2019-2020学年高中数学 第2章 概率章末复习课讲义 苏教版选修2-3

-1-第2章概率条件概率【例1】在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，求：(1)第1次抽到理科题的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．[思路探究]本题是条件概率问题，根据条件概率公式求解即可．[解]设“第1次抽到理科题”为事件A，“第2题抽到理科题”为事件B，则“第1次和第2次都抽到理科题”为事件AB.(1)从5道题中不放回地依次抽取2道题的事件数为n(Ω)＝A25＝20.根据分步计数原理，n(A)＝A13×A14＝12.于是P(A)＝nAnΩ＝1220＝35.(2)因为n(AB)＝A23＝6，所以P(AB)＝nABnΩ＝620＝310.(3)由(1)(2)可得，在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率P(B|A)＝PABPA＝31035＝12.-2-条件概率的求法(1)利用定义，分别求出P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝PABPA.(2)借助古典概型公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝nABnA.提醒：求事件概率的关键是将事件分解为若干个小事件，然后利用概率的加法(互斥事件的求和)、乘法(独立事件同时发生)或除法公式(条件概率)来求解．1．掷两颗均匀的骰子，已知第一颗骰子掷出6点，问“掷出点数之和大于或等于10”的概率．[解]设“掷出的点数之和大于或等于10”为事件A，“第一颗骰子掷出6点”为事件B.法一：P(A|B)＝PABPB＝336636＝12.法二：“第一颗骰子掷出6点”的情况有(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共6种，故n(B)＝6.“掷出的点数之和大于或等于10”且“第一颗掷出6点”的情况有(6,4)，(6,5)，(6,6)，共3种，即n(AB)＝3.从而P(A|B)＝nABnB＝36＝12.相互独立事件同时发生的概率【例2】设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立．(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)X表示同一工作日需使用设备的人数，求P(X＝1)．[思路探究]解决本题的关键是将复杂事件拆分成若干个彼此互斥事件的和或几个彼此相互独立事件的积事件，再利用相应公式求解．[解]记Ai表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i＝0,1,2，B表示事件：甲需使用设备，C表示事件：丁需使用设备，D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．-3-(1)D＝A1BC＋A2B＋A2BC，P(B)＝0.6，P(C)＝0.4，P(Ai)＝Ci2×0.52，i＝0,1,2，所以P(D)＝P(A1BC＋A2B＋A2BC)＝P(A1BC)＋P(A2B)＋P(A2BC)＝P(A1)P(B)P(C)＋P(A2)P(B)＋P(A2)P(B)P(C)＝0.31.(2)X＝1表示在同一工作日有一人需使用设备．P(X＝1)＝P(BA0C＋BA0C＋BA1C)＝P(B)P(A0)P(C)＋P(B)P(A0)P(C)＋P(B)·P(A1)P(C)＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4)＝0.25.求相互独立事件同时发生的概率需注意的三个问题(1)“P(AB)＝P(A)P(B)”是判断事件是否相互独立的充要条件，也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具．(2)涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率问题，务必分清事件间的相互关系．(3)公式“P(A＋B)＝1－P(AB)”常应用于求相互独立事件至少有一个发生的概率．提醒：有放回地依次取出3个球，相当于独立重复事件，即ξ～B3，25，则可根据独立重复事件的定义求解．2．某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题，竞赛规则规定：答对第1,2,3个问题分别得100分，100分，200分，答错得零分．假设这名同学答对第1,2,3个问题的概率分别为0.8,0.7,0.6.且各题答对与否相互之间没有影响．(1)求这名同学得300分的概率；(2)求这名同学至少得300分的概率．[解]记“这名同学答对第i个问题”为事件Ai(i＝1,2,3)，则P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.7，P(A3)＝0.6.(1)这名同学得300分的概率为：P1＝P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(A2)P(A3)＝0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.6＝0.228.(2)这名同学至少得300分的概率为：P2＝P1＋P(A1A2A3)＝P1＋P(A1)P(A2)P(A3)-4-＝0.228＋0.8×0.7×0.6＝0.564.