2019-2020学年高中数学 第3章 指数函数、对数函数和幂函数 3.2.2 对数函数（第1课时）

-1-第1课时对数函数的概念、图象与性质学习目标核心素养1.理解对数函数的概念.2.掌握对数函数的图象和性质．(重点)3.能够运用对数函数的图象和性质解题．(重点)4.了解同底的对数函数与指数函数互为反函数．(难点)通过学习本节内容提升学生的数学运算和直观想象数学的核心素养.1．对数函数的概念一般地，函数y＝logax(a0，a≠1)叫做对数函数，它的定义域是(0，＋∞)．2．对数函数的图象与性质a10a1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R图象过定点(1,0)在(0，＋∞)上是单调增函数在(0，＋∞)上是单调减函数3.反函数对数函数y＝logax(a0且a≠1)和指数函数y＝ax(a0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于y＝x对称．一般地，如果函数y＝f(x)存在反函数，那么它的反函数记作y＝f－1(x)．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对数函数的定义域为R.()(2)y＝log2x2与logx3都不是对数函数．()(3)对数函数的图象一定在y轴右侧．()(4)函数y＝log2x与y＝x2互为反函数．()[答案](1)×(2)√(3)√(4)×-2-2．对数函数f(x)的图象过点(4,2)，则f(8)＝________.3[设f(x)＝logax，则loga4＝2，∴a2＝4，∴a＝2，∴f(8)＝log28＝3.]3．(1)函数f(x)＝lgx＋1x－1的定义域是________．(2)若对数函数y＝log(1－2a)x，x∈(0，＋∞)是增函数，则a的取值范围为________．(3)若g(x)与f(x)＝2x互为反函数，则g(2)＝________.(1){x|x－1且x≠1}(2)(－∞，0)(3)1[(1)x＋10，x－1≠0⇒x－1且x≠1.(2)由题意得1－2a＞1，所以a＜0.(3)f(x)＝2x的反函数为y＝g(x)＝log2x，∴g(2)＝log22＝1.]对数函数的概念【例1】判断下列函数是否是对数函数？并说明理由．①y＝logax2(a＞0，且a≠1)；②y＝log2x－1；③y＝2log8x；④y＝logxa(x＞0，且x≠1)．思路点拨：依据对数函数的定义来判断．[解]①中真数不是自变量x，∴不是对数函数；②中对数式后减1，∴不是对数函数；③中log8x前的系数是2，而不是1，∴不是对数函数；④中底数是自变量x，而不是常数a，∴不是对数函数．一个函数是对数函数，必须是形如y＝logax(a＞0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：(1)系数为1；-3-(2)底数为大于0且不等于1的常数；(3)对数的真数仅有自变量x.1．对数函数f(x)满足f(2)＝2，则f12＝________.－2[设f(x)＝logax(a0且a≠1)，由题知f(2)＝loga2＝2，故a2＝2，∴a＝2或－2(舍)．∴f12＝log212＝－2.]对数函数的定义域问题【例2】求下列函数的定义域：(1)f(x)＝logx－1(x＋2)；(2)f(x)＝－lg1－x；(3)f(x)＝1log2x－1；(4)f(x)＝11－logax＋a(a0且a≠1)．思路点拨：根据对数式中底数、真数的范围，列不等式(组)求解．[解](1)由题知x－10，x－1≠1，x＋20，解得x1且x≠2，∴f(x)的定义域为{x|x1且x≠2}．(2)由－lg1－x≥0，1－x0，得lg1－x≤0，x1⇒1－x≤1，x1⇒0≤x1.∴函数的定义域为[0,1)．(3)由题知log2x－1≠0，x－10⇒x－1≠1，x1，∴x1且x≠2.故f(x)的定义域为{x|x1且x≠2}．(4)1－logax＋a0，x＋a0⇒logax＋alogaa，x－a，①②当a1时，－a－1.-4-由①得x＋aa.∴x0.∴f(x)的定义域为{x|－ax0}．当0a1时，－1－a0.由①得x＋aa.∴x0.∴f(x)的定义域为{x|x0}．故所求f(x)的定义域是：当0a1时，x∈(0，＋∞)；当a1时，x∈(－a,0)．求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调性，有针对性地解不等式.2．(1)函数y＝xln(1－2x)的定义域为________．(2)函数y＝lgx＋12x－1的定义域为________．(1)x0≤x12(2)xx12[(1)由题知x≥0，1－2x0，解得0≤x12，∴定义域为x0≤x12.(2)由题知x＋10，2x－10，解得x12，∴定义域为{x|x12}.]比较对数式的大小[探究问题]1．在同一坐标系中作出y＝log2x，y＝log12x，y＝lgx，y＝log0.1x的图象．