2019-2020学年高中数学 第3章 指数函数、对数函数和幂函数 3.2.1 对数（第2课时）对数

-1-第2课时对数的运算性质学习目标核心素养1.掌握对数的运算性质，并能运用运算性质进行对数的有关运算．(重点)2.了解换底公式.3.能用换底公式将一般对数化成自然对数或常用对数解题．(难点)通过学习本节内容，提升学生的数学运算和数学建模的数学核心素养.1．符号表示如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；(2)logaMn＝nlogaM(n∈R)；(3)logaMN＝logaM－logaN.2．文字表述(1)两正数的积的对数等于这两个正数的对数的和；(2)两正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；(3)一个正数的n次幂的对数等于n倍的该数的对数．3．换底公式一般地，我们有logaN＝logcNlogca，(其中a0，a≠1，N0，c0，c≠1)，这个公式称为对数的换底公式．4．与换底公式有关的几个结论(1)logab·logba＝1(a，b0且a，b≠1)；(2)logambn＝nmlogab(a，b0且a，b≠1，m≠0)．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)积、商的对数可以直接化为对数的和、差．()(2)logax·logay＝loga(x＋y)．()(3)loga(－2)4＝4loga(－2)．()-2-[答案](1)×(2)×(3)×[提示]根据对数的运算性质，只有正数积、商的对数才可以直接化为对数的和、差，(1)错误，(2)错误，(3)中－2不能作真数．2．(1)log225－log2254＝________；(2)log28＝________.(1)2(2)3[(1)log225－log2254＝log225×425＝log24＝log222＝2log22＝2.(2)log28＝log223＝3log22＝3.]3．若lg5＝a，lg7＝b，用a，b表示log75＝________.ab[log75＝lg5lg7＝ab.]对数运算性质的应用【例1】计算下列各式的值：(1)lg2＋lg5；(2)log535＋2log122－log5150－log514；(3)[(1－log63)2＋log62·log618]÷log64.思路点拨：根据对数的运算性质，先将式子转化为只含有一种或几种真数的形式再进行计算．[解](1)lg2＋lg5＝lg(2×5)＝lg10＝1.(2)原式＝log535×5014＋2log12212＝log553－1＝2.(3)原式＝[(log66－log63)2＋log62·log6(2·32)]÷log64＝log6632＋log62log62＋log632÷log622＝[(log62)2＋(log62)2＋2log62·log63]÷2log62＝log62＋log63＝log6(2·3)＝1.1．对于同底的对数的化简要用的方法(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成两对数的和(差)．-3-2．注意对数的性质的应用，如loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N.3．化简的式子中有多重对数符号时，应自内向外逐层化简求值．1．计算下列各式的值：(1)12lg3249－43lg8＋lg245；(2)lg25＋23lg8＋lg5×lg20＋(lg2)2；(3)2log32－log3329＋log38－5log53.[解](1)法一：原式＝12(5lg2－2lg7)－43×32lg2＋12(2lg7＋lg5)＝52lg2－lg7－2lg2＋lg7＋12lg5＝12lg2＋12lg5＝12(lg2＋lg5)＝12lg10＝12.法二：原式＝lg427－lg4＋lg75＝lg42×757×4＝lg(2·5)＝lg10＝12.(2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2lg10＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.(3)原式＝2log32－(log332－log39)＋3log32－3＝2log32－5log32＋2＋3log32－3＝－1.【例2】化简：(1)log2(28×82)；(2)用lg2和lg3表示lg24；(3)用logax，logay，logaz表示loga(xy2z－12)．思路点拨：将需表示式子中的真数用已知的式子中的真数表示出来．[解](1)log2(28×82)＝log2[28×(23)2]＝log2(28＋3×2)＝log2214＝14.(2)lg24＝lg(3×8)＝lg3＋lg8＝lg3＋3lg2.(3)loga(xy2z－12)＝logax＋logay2＋logaz－12＝logax＋2logay－12logaz.-4-这类问题一般有两种处理方法一种是将式中真数的积、商、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．要特别注意loga(MN)≠logaM·logaN，loga(M±N)≠logaM±logaN.2．化简：(1)log2(45×82)；(2)log1327－log139；(3)用lgx，lgy，lgz表示lgx2y3z.[解](1)log2(45×82)＝log2(210×26)＝log2216＝16log22＝16×2＝32.(2)log1327－log139＝log13279＝log133＝－1.(3)lgx2y3z＝lgx2＋lgy－lg3z＝2lgx＋12lgy－13lgz.