离散型随机变量的分布列、均值和方差【例3】甲、乙、丙三支足球队进行比赛，根据规则：每支队伍比赛两场，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局．已知乙队胜丙队的概率为15，甲队获得第一名的概率为16，乙队获得第一名的概率为115.(1)求甲队分别胜乙队和丙队的概率P1，P2；(2)设在该次比赛中，甲队得分为ξ，求ξ的分布列及数学期望、方差．[思路探究](1)通过列方程组求P1和P2；(2)由题意求出甲队得分ξ的可能取值，然后再求出ξ的分布列，最后再求出数学期望和方差．[解](1)设“甲队胜乙队”的概率为P1，“甲队胜丙队”的概率为P2.根据题意，甲队获得第一名，则甲队胜乙队且甲队胜丙队，所以甲队获得第一名的概率为P1×P2＝16.①乙队获得第一名，则乙队胜甲队且乙队胜丙队，所以乙队获得第一名的概率为(1－P1)×15＝115.②解②，得P1＝23，代入①，得P2＝14，所以甲队胜乙队的概率为23，甲队胜丙队的概率为14.(2)ξ的可能取值为0,3,6.当ξ＝0时，甲队两场比赛皆输，其概率为P(ξ＝0)＝1－23×1－14＝14；当ξ＝3时，甲队两场只胜一场，其概率为P(ξ＝3)＝23×1－14＋14×1－23＝712；当ξ＝6时，甲队两场皆胜，其概率为P(ξ＝6)＝23×14＝16.所以ξ的分布列为ξ036P1471216-5-所以E(ξ)＝0×14＋3×712＋6×16＝114.V(ξ)＝0－1142×14＋3－1142×712＋6－1142×16＝5916.求离散型随机变量的期望与方差的步骤3．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．[解](1)由已知，有P(A)＝C22C23＋C23C23C48＝635.所以，事件A发生的概率为635.(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.P(X＝k)＝Ck5C4－k3C48(k＝1,2,3,4)．所以，随机变量X的分布列为X1234P1143737114随机变量X的数学期望E(X)＝1×114＋2×37＋3×37＋4×114＝52.-6-二项分布【例4】某单位选派甲、乙、丙三人组队参加知识竞赛，甲、乙、丙三人在同时回答一道问题时，已知甲答对的概率是34，甲、丙两人都答错的概率是112，乙、丙两人都答对的概率是14，规定每队只要有一人答对此题则该队答对此题．(1)求该单位代表队答对此题的概率；(2)此次竞赛规定每队都要回答10道必答题，每道题答对得20分，答错得－10分．若该单位代表队答对每道题的概率相等且回答任一道题的对错对回答其他题没有影响，求该单位代表队必答题得分的均值(精确到1分)．[解](1)记甲、乙、丙分别答对此题为事件A，B，C，由已知，得P(A)＝34，[1－P(A)][1－P(C)]＝112，∴P(C)＝23.又P(B)P(C)＝14，∴P(B)＝38.∴该单位代表队答对此题的概率P＝1－1－34×1－38×1－23＝9196.(2)记X为该单位代表队必答题答对的道数，Y为必答题的得分，则X～B10，9196，∴E(X)＝10×9196＝45548.而Y＝20X－10×(10－X)＝30X－100，∴E(Y)＝30E(X)－100＝14758≈184.二项分布中需要注意问题和关注点(1)当X服从二项分布时，应弄清X～B(n，p)中的试验次数n与成功概率p.(2)解决二项分布问题的两个关注点①对于公式P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，必须在满足“独立重复试验”时才能应用，否则不能应用该公式．②判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次．-7-4．某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%.现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数X的分布列．[解]由题意，得到的次品数X～B(2,0.05)，P(X＝0)＝C02×0.952＝0.9025；P(X＝1)＝C12×0.05×0.95＝0.095；P(X＝2)＝C22×0.052＝0.0025.因此，次品数X的分布列如下：X＝k012P(X＝k)0.90250.0950.0025正态分布【例5】某学校高三2500名学生第二次模拟考试总成绩服从正态分布N(500,502)，请您判断考生成绩X在550～600分的人数．[思路探究]根据正态分布的性质求出P(550＜x≤600)，即可解决在550～600分的人数．[解]∵考生成绩X～N(500,502)，∴μ＝500，σ＝50，∴P(550X≤600)＝12[P(500－2×50X≤500＋2×50)－P(500－50X≤500＋50)]＝12(0.9544－0.6826)＝0.1359，∴考生成绩在550～600分的人数为2500×0.1359≈340(人)．正态分布的概率求法(1)注意“3σ”原则，记住正态总体在三个区间内取值的概率．(2)注意数形结合．由于正态分布密度曲线具有完美的对称性，体现了数形结合的重要思想，因此运用对称性结合图象解决某一区间内的概率问题成为热点问题．5．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ，22)，且正态分布密度曲线如图所示．若体重大于58.5kg小于等于62.5kg属于正常情况，则这1000名男生中属于正常情况的人数是________．-8-683[由题意，可知μ＝60.5，σ＝2，故P(58.5X≤62.5)＝P(μ－σX≤μ＋σ)＝0.6826，从而属于正常情况的人数是1000×0.6826≈683.]