2019-2020学年高中数学 第1章 计数原理 1.5.2 二项式系数的性质及应用讲义 苏教版选修

-1-1.5.2二项式系数的性质及应用学习目标核心素养1.掌握二项式定理展开式中系数的规律，明确二项式系数与各项系数的区别．(重点)2．借助“杨辉三角”数表，掌握二项式系数的对称性、增减性与最大值．(难点)借助杨辉三角研究二项式系数的性质，提升数学抽象、直观想象及逻辑推理素养.1．杨辉三角的特点(1)每一行中的二项式系数是“对称”的，即第1项与最后一项的二项式系数相等，第2项与倒数第2项的二项式系数相等，…….(2)图中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和．(3)图中每行的二项式系数从两端向中间逐渐增大．(4)第1行为1＝20，第2行的两数之和为2，第3行的三数之和为22，……，第7行的各数之和为26(如图)．2．二项式系数的性质(a＋b)n展开式的二项式系数C0n，C1n，…，Cnn有如下性质：(1)Cmn＝Cn－mn；(2)Cmn＋Cm－1n＝Cmn＋1；(3)当rn－12时，CrnCr＋1n；当rn－12时，Cr＋1nCrn；(4)C0n＋C1n＋…＋Cnn＝2n.思考1：杨辉三角的第n行数字规律与二项展开式有何联系？[提示]杨辉三角的第n行数字规律是二项式(a＋b)n展开式的二项式系数，即(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b1＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnnbn.-2-思考2：二项展开式中系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项)，这种说法对吗？[提示]错误．二项展开式中项的系数与二项式系数是不同的，二项式系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项)，但是项的系数的最大值与项其他数字因数的大小有关．1．已知(a＋b)n展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于()A．11B．10C．9D．8D[因为只有第5项的二项式系数最大，所以n2＋1＝5，所以n＝8.]2．如图，由二项式系数构成的杨辉三角中，第______行从左到右第14与第15个数之比为2∶3.111121133114641……34[设第n行从左到右第14与第15个数之比为2∶3，则3C13n＝2C14n，即3n！13！n－13！＝2n！14！n－14！，解得n＝34.]3．已知(ax＋1)n的展开式中，二项式系数和为32，则n等于________．5[二项式系数之和为C0n＋C1n＋…＋Cnn＝2n＝32，所以n＝5.]与“杨辉三角”有关的问题【例1】如图，在“杨辉三角”中斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，….记其前-3-n项和为Sn，求S19的值．[思路探究]由图知，数列中的首项是C22，第2项是C12，第3项是C23，第4项是C13，…，第17项是C210，第18项是C110，第19项是C211.[解]S19＝(C22＋C12)＋(C23＋C13)＋(C24＋C14)＋…＋(C210＋C110)＋C211＝(C12＋C13＋C14＋…＋C110)＋(C22＋C23＋…＋C210＋C211)＝(2＋3＋4＋…＋10)＋C312＝2＋10×92＋220＝274.“杨辉三角”问题解决的一般方法观察—分析；试验—猜想；结论—证明，要得到杨辉三角中蕴含的诸多规律，取决于我们的观察能力，观察能力有：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察．如表所示：1．如图所示，满足如下条件：①第n行首尾两数均为n；②表中的递推关系类似“杨辉三角”．则第10行的第2个数是________，第n行的第2个数是________．46n2－n＋22[由图表可知第10行的第2个数为：(1＋2＋3＋…＋9)＋1＝46，第n行的第2个数为：[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋1＝nn－12＋1＝n2－n＋22.]-4-二项式系数和的问题【例2】在二项式(2x－3y)9的展开式中，求：(1)二项式系数之和．(2)各项系数之和．(3)所有奇数项系数之和．[解]设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.(1)二项式系数之和为C09＋C19＋C29＋…＋C99＝29.(2)各项系数之和为a0＋a1＋a2＋…＋a9，令x＝1，y＝1，所以a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1.(3)令x＝1，y＝－1，可得a0－a1＋a2－…－a9＝59，又a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，将两式相加可得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝59－12，即所有奇数项系数之和为59－12.1．(改变问法)典例中条件不变，问法改为求系数绝对值的和．[解]法一：|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，令x＝1，y＝－1，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝59.法二：|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|，即为(2x＋3y)9展开式中各项系数之和，令x＝1，y＝1得，|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝59.2．(变换条件、改变问法)将本例二项式改为(2x＋3y)n，其展开式中各项的系数之和为515，试求展开式二项式系数的和．[解]设(2x＋3y)n＝a0xn＋a1xn－1y＋a2xn－2y2＋…＋anyn.令x＝1，y＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋an＝(2＋3)n＝5n＝515，解得n＝15，展开式二项式系数的和为C015＋C115＋C215＋…＋C1515＝215.1．