2019-2020学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.3.1 双曲线的标准方程讲义 苏教版选修

-1-2.3.1双曲线的标准方程学习目标核心素养1.了解双曲线标准方程的推导过程．(难点)2.了解双曲线的标准方程，能求双曲线的标准方程．(重点、难点)3.能用双曲线的标准方程处理简单的实际问题．(难点)1.通过双曲线标准方程的推导、培养数学运算素养．2.借助双曲线标准方程的求法，提升逻辑推理素养.双曲线的标准方程标准方程x2a2－y2b2＝1(a0，b0)y2a2－x2b2＝1(a0，b0)焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形焦点坐标F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)a，b，c之间的关系c2＝a2＋b2思考：如何从双曲线的标准方程判断焦点位置？[提示]“焦点跟着正项走”，若x2的系数为正，则焦点在x轴上；若y2的系数为正，则焦点在y轴上．1．双曲线x210－y22＝1的焦距为()A．32B．42C．33D．43-2-D[c2＝10＋2＝12，所以c＝23，从而焦距为43.]2．已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为()A.x225－y224＝1B.y225－x224＝1C.x225－y224＝1或y225－x224＝1D.x225－y224＝0或y225－x224＝0C[b2＝c2－a2＝72－52＝24，故选C.]3．若k∈R，方程x2k＋3＋y2k＋2＝1表示双曲线，则k的取值范围是________．(－3，－2)[据题意知(k＋3)(k＋2)＜0，解得－3＜k＜－2.]4．已知椭圆x24＋y2a2＝1与双曲线x2a－y22＝1有相同的焦点，则实数a＝________.1[由条件可得4－a2＝a＋2，解得a＝1.]求双曲线标准方程【例1】根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)经过点P3，154，Q－163，5；(2)c＝6，经过点(－5,2)，焦点在x轴上．[思路探究]解答(1)可分情况设出双曲线的标准方程，再构造关于a，b，c的方程组求解，从而得出双曲线的标准方程．也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn0)的形式，将两点代入，简化运算过程．解答(2)利用待定系数法．[解](1)法一：若焦点在x轴上，设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，∴点P3，154和Q－163，5在双曲线上，∴9a2－22516b2＝1，2569a2－25b2＝1，-3-解得a2＝－16，b2＝－9.(舍去)若焦点在y轴上，设双曲线的方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，将P，Q两点坐标代入可得22516a2－9b2＝1，25a2－2569b2＝1，解得a2＝9，b2＝16，∴双曲线的标准方程为y29－x216＝1.法二：设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn0)．∵P，Q两点在双曲线上，∴9m＋22516n＝1，2569m＋25n＝1，解得m＝－116，n＝19.∴所求双曲线的标准方程为y29－x216＝1.(2)法一：依题意可设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．依题设有a2＋b2＝6，25a2－4b2＝1，解得a2＝5，b2＝1，∴所求双曲线的标准方程为x25－y2＝1.法二：∵焦点在x轴上，c＝6，∴设所求双曲线方程为x2λ－y26－λ＝1(其中0λ6)．∵双曲线经过点(－5,2)，∴25λ－46－λ＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)．∴所求双曲线的标准方程是x25－y2＝1.-4-1．用待定系数法求双曲线方程的一般步骤2．求双曲线标准方程的两个关注点(1)定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在“标准方程”的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；(2)定量：“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解．1．已知双曲线与椭圆x227＋y236＝1有共同的焦点，且过点(15，4)，求双曲线的方程．[解]椭圆x227＋y236＝1的焦点坐标为F1(0，－3)，F2(0，3)，故可设双曲线的方程为y2a2－x2b2＝1.由题意，知a2＋b2＝9，42a2－152b2＝1，解得a2＝4，b2＝5，故双曲线的方程为y24－x25＝1.双曲线标准方程的讨论【例2】(1)如果方程x2m＋2＋y2m＋1＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是________．(2)“ab0”是“方程ax2＋by2＝c表示双曲线”的________条件(填“必要不充分”、“充分不必要”、“充要”和“既不充分也不必要”)．(3)若方程x25－m＋y2m2－2m－3＝1表示焦点在y轴上的双曲线，求实数m的取值范围．[思路探究]根据双曲线标准方程的特征列不等式组求解．(1)(－2，－1)(2)必要不充分[(1)由题意知(2＋m)(1＋m)＜0，解得－2＜m＜－1.故-5-m的取值范围是(－2，－1)．