2019-2020学年高中数学 第2章 平面向量章末复习课讲义 苏教版必修4

-1-第2章平面向量向量的线性运算如图所示，在△ABC中，点M为AB的中点，且AN→＝12NC→，BN→与CM→相交于点E，设AB→＝a，AC→＝b，试以a，b为基底表示AE→.思路点拨：先由C，E，M三点共线⇒AE→＝μAM→＋(1－μ)AC→，由B，E，N三点共线⇒AE→＝λAN→＋(1－λ)AB→，再由AB→，AC→不共线求λ，μ的值．[解]∵AN→＝13AC→＝13b，AM→＝12AB→＝12a，由N，E，B三点共线知存在实数λ满足AE→＝λAN→＋(1－λ)AB→＝13λb＋(1－λ)a.-2-由C，E，M三点共线知存在实数μ满足AE→＝μAM→＋(1－μ)AC→＝μ2a＋(1－μ)b.∴1－λ＝μ2，1－μ＝λ3，解得λ＝35，μ＝45，∴AE→＝25a＋15b.向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线、共点问题.1．经过△OAB重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设OP→＝mOA→，OQ→＝nOB→，m，n∈R，求1n＋1m的值．[解]设OA→＝a，OB→＝b，则OG→＝13(a＋b)，PQ→＝OQ→－OP→＝nb－ma，PG→＝OG→－OP→＝13(a＋b)－ma＝13－ma＋13b.由P，G，Q共线得，存在实数λ使得PQ→＝λPG→，即nb－ma＝λ13－ma＋13λb，则－m＝λ13－m，n＝13λ，消去λ，得1n＋1m＝3.向量的数量积运算设向量OA→＝a，OB→＝b，且|OA→|＝|OB→|＝4，∠AOB＝60°.(1)求|a＋b|，|a－b|；(2)求a＋b与a的夹角θ1，a－b与a的夹角θ2.思路点拨：利用|a±b|＝a±b2求解；利用cosθ＝a·b|a||b|求夹角．[解](1)∵|a＋b|2＝(a＋b)(a＋b)＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝16＋2×4×4cos60°＋16＝-3-48，∴|a＋b|＝43，∴|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝16，∴|a－b|＝4.(2)∵(a＋b)·a＝|a|2＋a·b＝16＋4×4cos60°＝24，∴cosθ1＝a＋b·a|a＋b||a|＝2443×4＝32.∵θ∈[0°，180°]，∴θ1＝30°.∵(a－b)·a＝|a|2－a·b＝16－4×4cos60°＝8，∴cosθ2＝a－b·a|a－b||a|＝84×4＝12.∵θ2∈[0°，180°]，∴θ2＝60°.1．数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义．2．可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中已知向量的模和夹角进行计算．2．已知c＝ma＋nb，c＝(－23，2)，a⊥c，b与c的夹角为2π3，b·c＝－4，|a|＝22，求实数m，n的值及a与b的夹角．[解]∵c＝(－23，2)，∴|c|＝4，又a⊥c，∴a·c＝0.∵b·c＝|b||c|cos2π3＝|b|×4×－12＝－4，∴|b|＝2.又c＝ma＋nb，∴c2＝ma·c＋n·b·c，∴16＝－4n，∴n＝－4.又a·c＝ma2＋na·b，∴0＝8m－4a·b.①又b·c＝ma·b＋n·b2，∴ma·b＝12.②由①②得m＝±6，∴a·b＝±26，设a与b的夹角为θ，则cosθ＝±2622×2＝±32，∵θ∈[0，π]∴θ＝π6或5π6.向量的应用-4-如图，在等腰直角△ABC中，角C是直角，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB，求证：AD⊥CE.思路点拨：欲证AD⊥CE，即证AD→·CE→＝0.