2019-2020学年高中数学 第1章 三角函数 1.3.1 三角函数的周期性讲义 苏教版必修4

-1-1.3.1三角函数的周期性学习目标核心素养(教师独具)1.理解周期函数的定义．(难点)2.知道正弦函数、余弦函数的最小正周期．(重点)3.会求函数y＝sin(ωx＋φ)和y＝cos(ωx＋φ)的周期．(重点)通过学习本节内容提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养.一、周期函数的定义1．周期函数的定义：一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．2．最小正周期：对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期．3．正弦函数、余弦函数的周期：正弦函数和余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，它们的最小正周期都是2π.思考1：单摆运动、时钟的圆周运动、四季变化等，都具有周期性变化的规律，对于正弦、余弦函数是否也具有周期性？请说明你的理由．[提示]由单位圆中的三角函数线可知，正弦、余弦函数值的变化呈现出周期现象．每当角增加(或减少)2π，所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正弦、余弦函数值也分别相同．即有sin(2π＋x)＝sinx．故正弦函数、余弦函数也具有周期性．思考2：所有的周期函数都有最小正周期吗？[提示]并不是所有的周期函数都有最小正周期，譬如，常数函数f(x)＝C，任一个正实数都是它的周期，因而不存在最小正周期．二、正、余弦函数的周期函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期：一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T＝2πω.思考3：6π是函数y＝sinx(x∈R)的一个周期吗？-2-[提示]是．1．思考辨析(1)周期函数都一定有最小正周期．()(2)周期函数的周期只有唯一一个．()(3)周期函数的周期可以有无数多个．()[答案](1)×(2)×(3)√2．函数y＝3sinπx＋π4的周期是________．2[T＝2ππ＝2.]3．函数f(x)＝－2cos(4x＋30°)的周期是________．π2[T＝2π4＝π2.]求三角函数的周期【例1】求下列函数的最小正周期．(1)f(x)＝2sinx3＋π3；(2)f(x)＝2cos－3x＋π4；(3)y＝|sinx|；(4)f(x)＝－2cos2ax＋π4(a≠0)．思路点拨：利用周期函数的定义或直接利用周期公式求解．[解](1)T＝2π13＝6π，∴最小正周期为6π.(2)T＝2π|－3|＝23π，∴最小正周期为2π3.(3)由y＝sinx的周期为2π，可猜想y＝|sinx|的周期应为π.验证：∵|sin(x＋π)|＝|－sinx|＝|sinx|，∴由周期函数的定义知y＝|sinx|的最小正周期是π.(4)T＝2π|2a|＝π|a|，∴最小正周期为π|a|.-3-利用公式求y＝Asinωx＋φ或y＝Acosωx＋φ的最小正周期时，要注意ω的正负，公式可记为T＝2π|ω|.已知f(x)＝cosωx－π6的最小正周期为π5，则ω＝______.±10[由题意可知2π|ω|＝π5，ω＝±10.]周期性的应用[探究问题]1．若函数f(x)满足f(x＋a)＝1fx(f(x)≠0，a＞0)，则f(x)是否是周期函数？若是，求其最小正周期．提示：∵f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝1fx＋a＝11fx＝f(x)，∴T＝2a，即f(x)是周期函数，且最小正周期为2a.2．若f(x)满足f(x＋a)＝－f(x)(a＞0)，则f(x)是周期函数吗？若是，求其最小正周期．提示：∵f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴f(x)的周期为2a.【例2】定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈0，π2时，f(x)＝sinx，求f5π3的值．思路点拨：f5π3――→T＝π只需求f－π3――→偶函数只需求fπ3[解]∵f(x)的最小正周期是π，∴f5π3＝f5π3－2π＝f－π3.∵f(x)是R上的偶函数，-4-∴f－π3＝fπ3＝sinπ3＝32，∴f5π3＝32.1．(变条件)将本例中的条件“偶函数”改为“奇函数”，其余不变，求f5π3的值．[解]∵f(x)的最小正周期为π，∴f5π3＝f5π3－2π＝f－π3，∵f(x)是R上的奇函数，∴f－π3＝－fπ3＝－sinπ3＝－32，∴f5π3＝－32.2．(变结论)本例条件不变，求f－19π6的值．[解]∵f(x)的最小正周期为π，∴f－19π6＝f－3π－π6＝f－π6，∵f(x)是R上的偶函数，∴f－π6＝fπ6＝sinπ6＝12.∴f－19π6＝12.函数的周期性与其它性质相结合是一类热点问题，一般在条件中，周期性起到变量值转化作用，也就是将所求函数值转化为已知求解.教师独具1．本节课重点是理解三角函数的周期性，难点是求正弦函数、余弦函数的周期．本节课重点掌握求三角函数周期的方法2．(1)定义法，即利用周期函数的定义求解．(2)公式法，对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝2π|ω|.(3)观察法，即通过观察函数图象求其周期．三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当的方法求解.-5-1．函数y＝3sin2x＋π4的最小正周期为()A.π4B.π2C．πD．2πC[T＝2π2＝π.]2．若函数y＝cosωx－π6(ω＞0)的最小正周期是π，则ω＝________.2[T＝2π|ω|＝π，ω＝±2.∵ω＞0，∴ω＝2.]3．若f(x)是以2为周期的函数，且f(2)＝2，则f(4)＝________.2[f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＝2.]4．若f(x)是以π2为周期的奇函数，且fπ3＝1，求f－5π6的值．[解]∵f(x)是以π2为周期的奇函数，∴f－5π6＝－f5π6＝－fπ－π6＝－f－π6＝fπ6＝fπ2－π3＝－fπ3，又∵fπ3＝1，∴f－5π6＝－fπ3＝－1.