观察图象，从底数的大小及相对位置方面来看，可以得出什么结论．-5-[提示]图象如图．结论：对于底数a1的对数函数，在(1，＋∞)区间内，底数越大越靠近x轴；对于底数0a1的对数函数，在(1，＋∞)区间内，底数越小越靠近x轴．2．函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx的图象如图所示，那么a，b，c的大小关系如何？[提示]由图象可知a1，b，c都大于0且小于1，由于y＝logbx的图象在(1，＋∞)上比y＝logcx的图象靠近x轴，所以bc，因此a，b，c的大小关系为0bc1a.3．从以上两个探究，我们能否得出对数函数在第一象限的图象的位置与底数大小的关系．[提示]在第一象限内的对数函数的图象按从左到右的顺序底数依次变大．【例3】(1)比较下列各组数的大小：①log323与log565；②log1.10.7与log1.20.7.(2)已知log12blog12alog12c，比较2b,2a,2c的大小关系．思路点拨：(1)中两小题可以借助对数函数的图象判断大小关系．(2)中可先比较a，b，c的大小关系，再借助指数函数的单调性．[解](1)①∵log323log31＝0，而log565log51＝0，∴log323log565.②法一：∵00.71,1.11.2，∴0log0.71.1log0.71.2.∴1log0.71.11log0.71.2，由换底公式可得log1.10.7log1.20.7.法二：作出y＝log1.1x与y＝log1.2x的图象，如图所示，两图象与x＝0.7相交可知log1.10.7log1.20.7.-6-(2)∵y＝log12x为减函数，且log12blog12alog12c，∴bac.而y＝2x是增函数，∴2b2a2c.比较两个(或多个)对数的大小时，一看底数，底数相同的两个对数可直接利用对数函数的单调性来比较大小，若“底”的范围不明确，则需分两种情况讨论；二看真数，底数不同但真数相同的两个对数可借助于图象，或应用换底公式将其转化为同底的对数来比较大小；三找中间值，底数、真数均不相同的两个对数可选择适当的中间值(如1或0等)来比较．3．比较下列各组数的大小．(1)log33.4，log38.5；(2)log0.13与log0.63；(3)log45与log65；(4)(lgm)1.9与(lgm)2.1(m1)．[解](1)∵底数31，∴y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，于是log33.4log38.5.(2)在同一坐标系内作出y＝log0.1x与y＝log0.6x的图象，如图，可知在(1，＋∞)上，函数y＝log0.1x的图象在函数y＝log0.6x图象的上方，故log0.13log0.63.(3)∵log45log44＝1，log65log66＝1，∴log45log65.(4)①当0lgm1，即1m10时，y＝(lgm)x在R上是减函数，∴(lgm)1.9(lgm)2.1；②当lgm＝1，即m＝10时，(lgm)1.9＝(lgm)2.1；③当lgm1，即m10时，y＝(lgm)x在R上是增函数，∴(lgm)1.9(lgm)2.1.-7-1．判断一个函数是不是对数函数，关键是分析所给函数是否具有y＝logax(a0，且a≠1)这种形式．2．在对数函数y＝logax中，底数a对其图象直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质．3．涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析．1．下列函数是对数函数的是()A．y＝loga(2x)B．y＝log22xC．y＝log2x＋1D．y＝lgx.D[根据对数函数的定义，只有D是对数函数．]2．函数y＝lnx的单调增区间是________________，反函数是____________．(0，＋∞)y＝ex[y＝lnx的底为e1，故y＝lnx在(0，＋∞)上单调递增，其反函数为y＝ex.]3．函数y＝loga(2x－3)＋1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．(2,1)[函数可化为y－1＝loga(2x－3)，可令2x－3＝1，y－1＝0，解得x＝2，y＝1，即P(2,1)．]4．求下列函数的定义域：(1)y＝1log33x＋2；(2)y＝log(2x－1)(－4x＋8)；(3)y＝log12x－2.[解](1)由题知3x＋20，log33x＋2≠0，即3x－2，3x＋2≠1⇒x－23且x≠－13.所以定义域为xx－23且x≠－13.(2)由题意得－4x＋80，2x－10，2x－1≠1，解得x2，x12，x≠1.所以y＝log(2x－1)(－4x＋8)的定义域为{x|12x2，且x≠1}.-8-(3)由题知log12x－2≥0，x－20，即0x－2≤1，所以2x≤3，故定义域为{x|2x≤3}．