2019-2020学年高中数学 第2章 概率 2.6 正态分布讲义 苏教版选修2-3

-1-2.6正态分布学习目标核心素养1.了解正态密度曲线及正态分布的概念，认识正态密度曲线的特征．(重点、难点)2.会根据标准正态分布求随机变量在一定范围内取值的概率，会用正态分布解决实际问题．(重点)1.通过对概念的学习，培养数学抽象素养．2.借助利用正态分布解决实际问题，发展数学建模、直观想象素养.1．正态密度曲线(1)正态密度曲线的函数表达式是P(x)＝12πσe，x∈R，这里有两个参数μ和σ，其中μ是随机变量X的均值，σ2是随机变量X的方差，且σ0，μ∈R.不同的μ和σ对应着不同的正态密度曲线．(2)正态密度曲线图象具有如下特征：①当xμ时，曲线上升；当xμ时，曲线下降；当曲线向左右两边无限延伸时，以x轴为渐近线；②正态曲线关于直线x＝μ对称；③σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡；④在正态曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1.2．正态分布(1)正态分布：若X是一个随机变量，则对任给区间(a，b]，P(aX≤b)恰好是正态密度曲线下方和X轴上(a，b]上方所围成的图形的面积，我们就称随机变量X服从参数为μ和σ2的正态分布，简记为X～N(μ，σ2)．N(0,1)称为标准正态分布．(2)正态变量在三个特殊区间内取值的概率若X～N(μ，σ2)时，①落在区间(μ－σ，μ＋σ)上的概率约为68.3%，②落在区间(μ－2σ，μ＋2σ)上的概率约为95.4%，③落在区间(μ－3σ，μ＋3σ)上的概率约为99.7%.由于落在(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率为0.997，落在该区间之外的概率仅为0.003，属小概率事件，因而认为X极大可能取(μ－3σ，μ＋3σ)内的值．3．中心极限定理-2-在独立地大数量重复试验时，就平均而言，任何一个随机变量的分布都将趋近于正态分布，这就是中心极限定理．思考1：函数φμ，σ(x)＝12πσe，x∈R中的参数μ和σ反映了随机变量的什么特征？[提示]参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数．可以用样本的标准差去估计．思考2：正态密度曲线随x的变化如何变化？[提示]当xμ时，曲线上升(增函数)；当xμ时，曲线下降(减函数)，并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近．1．正态分布密度函数为φμ，σ(x)＝18πe，x∈(－∞，＋∞)，则总体的均值和标准差分别是()A．0和8B．0和4C．0和2D．0和2C[由条件可知μ＝0，σ＝2.]2．把一条正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位，得到一条新的曲线b，下列说法中不正确的是________．(填序号)①曲线b仍然是正态曲线；②曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等；③以曲线b为正态分布的总体的方差比以曲线a为正态分布的总体的方差大2；④以曲线b为正态分布的总体的均值比以曲线a为正态分布的总体的均值大2.③[正态曲线向右平移2个单位，σ不发生变化，故③错误．]3．已知X～N(1.4,0.052)，则X落在区间(1.35,1.45)中的概率为________．0．683[∵X～N(1.4,0.052)，∴μ＝1.4，σ＝0.05，∴P(1.35X1.45)＝P(1.4－0.05X1.4＋0.05)＝0.683.]正态密度函数与正态密度曲线的特征【例1】(1)设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ10)和N(μ2，σ22)(σ20)的密度函数图象如图所示，则有________．-3-①μ1μ2，σ1σ2；②μ1μ2，σ1σ2；③μ1μ2，σ1σ2；④μ1μ2，σ1σ2.(2)设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，则下列结论正确的是________．①P(|ξ|＜a)＝P(ξ＜a)＋P(ξ＞－a)(a＞0)；②P(|ξ|＜a)＝2P(ξ＜a)－1(a＞0)；③P(|ξ|＜a)＝1－2P(ξ＜a)(a＞0)；④P(|ξ|＜a)＝1－P(|ξ|＞a)(a＞0)．