2019-2020学年高中数学 第2章 数列 2.2.1 等差数列的概念 2.2.2 等差数列的通项

-1-第2课时等差数列的性质学习目标核心素养1.掌握等差数列的有关性质．(重点、易错点)2．能灵活运用等差数列的性质解决问题．(难点)1.通过等差数列性质的学习，体现了数学运算素养．2．借助等差数列的实际应用，培养学生的数学建模及数学运算素养.1．等差数列与一次函数(1)等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，当d＝0时，an是关于n的常函数；当d≠0时，an是关于n的一次函数；点(n，an)分布在以d为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点．(2)等差数列通项公式的推广：在等差数列{an}中，已知a1，d，am，an(m≠n)，则d＝an－a1n－1＝an－amn－m，从而有an＝am＋(n－m)d.思考1：已知等差数列中任意两项是否可以直接求公差？[提示]等差数列{an}的图象是均匀分布在一条直线上的孤立的点，任选其中两点(n，an)(m，am)(m≠n)，类比直线的斜率公式可知公差d＝an－amn－m.2．等差中项如果a，A，b这三个数成等差数列，那么A＝a＋b2.我们把A＝a＋b2叫做a和b的等差中项．3．等差数列的性质(1)项的运算性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.(2)等差数列的项的对称性在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝….(3)若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有-2-数列结论{c＋an}公差为d的等差数列(c为任一常数){c·an}公差为cd的等差数列(c为任一常数){an＋an＋k}公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*){pan＋qbn}公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)(4){an}的公差为d，则d0⇔{an}为递增数列；d0⇔{an}为递减数列；d＝0⇔{an}为常数列．思考2：等差数列{an}中，若a5＝7，a9＝19，则a2＋a12＝________，a7＝________.[提示]∵a2＋a12＝2a7＝a5＋a9＝26，∴a2＋a12＝26，a7＝13.思考3：还记得高斯怎么计算1＋2＋3＋…＋100的吗？[提示]利用1＋100＝2＋99＝….1．在等差数列{an}中，a3＋a5＝10，则a1＋a7等于()A．5B．8C．10D．14C[a1＋a7＝a3＋a5＝10.]2．等差数列{an}中，a100＝120，a90＝100，则公差d等于()A．2B．20C．100D．不确定A[∵a100－a90＝10d，∴10d＝20，即d＝2.]3．在等差数列{an}中，若a5＝6，a8＝15，则a14＝________.33[由题意得d＝a8－a58－5＝15－68－5＝3.∴a14＝a8＋6d＝15＋18＝33.]4．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12＝________.15[由等差数列的性质得a7＋a9＝a4＋a12＝16，又∵a4＝1，∴a12＝15.]等差中项及其应用【例1】已知数列{xn}的首项x1＝3，通项xn＝2np＋nq(n∈N*，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列．求p，q的值．思路探究：由x1，x4，x5成等差数列得出一个关于p，q的等式，结合x1＝3推出2p＋q＝-3-3，从而得p，q.[解]由x1＝3，得2p＋q＝3，①又x4＝24p＋4q，x5＝25p＋5q，且x1＋x5＝2x4得，3＋25p＋5q＝25p＋8q，②由①②得，q＝1，p＝1.在等差数列{an}中，由定义有an＋1－an＝an－an－1n≥2，n∈N*，即an＝an＋1＋an－12，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项.1．在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列．[解](1)∵－1，a，b，c,7成等差数列，∴b是－1与7的等差中项，∴b＝－1＋72＝3.又a是－1与3的等差中项，∴a＝－1＋32＝1.又c是3与7的等差中项，∴c＝3＋72＝5，∴该数列为－1,1,3,5,7.等差数列的性质及应用【例2】(1)等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，求2a9－a10的值；(2)数列{an}为等差数列，已知a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，求数列{an}的通项公式；(3)在等差数列{an}中，a15＝8，a60＝20，求a75的值．思路探究：(1)利用等差中项求解；(2)利用m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq求解；(3)利用d＝am－anm－n求解．[解](1)由等差数列的性质，得a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，∴a8＝24，又2a9＝a8＋a10，-4-∴2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24.