由于已有CA→·CB→＝0，故考虑选此两向量为基底，从而应用此已知条件．另外，如果进一步考虑到此组基底是垂直关系，还可以建立直角坐标系．[解]法一：记CA→＝a，CB→＝b，则AB→＝b－a，且a·b＝0，|a|＝|b|.因为AD→＝CD→－CA→＝12b－a，CE→＝AE→－AC→＝23(b－a)＋a＝23b＋13a，所以AD→·CE→＝12b－a·23b＋13a＝13b2－13a2＝0.可得AD⊥CE.法二：建立如图所示的直角坐标系，不妨设AC＝BC＝2，则C(0,0)，A(2,0)，B(0,2)，因为D是CB的中点，则D(0,1)．所以AD→＝(－2,1)，AB→＝(－2,2)．又CE→＝CA→＋AE→＝CA→＋23AB→＝(2,0)＋23(－2,2)＝23，43，所以AD→·CE→＝(－2,1)·23，43＝(－2)×23＋43＝0，因此AD⊥CE.把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而解决问题.这样的解题方法具有普遍性.3.如图，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力G的物体，绳子与铅垂线方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1，求：(1)|F1|，|F2|随角θ的变化而变化的情况．(2)当|F1|≤2|G|时，θ角的取值范围．(3)当|F1|＝2|F2|时，求角θ的值．[解](1)由力的平衡原理知，G＋F1＋F2＝0，作向量OA→＝F1，OB→＝-5-F2，OC→＝－G，则OA→＋OB→＝OC→，∴四边形OACB为平行四边形，如图．由已知∠AOC＝θ，∠BOC＝π2，∴|OA→|＝|OC→|cosθ，|OB→|＝|AC→|＝|OC→|tanθ，即|F1|＝|G|cosθ，|F2|＝|G|tanθ，θ∈0，π2.由此可知，当θ从0°逐渐增大趋向于π2时，|F1|，|F2|都逐渐增大．(2)当|F1|≤2|G|时，有|G|cosθ≤2|G|，∴cosθ≥12，又θ∈0，π2.∴θ∈0，π3.(3)当|F1|＝2|F2|时，|G|cosθ＝2|G|tanθ，∴1cosθ＝2sinθcosθ，∴sinθ＝12.∴θ＝π6.数形结合思想【例4】已知向量OB→＝(2,0)，OC→＝(2,2)，CA→＝(2cosα，2sinα)，则OA→与OB→夹角的范围是________．思路点拨：结合CA→的坐标给出点A的轨迹，并由直线与圆的知识求OA→与OB→夹角的范围．π12，5π12[建立如图所示的直角坐标系．∵OC→＝(2,2)，OB→＝(2,0)，CA→＝(2cosα，2sinα)，∴点A的轨迹是以C(2,2)为圆心，2为半径的圆．过原点O作此圆的切线，切点分别为M，N，连结CM，CN，如图所示，则向量OA→与OB→的夹角范围是∠MOB≤〈OA→，OB→〉≤∠NOB.∵|OC→|＝22，∴|CM→|＝|CN→|＝12|OC→|，知∠COM＝∠CON＝π6，但∠COB＝π4.-6-∴∠MOB＝π12，∠NOB＝5π12，故π12≤〈OA→，OB→〉≤5π12.]平面向量的线性运算和数量积运算的定义及运算法则、运算律的推导中都渗透了数形结合思想.引入向量的坐标表示，使向量运算代数化，将“数”和“形”紧密地结合起来.运用数形结合思想可解决共线、平行、垂直、夹角、距离、面积等问题.4．已知船在静水中的速度大小为5m/s，且船在静水中的速度大小大于水流速度大小，河宽为20m，船垂直到达对岸用的时间为5s，则水流速度大小为________m/s.3[设船在静水中的速度为v1，水流速度为v2，船的实际速度为v3，建立如图所示的平面直角坐标系．|v1|＝5m/s，|v3|＝205＝4m/s，则v3＝(0,4)，v1＝(－3,4)，v2＝v3－v1＝(0,4)－(－3,4)＝(3,0)．∴|v2|＝3m/s，即水流的速度大小为3m/s.]