[思路探究](1)根据μ，σ对密度曲线特征的影响进行比较；(2)结合N(0,1)的图象特征逐一检验．(1)①(2)②④[(1)由两密度曲线的对称轴位置知：μ1μ2；由曲线的陡峭程度知：σ1σ2.(2)因为P(|ξ|＜a)＝P(－a＜ξ＜a)，所以①不正确；因为P(|ξ|＜a)＝P(－a＜ξ＜a)＝P(ξ＜a)－P(ξ＜－a)＝P(ξ＜a)－P(ξ＞a)＝P(ξ＜a)－(1－P(ξ＜a))＝2P(ξ＜a)－1，所以②正确，③不正确；因为P(|ξ|＜a)＋P(|ξ|＞a)＝1，所以P(|ξ|＜a)＝1－P(|ξ|＞a)(a＞0)，所以④正确．]1．正态密度函数中，有两个参数μ，σ.μ即均值，σ为标准差．2．在正态密度曲线中，参数μ确定了曲线的对称轴，σ确定了曲线的陡峭程度．1．关于正态曲线P(x)＝12πσe，x∈(－∞，＋∞)，σ0有以下命题：①正态密度曲线关于直线x＝μ对称；②正态密度曲线关于直线x＝σ对称；③正态密度曲线与x轴一定不相交；④正态密度曲线与x轴一定相交；⑤正态密度曲线所代表的函数是偶函数；⑥曲线对称轴由μ确定，曲线的形状由σ决定；-4-⑦当μ一定时，σ越大，曲线越“扁平”，σ越小，曲线越“尖陡”．其中正确的是________(填序号)．①③⑥⑦[根据正态分布曲线的性质可得，由于正态密度曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ处处于最高点，并由该点向左、右两边无限延伸，逐渐降低的曲线，该曲线总是位于x轴的上方，曲线形状由σ决定，而且当μ一定时，比较若干个不同的σ对应的正态曲线，可以发现σ越大，曲线越“扁平”，σ越小，曲线越“尖陡”．故①③⑥⑦正确．]利用正态分布的对称性解题【例2】设随机变量X～N(2,9)，若P(X＞c＋1)＝P(X＜c－1)．(1)求c的值；(2)求P(－4＜x＜8)．[思路探究](1)利用对称性求c的值；(2)利用正态曲线在三个特殊区间内的概率求解．[解](1)由X～N(2,9)可知，密度函数关于直线x＝2对称(如图所示)，又P(X＞c＋1)＝P(X＜c－1)，故有2－(c－1)＝(c＋1)－2，∴c＝2.(2)P(－4＜x＜8)＝P(2－2×3＜x＜2＋2×3)＝0.954.正态总体在某个区间内取值概率的求解策略(1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.(2)熟记P(μ－σ＜X≤μ＋σ)，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)的值．(3)注意概率值的求解转化：①P(X＜a)＝1－P(X≥a)；②P(X＜μ－a)＝P(X≥μ＋a)；③若b＜μ，则P(X＜b)＝1－Pμ－b＜X＜μ＋b2.2．若随机变量X～N(0,1)，查标准正态分布表，求：(1)P(X≤1.26)；(2)P(X1.26)；(3)P(0.51X≤1.2)；(4)P(X≤－2.1)．[解](1)P(X≤1.26)＝0.8962.(2)P(X1.26)＝1－P(X≤1.26)＝1－0.8962＝0.1038.(3)P(0.51X≤1.2)＝P(X≤1.2)－P(X≤0.51)＝0.8849－0.6950＝0.1899.(4)P(X≤－2.1)＝P(X≥2.1)＝1－P(X≤2.1)＝1－0.9821＝0.0179.-5-正态分布的实际应用[探究问题]1．若某工厂生产的圆柱形零件的外直径ε～N(4,0.25)，那么该圆柱形零件外直径的均值，标准差分别是什么？[提示]零件外直径的均值为μ＝4，标准差σ＝0.5.2．某工厂生产的圆柱形零件的外直径ε～N(4,0.25)，若零件的外直径在(3.5,4.5]内的为一等品．试问1000件这种的零件中约有多少件一等品？[提示]P(3.5ε≤4.5)＝P(μ－σεμ＋σ)＝0.6826，所以1000件产品中大约有1000×0.6826≈683(件)一等品．3．某厂生产的圆柱形零件的外直径ε～N(4，0.25)．质检人员从该厂生产的1000件这种零件中随机抽查一件，测得它的外直径为5.7cm.试问该厂生产的这批零件是否合格？[提示]由于圆柱形零件的外直径ε～N(4,0.25)，由正态分布的特征可知，正态分布N(4,0.25)在区间(4－3×0.5,4＋3×0.5)，即(2.5,5.5)之外取值的概率只有0.003，而5.7(2.5,5.5)．