(2)∵a2＋a8＝2a5，∴3a5＝9，∴a5＝3，∴a2＋a8＝a3＋a7＝6，①又a3a5a7＝－21，∴a3a7＝－7.②由①②解得a3＝－1，a7＝7或a3＝7，a7＝－1.∴a3＝－1，d＝2，或a3＝7，d＝－2.由通项公式的变形公式an＝a3＋(n－3)d，得an＝2n－7或an＝－2n＋13.(3)∵a60＝a15＋(60－15)d，∴d＝20－860－15＝415，∴a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×415＝24.解决本类问题一般有两种方法一是运用等差数列{an}的性质：若m＋n＝p＋q＝2w，则am＋an＝ap＋aq＝2awm，n，p，q，w都是正整数；二是利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算，属于通性通法，两种方法都运用了整体代换与方程的思想.提醒：递增等差数列d0，递减等差数列d0，解题时要注意数列的单调性对d的取值的限制.2．已知等差数列{an}，满足a2＋a3＋a4＝18，a2a3a4＝66，求a2，a3，a4.[解]∵{an}为等差数列，∴2a3＝a2＋a4，∴3a3＝18，∴a3＝6，设公差为d，则(6－d)×6×(6＋d)＝66，∴d2＝25，∴d＝±5，∴a2＝1，a4＝11或a2＝11，a4＝1.-5-等差数列的设法与求解[探究问题]1．若三个数成等差数列，如何设这三个数使计算较为方便？[提示]设等差中项为a，公差为d，则这三个数分别为a－d，a，a＋d，这样计算较为方便．2．若四个数成等差数列，如何设这四个数使计算较为方便？[提示]设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，计算较为方便．【例3】已知三个数组成等差数列，首末两项之积为中项的5倍，后两项的和为第一项的8倍，求此三个数．思路探究：根据这三个数成等差数列，可设这三个数为x－d，x，x＋d.[解]设此三个数分别为x－d，x，x＋d，由题意得x－dx＋d＝5x，x＋x＋d＝8x－d，解得x＝0，d＝0或x＝9，d＝6，故此三数分别为0,0,0或3,9,15.(变条件)本例条件改为：三个数成单调递增等差数列，它们的和等于18，它们的平方和等于116，求此数列．[解]设所求数列为a－d，a，a＋d(d0)，根据题意得到方程组a－d＋a＋a＋d＝18，①a－d2＋a2＋a＋d2＝116，②由①得a＝6.将a＝6代入②，得d＝2，d＝－2(舍)．所以所求数列为4,6,8.设等差数列的三个技巧1对于连续奇数项的等差数列，可设为：…，x－d，x，x＋d，…，此时公差为d.2对于连续偶数项的等差数列，通常可设为：…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，此时公差为2d.3等差数列的通项可设为an＝pn＋q.-6-1．在等差数列{an}中，每隔相同数目的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．2．在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可根据a1，d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．1．判断正误(1)若{an}是等差数列，则{|an|}也是等差数列．()(2)若{|an|}是等差数列，则{an}也是等差数列．()(3)若{an}是等差数列，则对任意n∈N*都有2an＋1＝an＋an＋2.()(4)数列{an}的通项公式为an＝3n＋5，则数列{an}的公差与函数y＝3x＋5的图象的斜率相等．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√[提示](1)错误，如－2，－1,0,1,2是等差数列，但其绝对值就不是等差数列．(2)错误，如数列－1,2，－3,4，－5其绝对值为等差数列，但其本身不是等差数列．(3)正确，根据等差数列的通项可判定对任意n∈N*都有2an＋1＝an＋an＋2成立．(4)正确．因为an＝3n＋5的公差d＝3，而直线y＝3x＋5的斜率也是3.2．在等差数列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，则3a9－a13的值为()A．20B．30C．40D．50C[∵a3＋a11＝a5＋a9＝2a7，∴a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝100，∴a7＝20.∴3a9－a13＝3(a7＋2d)－(a7＋6d)＝2a7＝40.]3．已知数列{an}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77且ak＝13，则k＝________.18[∵a4＋a7＋a10＝3a7＝17，∴a7＝173.又∵a4＋a5＋…＋a13＋a14＝11a9＝77，∴a9＝7.故d＝a9－a79－7＝7－1732＝23.-7-∵ak＝a9＋(k－9)d＝13，∴13－7＝(k－9)×23，∴k＝18.]4．(1)已知{an}是等差数列，且a1－a4＋a8－a12＋a15＝2，求a3＋a13的值．(2)已知在等差数列{an}中，若a49＝80，a59＝100，求a79.[解](1)因为{an}是等差数列，所以a1＋a15＝a4＋a12＝a3＋a13＝2a8.又因为a1－a4＋a8－a12＋a15＝2，所以a8＝2，即a3＋a13＝2a8＝2×2＝4.(2)因为{an}是等差数列，可设公差为d.由a59＝a49＋10d，知10d＝100－80，解得d＝2.又因为a79＝a59＋20d，所以a79＝100＋20×2＝140.