2019-2020学年高中数学 第3章 指数函数、对数函数和幂函数 3.3 幂函数讲义 苏教版必修1

-1-3.3幂函数学习目标核心素养1.了解幂函数的概念，会画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x12的图象．(重点)2．能根据幂函数的图象，了解幂函数的性质．(难点)3．会用几个常见的幂函数性质比较大小．(重点、难点)通过学习本节内容提升学生的数学抽象和逻辑推理的数学核心素养.1．幂函数的概念一般地，我们把形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．2．幂函数的图象和性质y＝xy＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1定义域RRR[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)值域R[0，＋∞)R[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在(－∞，＋∞)上单调递增在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，＋∞)上单调递增在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减定点(1,1)，(0,0)(1,1)，(0,0)(1,1)，(0,0)(1,1)，(0,0)(1,1)1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)幂函数的图象不经过第四象限．()(2)幂函数的图象必过(0,0)和(1,1)这两点．()(3)指数函数y＝ax的定义域为R，与底数a无关，幂函数y＝xα的定义域为R，与指数也无关．()-2-[答案](1)√(2)×(3)×[提示](1)由幂函数的一般式y＝xα(α为常数)及图象可知，当x0时，y0，即图象不经过第四象限．(2)y＝x－1不经过(0,0)点，故错误．(3)y＝x12，定义域为[0，＋∞)，与指数有关，故错误．2．若y＝mxα＋(2n－4)是幂函数，则m＋n＝________.3[由题意得m＝1，2n－4＝0，所以m＝1，n＝2，m＋n＝3.]3．已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点(2,8)，则f(－2)＝________.－8[8＝2α，所以α＝3，所以f(x)＝x3，f(－2)＝(－2)3＝－8.]幂函数的概念【例1】已知y＝(m2＋2m－2)x1m2－1＋2n－3是幂函数，求m，n的值．思路点拨：由幂函数的定义列式求解．[解]由题意得m2＋2m－2＝1，m2－1≠0，2n－3＝0，解得m＝－3，n＝32，∴m＝－3，n＝32为所求．1．幂函数y＝xα要满足三个特征(1)幂xα前系数为1；(2)底数只能是自变量x，指数是常数；(3)项数只有一项．2．求幂函数解析式时常用待定系数法，即设解析式为f(x)＝xα，根据条件求出α.1．下列函数是幂函数的有________．(填序号)-3-①y＝x2x；②y＝2x2；③y＝x2；④y＝x2＋1；⑤y＝－1x；⑥y＝x23.③⑥[根据幂函数的定义，只有③⑥符合题意．]2．已知幂函数f(x)＝xα的图象经过2，22，则f(100)＝________.110[由题知2α＝22＝2－12，∴α＝－12.∴f(x)＝x－12，∴f(100)＝100－12＝1100＝110.]比较大小【例2】比较下列各组数中两个数的大小：(1)1312与1412；(2)－23－1与－35－1；(3)0.25－14与6.2514；(4)0.20.6与0.30.4.思路点拨：可以借助幂函数的单调性或中间量进行比较．[解](1)∵y＝x12是[0，＋∞)上的增函数，且1314，∴13121412.(2)∵y＝x－1是(－∞，0)上的减函数，且－23－35，∴－23－1－35－1.(3)0.25－14＝14－14＝212，6.2514＝2.512.∵y＝x12是[0，＋∞)上的增函数，且22.5，-4-∴2122.512，即0.25－146.2514.(4)由幂函数的单调性，知0.20.60.30.6，又y＝0.3x是减函数，∴0.30.40.30.6，从而0.20.60.30.4.比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数：(1)若指数相同而底数不同，则构造幂函数；(2)若指数不同而底数相同，则构造指数函数；(3)若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数或底数化为相同，是否可以引入中间量．