这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，根据统计中假设检验的基本思想，认为该厂这批零件是不合格的．【例3】设在一次数学考试中，某班学生的分数X～N(110,202)，且知试卷满分150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格(即90分以上)的人数和130分以上的人数．[思路探究]将P(X≥90)转化为P(X－μ≥－σ)，然后利用对称性及概率和为1，得到2P(X－μ≤－σ)＋0.6826＝1，进而求出P(X≥90)的值，同理可解得P(X≥130)的值．[解]μ＝110，σ＝20，P(X≥90)＝P(X－110≥－20)＝P(X－μ≥－σ)，∵P(X－μ≤－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ≥σ)＝2P(X－μ≤－σ)＋0.6826＝1，∴P(X－μ≤－σ)＝0.1587，∴P(X≥90)＝1－P(X－μ≤－σ)＝1－0.1587＝0.8413.∴54×0.8413≈45(人)，即及格人数约为45人．∵P(X≥130)＝P(X－110≥20)＝P(X－μ≥σ)，∴P(X－μ≤－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ≥σ)＝0.6826＋2P(X－μ≥σ)＝1，∴P(X－μ≥σ)＝0.1587，即P(X≥130)＝0.1587.∴54×0.1587≈9(人)，即130分以上的人数约为9人．1．本题利用转化的思想方法，把普通的区间转化为3σ区间，由特殊区间的概率值求出．-6-2．解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练掌握正态分布在(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]三个区间内的概率．在此过程中用到归纳思想和数形结合思想．3．某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间X(单位：分)近似服从正态分布X～N(50,102)，求他在(30,60]分内赶到火车站的概率．[解]∵X～N(50,102)，∴μ＝50，σ＝10.∴P(30X≤60)＝P(30X≤50)＋P(50X≤60)＝12P(μ－2σX≤μ＋2σ)＋12P(μ－σX≤μ＋σ)＝12×0.9544＋12×0.6826＝0.8185.即他在(30,60]分内赶到火车站的概率是0.8185.1．本节课的重点是正态曲线及正态分布下的概率计算问题，难点是正态分布的应用．2．要掌握正态分布的以下三个问题(1)利用正态曲线的特征研究μ和σ.(2)正态分布下的概率求值问题．(3)正态分布的应用．3．利用正态曲线的对称性解题，应注意以下知识的应用：(1)曲线与x轴之间的面积为1；(2)正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上的概率相等；(3)P(xa)＝1－P(X≥a)；P(Xμ－a)＝P(X≥μ＋a)；若bμ，则P(Xμ－b)＝1－Pμ－bX≤μ＋b2.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正态变量函数表达式中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．()(2)服从正态分布的随机变量是连续型随机变量．()(3)正态曲线是一条钟形曲线．()(4)离散型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线描述，连续型随机变量的概率分布用分布列描述．()[解析](1)×因为正态分布变量函数表述式中参数μ是随机变量取值的平均水平的-7-特征数，可以用样本的均值去估计，而σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，用样本的标准差去估计．(2)√因为离散型随机变量最多取有限个不同值．而连续型随机变量可能取某个区间上的任何值．(3)√由正态分布曲线的形状可知该说法正确．(4)×因为离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，连续型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线(函数)描述．[答案](1)×(2)√(3