换底公式及其应用【例3】(1)已知3a＝5b＝c，且1a＋1b＝2，则c的值为________．(2)已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z,2x＝py.①求p；②证明：1z－1x＝12y.思路点拨：用换底公式统一底数再求解．(1)15[由3a＝5b＝c，得a＝log3c，b＝log5c，所以1a＝logc3，1b＝logc5.又1a＋1b＝2，所以logc3＋logc5＝2，即logc15＝2，c＝15.](2)[解]①设3x＝4y＝6z＝k(k＞1)，则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k，由2x＝py，得2log3k＝plog4k，-5-解得p＝2log34＝4log32.②证明：1z－1x＝1log6k－1log3k＝logk6－logk3＝logk2，而12y＝12log4k＝12logk4＝logk2.故1z－1x＝12y.1．换底公式即将底数不同的对数转化成底数相同的对数，从而进行化简、计算或证明．换底公式应用时，一般换成以10为底的常用对数，或以e为底的自然对数，但也应该结合已知条件来确定．2．换底公式推导出的两个恒等式：(1)logamNn＝nmlogaN；(2)logab·logba＝1，要注意熟练应用．3．计算：(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258)．对数运算在实际问题中的应用【例4】2015年我国国民生产总值为a亿元，如果年平均增长8%，那么经过多少年，我国国民生产总值是2015年的2倍？(已知lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，lg1.08≈0.0334，精确到1年)思路点拨：认真分析题意，找出其中各量之间的关系，列出式子，并利用对数运算求解．[解]设经过x年，我国国民生产总值是2015年的2倍．经过1年，总产值为a(1＋8%)，经过2年，总产值为a(1＋8%)2，-6-……经过x年，总产值为a(1＋8%)x.由题意得a(1＋8%)x＝2a，即1.08x＝2，两边取常用对数，得lg1.08x＝lg2，则x＝lg2lg1.08≈0.30100.0334≈9(年)．答：约经过9年，国民生产总值是2015年的2倍．解对数应用题的步骤4．2000年我国国内生产总值(GDP)为89442亿元，如果我国的GDP年均增长7.8%左右，按照这个增长速度，在2000年的基础上，经过多少年后，我国GDP才能实现比2000年翻两番的目标？(lg2≈0.3010，lg1.078≈0.0326，结果保留整数)．[解]假设经过x年实现GDP比2000年翻两番的目标，根据题意，得89442×(1＋7.8%)x＝89442×4，即1.078x＝4，故x＝log1.0784＝lg4lg1.078≈18.5.答：约经过19年以后，我国GDP才能实现比2000年翻两番的目标．含对数式的方程的解法[探究问题]1．对数的运算性质有哪些？[提示]loga(MN)＝logaM＋logaN，logaMN＝logaM－logaN，logab＝logcblogca，logaMn＝nlogaM，logambn-7-＝nmlogab.2．解对数方程logaM＝logaN，应注意什么？[提示]M＝N，M0，N0.【例5】已知lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，求log12xy的值．思路点拨：根据对数的运算性质得到x，y的关系式，解方程即可．[解]lgx＋lgy＝lg(xy)＝2lg(x－2y)＝lg(x－2y)2，由题知，xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0，∴xy2－5xy＋4＝0，∴xy－1xy－4＝0，故xy＝1或4.又当x＝y时，x－2y＝－y0，故舍去，∴xy＝4.∴log12xy＝log124＝－2.解含对数式的方程应注意两点(1)对数的运算性质；(2)对数中底数和真数的范围限制．5．解方程：-8-1．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用、逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简．2．运用对数的运算性质应注意：(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质．(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用．(3)在运算过程中避免出现以下错误：①logaNn＝(logaN)n；②loga(MN)＝logaM·logaN；③logaM±logaN＝loga(M±N)．1．如a0，a≠1，x0，y0，则下列式子正确的是()A．logax＋logay＝loga(x＋y)B．logax－logay＝loga(x－y)C．logaxy＝logax÷logayD．loga(xy)＝logax＋logayD[由对数的运算性质知D正确．]2．已知lg2＝a，lg7＝b，那么用a，b表示log898＝________.a＋2b3a[log898＝lg98lg8＝2lg7＋lg23lg2＝a＋2b3a.]3．已知2m＝5n＝10，则1m＋1n＝________.1[因为m＝log210，n＝log510，所以1m＋1n＝lg2＋lg5＝lg10＝1.]4．已知lg(x＋2y)＋lg(x－y)＝lg2＋lgx＋lgy，求xy的值．-9-[解]由已知条件得x＋2y0，x－y0，x0，y0，x＋2yx－y＝2xy，即xy，y0，x＋2yx－y＝2xy，整理得xy，y0，x－2yx＋y＝0，∴x－2y＝0，∴xy＝2.