3．比较下列各组中两个数的大小：(1)3－52，3.1－52；(2)a1.5，(a＋1)1.5(a＞0)；(3)(－0.88)53，(－0.89)53.[解](1)因为函数y＝x－52在(0，＋∞)内是减函数，所以3－52＞3.1－52.(2)函数y＝x1.5在(0，＋∞)内是增函数，又a＞0，a＋1＞a，所以(a＋1)1.5＞a1.5.(3)函数y＝x53在R上为增函数，所以(－0.88)53＞(－0.89)53.幂函数的图象与性质[探究问题]1．做幂函数y＝x23的图象应该怎么做？[提示]①因为0231，故函数y＝x23在第一象限内是单调递增的，并且在(0,1)上应在y＝x的上方，在(1，＋∞)上应在y＝x的下方．-5-②函数的定义域为R，且为偶函数，故将y轴右侧的图象关于y轴对称到y轴左侧，即得到y＝x23的图象(略)．2．从上述过程能否归纳出作幂函数y＝xα的图象的步骤？[提示]①先看α，按α0,0α1，α1来分类(α＝0，α＝1两种特殊情况可直接作图)，并确定在第一象限的图象的形状．②再看定义域以及函数的奇偶性，结合奇偶性利用图象变换得到函数在y轴左侧的图象．3．作出y＝x－13的图象(草图)，并说明若x－13y－13时，x，y与0的大小关系有多少种？[提示]y＝x－13在第一象限内的图象单调递减，且为奇函数，草图如下，从图象可以看出，若x－13y－13，则有以下情况①0xy；②xy0；③x0y.【例3】已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a＋1)－m3(3－2a)－m3的a的取值范围．思路点拨：据题中条件→列出不等式组→求出m→利用幂函数的单调性→对底数分类讨论→得a[解]∵函数在(0，＋∞)上递减，∴3m－90，解得m3.又m∈N*，∴m＝1,2.又函数图象关于y轴对称，∴3m－9为偶数，故m＝1.∴有(a＋1)－13(3－2a)－13.∵y＝x－13在(－∞，0)，(0，＋∞)上均递减，∴a＋13－2a0或0a＋13－2a，或a＋103－2a，解得23a32或a－1.所以a的取值范围为(－∞，－1)∪23，32-6-1．本题在解答过程中易出现忽略对底数的分类讨论而产生漏解．2．求解此类题目的关键是弄清幂函数的概念及幂函数的性质．解决此类问题可分为两大步：第一步，利用单调性或奇偶性(图象对称性)求出m的值或范围；第二步，利用分类讨论的思想，结合函数的图象求出参数a的取值范围．4.已知x2x13，则x的取值范围是______．(－∞，0)∪(1，＋∞)[作出函数y＝x2和y＝x13的图象(如图所示)，易得x0或x1.]1．幂函数y＝xα的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，底数是常数，指数是自变量．2．幂函数图象在第一象限内随指数变化而变化的规律在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．3．简单幂函数的性质(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)＝1.(2)如果α0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数．(3)如果α0，幂函数在x＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数．1．下列所给出的函数中，是幂函数的是()A．y＝x－3B．y＝－x3C．y＝2x3D．y＝x3－1.A[幂函数是形如y＝xα的函数，观察四个函数只有A中函数是幂函数．]2．已知幂函数y＝xα的图象过点(2，2)，则f(4)的值是_____．2[将点(2，2)代入幂函数可得f(2)＝2α＝2，解得α＝12，即幂函数为f(x)＝x12，-7-可得f(4)＝412＝2.]3．下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是________．(填序号)(1)y＝x12；(2)y＝x4；(3)y＝x－1；(4)y＝x3.(2)[(1)为非奇非偶函数，(3)为不过(0,0)的奇函数，(4)为奇函数，只有(2)符合题意．]4．设a＝2323，b＝2313，c＝2523，比较a，b，c的大小关系．[解]∵f(x)＝23x在R上为减函数，∴23232313，即ab，∵f(x)＝x23在(0，＋∞)上为增函数，∴23232523，即ac，所以bac.