解决二项式系数和问题思维流程2．“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项系数之和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．二项式系数性质的综合应用[探究问题]-5-1．根据杨辉三角的特点，在杨辉三角同一行中与两个1等距离的项的系数相等，你可以得到二项式系数的什么性质？[提示]对称性，因为Cmn＝Cn－mn，也可以从f(r)＝Crn的图象中得到．2．计算CknCk－1n，并说明你得到的结论．[提示]CknCk－1n＝n－k＋1k.当kn＋12时，CknCk－1n1，说明二项式系数逐渐增大；同理，当kn＋12时，二项式系数逐渐减小．3．二项式系数何时取得最大值？[提示]当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项，相等，且同时取得最大值．【例3】已知f(x)＝(3x2＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．[思路探究]求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将x，y的系数均考虑进去，包括“＋”“－”号．[解]令x＝1，则二项式各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n－2n＝992.∴(2n)2－2n－992＝0，∴(2n＋31)(2n－32)＝0，∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，∴n＝5.(1)由于n＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是T3＝C25(x)3(3x2)2＝90x6，T4＝C35(x)2(3x2)3＝270x.(2)展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr53r·x(5＋2r)．假设Tr＋1项系数最大，则有Cr53r≥Cr－15·3r－1，Cr53r≥Cr＋15·3r＋1，-6-∴5！5－r！r！×3≥5！6－r！r－1！，5！5－r！r！≥5！4－r！r＋1！×3，∴3r≥16－r，15－r≥3r＋1.∴72≤r≤92，∵r∈N，∴r＝4.∴展开式中系数最大的项为T5＝C45x(3x2)4＝405x.1．求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．2．求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得．2．已知(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于165x2＋1x5的展开式的常数项，而(a2＋1)n的展开式的系数最大的项等于54，求a的值．[解]由165x2＋1x5，得Tr＋1＝Cr5165x25－r1xr＝1655－r·Cr5·x，令Tr＋1为常数项，则20－5r＝0，所以r＝4，常数项T5＝C45×165＝16.又(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于2n，由此得到2n＝16，n＝4.所以(a2＋1)4展开式中系数最大项是中间项T3＝C24a4＝54，所以a＝±3.1．本节课的重点是二项式系数的性质及展开式的系数和问题，难点是二项式系数性质的应用．2．要掌握二项式系数性质的三个应用：-7-(1)求二项展开式中系数或二项式系数的最大项，(2)求展开式的系数和，(3)二项式系数性质的应用．3．要重点关注以下几个易错点．(1)若展开式的系数的绝对值与对应二项式系数相等，可转化为确定二项式系数的最值来解决．(2)一般地，二项展开式f(x)中的各项系数和为f(1)，奇数项系数和为12[f(1)＋f(－1)]，偶数项系数和为12[f(1)－f(－1)]．(3)“赋值法”是求二项展开式系数问题的常用方法，赋值就是对展开式中的字母用具体数值代替，注意赋的值要有利于问题的解决，赋值时可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项等情况．1．(1＋x)2n＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在项数是()A．n，n＋1B．n－1，nC．n＋1，n＋2D．n＋2，n＋3C[该展开式共2n＋2项，中间两项为第n＋1项与第n＋2项，所以第n＋1项与第n＋2项为二项式系数最大的项．]2．已知C0n＋2C1n＋22C2n＋…＋2nCnn＝729，则C1n＋C3n＋C5n的值等于()A．64B．32C．63D．31B[C0n＋2C1n＋22C2n＋…＋2nCnn＝(1＋2)n＝3n＝729，∴n＝6，∴C16＋C36＋C56＝32.]3．已知(a－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，若a2＝80，则a0＋a1＋a2＋…＋a5＝________.1[(a－x)5展开式的通项为Tk＋1＝(－1)kCk5a5－kxk，令k＝2，得a2＝(－1)2C25a3＝80，解得a＝2，即(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.]4．在x－2x28的展开式中，(1)求系数的绝对值最大的项；(2)求二项式系数最大的项；(3)求系数最大的项；(4)求系数最小的项．[解]Tr＋1＝Cr8(x)8－r－2x2r＝(－1)rCr82rx4－5r2.-8-(1)设第r＋1项系数的绝对值最大．则Cr8·2r≥Cr＋18·2r＋1，Cr8·2r≥Cr－18·2r－1，∴18－r≥2r＋1，2r≥19－r.解得5≤r≤6.故系数绝对值最大的项是第6项和第7项．(2)二项式系数最大的项为中间项，即为第5项．所以T5＝C48·24·x4＝1120x－6.(3)由(1)知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负，第7项的系数为正．则系数最大的项为T7＝C68·26·x－11＝1792x－11.(4)系数最小的项为T6＝(－1)5C58·25x＝－1792x.