y=-x²的开口方向相反D．点（-2，4）在抛物线y=x²上，也在抛物线y=-x²上2．二次函数y=ax²与一次函数y=-ax(a≠0)在同一坐标系中的图象大致是（）。3．二次函数226(1)mmymx，当x0时，y随x的增大而减小，则m=。4．已知点A（-1，y)，B(1，y²)，C(a，y³)都在函数y=x²的图象上，且a1，则y1，y²，y³中最大的是。5．已知函数y=ax²经过点(1，2)。（1）求a的值；（2）当x0时，y的值随x值的增大而变化的情况。五、师生互动，课堂小结。这节课你学到了什么，还有哪些疑惑？【教学反思】本节课仍然是从学生画图象，结合上节课y=ax²(a0)的图象和性质，从而得出y=ax²(a0)的图象和性质，进而得出y=ax²（a≠0)的图象和性质，培养学生动手、动脑、合作探究的学习7/16习惯。【第三课时】【教学目标】（一）知识与技能：1．能够画出y=a(x-h)2的图象，并能够理解它与y=ax2的图象的关系，理解a，h对二次函数图象的影响。2．能正确说出y=a(x-h)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。（二）过程与方法：经历探索二次函数y=a(x-h)2的图象的作法和性质的过程，进一步领会数形结合的思想。（三）情感态度：1．在小组活动中体会合作与交流的重要性。2．进一步丰富数学学习的成功体验，认识到数学是解决实际问题的重要工具，初步形成积极参与数学活动的意识。【教学重点】掌握y=a(x-h)2的图象及性质。【教学难点】理解y=a(x-h)2与y=ax2图象之间的位置关系，理解a，h对二次函数图象的影响。【教学过程】一、情境导入，初步认识：（一）在同一坐标系中画出y=12x²与y=12(x-1)2的图象，完成下表。（二）二次函数y=12(x-1)2的图象与y=12x2的图象有什么关系？（三）对于二次函数12(x-1)2，当x取何值时，y的值随x值的增大而增大？当x取何值时，y的值随x值的增大而减小？8/16二、思考探究，获取新知：归纳二次函数y=a(x-h)²的图象与性质并完成下表。三、典例精析，掌握新知：二次函数y=ax²与y=a(x-h)2是有关系的，即左、右平移时“左加右减”。例如y=ax2向左平移1个单位得到y=a(x+1)2，y=ax2向右平移2个单位得到y=a(x-2)2的图象。例：已知直线y=x+1与x轴交于点A，抛物线y=-2x2平移后的顶点与点A重合。1．水平移后的抛物线l的解析式；2．若点B（x1，y1)，C(x2，y2)在抛物线l上，且-12x1x²，试比较y1，y2的大小。解：1．∵y=x+1，∴令y=0，则x=-1，∴A（-1，0)，即抛物线l的顶点坐标为（-1，0），又∵抛物线l是由抛物线y=-2x2平移得到的，∴抛物线l的解析式为y=-2(x+1)2。2．由1可知，抛物线l的对称轴为x=-1，∵a=-20，∴当x-1时，y随x的增大而减小，又-12x1x²，∴y1y²。9/16二次函数的增减性以对称轴为分界，画图象取点时以顶点为分界对称取点。四、运用新知，深化理解：1．二次函数y=15(x-1)²的最小值是（）A．-1B．1C．0D．没有最小值2．抛物线y=-3(x+1)²不经过的象限是（）A．第一、二象限B．第二、四象限C．第三、四象限D．第二、三象限3．在反比例函数y=kx中，当x0时，y随x的增大而增大，则二次函数y=k(x-1)²的图象大致是（）4．抛物线y=13x²向平移个单位得抛物线y=13(x+1)²；抛物线向右平移2个单位得抛物线y=-2(x-2)²。5．已知抛物线y=a(x-h)²的对称轴为x=-2，且过点（1，-3）。（1）求抛物线的解析式；（2）画出函数的大致图象；（3）．从图象上观察，当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，函数有最大值（或最小值）？五、师生互动，课堂小结：这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？【教学反思】通过本节学习使学生认识到y=a(x-h)²的图象是由y=ax²的图象左右平移得到的，初步认识到a，h对y=a(x-h)²位置的影响，a的符号决定抛物线方向，|