(2)若ax2＋by2＝c表示双曲线，即x2ca＋y2cb＝1表示双曲线，则c2ab0，这就是说“ab0”是必要条件，然而若ab0，c等于0时不表示双曲线，即“ab0”不是充分条件．](3)[解]由方程x25－m＋y2m2－2m－3＝1表示焦点在y轴上的双曲线，得5－m0，m2－2m－30，解得m5.所以实数m的取值范围是(5，＋∞)．方程表示双曲线的条件及参数范围的求法1．对于方程x2m＋y2n＝1，当mn＜0时表示双曲线．进一步，当m＞0，n＜0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m＜0，n＞0时表示焦点在y轴上的双曲线．2．对于方程x2m－y2n＝1，则当mn＞0时表示双曲线．且当m＞0，n＞0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m＜0，n＜0时表示焦点在y轴上的双曲线．3．已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值的要求，建立不等式(组)求解参数的取值范围．2．讨论x225－k＋y29－k＝1表示何种圆锥曲线？它们有何共同特征？[解]由于k≠9，k≠25，则k的取值范围为k9,9k25，k25，分别进行讨论．(1)当k9时，25－k0,9－k0，所给方程表示椭圆，此时，a2＝25－k，b2＝9－k，a2－b2＝16，这些椭圆有共同的焦点(－4,0)，(4,0)．(2)当9k25时，25－k0,9－k0，所给方程表示双曲线，此时，a2＝25－k，b2＝k－9，c2＝a2＋b2＝16，这些双曲线也有共同的焦点(－4,0)，(4,0)．(3)当k25时，所给方程没有轨迹.双曲线中的焦点三角形[探究问题]双曲线上一点M与双曲线的两个焦点F1，F2构成的三角形称为焦点三角形，其中MF1，MF2，F1F2为三角形的三边，在焦点三角形中，常用的关系式有哪些？[提示]焦点三角形中，常用的关系式有：(1)MF1－MF2＝±2a；-6-(2)S△F1MF2＝12MF1·MF2·sin∠F1MF2；(3)F1F22＝MF21＋MF22－2MF1·MF2·cos∠F1MF2.【例3】设F1，F2为双曲线x24－y24＝1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F1PF2＝90°，求△F1PF2的周长及△F1PF2的面积．[思路探究]由双曲线定义、勾股定理建立方程组，求出PF1与PF2的长，或利用整体代入法先求PF1＋PF2与PF1·PF2，再求周长与面积．[解]法一：∵点P在双曲线x24－y24＝1上，∴|PF1－PF2|＝4，F1F2＝42.又∵∠F1PF2＝90°，∴△F1PF2为直角三角形，∴PF21＋PF22＝F1F22＝32.列方程组|PF1－PF2|＝4，PF21＋PF22＝32，解得PF1＝23＋2，PF2＝23－2或PF1＝23－2，PF2＝23＋2.∴△F1PF2的周长为PF1＋PF2＋F1F2＝43＋42，△F1PF2的面积为12PF1·PF2＝12(23＋2)(23－2)＝4.法二：同解法一得|PF1－PF2|＝4，F1F2＝42，PF21＋PF22＝32.∴(|PF1－PF2|)2＝PF21＋PF22－2PF1·PF2，即16＝32－2PF1·PF2，∴PF1·PF2＝8.∴(PF1＋PF2)2＝PF21＋PF22＋2PF1·PF2＝32＋16＝48，∴PF1＋PF2＝43.∴△F1PF2的周长为PF1＋PF2＋F1F2＝43＋42，△F1PF2的面积为12PF1·PF2＝12×8＝4.在双曲线的焦点三角形中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义等是经常使用的知识点，另外，还经常结合PF1－PF2＝±2a，运用平方的方法，建立它与PF1·PF2的联系，体现了数学中的一种整体思想．-7-3．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，PF1＝2PF2，则cos∠F1PF2＝________.34[由双曲线方程得a＝2，b＝2，则c＝a2＋b2＝2.因为PF1－PF2＝22，且PF1＝2PF2，所以PF1＝42，PF2＝22，而F1F2＝4，在△PF1F2中，由余弦定理得cos∠F1PF2＝PF21＋PF22－F1F222PF1·PF2＝34.]1．在双曲线的标准方程中，a＞b不一定成立．要注意与椭圆中a，b，c的区别．在椭圆中a2＝b2＋c2，在双曲线中c2＝a2＋b2.2．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出关于a，b，c的方程组．如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2＋ny2＝1(mn＜0)的形式求解．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在双曲线标准方程中，a，b，c之间的关系与椭圆中a，b，c之间的关系相同．()(2)点A(1,0)，B(－1,0)，若|AC|－|BC|＝2，则点C的轨迹是双曲线．()(3)在双曲线标准方程x2a2－y2b2＝1中，a＞0，b＞0，且a≠b.()[答案](1)×(2)×(3)×2．以椭圆x23＋y24＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的方程是()A.x23－y2＝1B.y2－x23＝1C.x23－y24＝1D.y23－x24＝1B[椭圆x23＋y24＝1的焦点为F1(0,1)，F2(0，－1)，长轴的端点A1(0,2)，A2(0，－2)，所以对于所求双曲线a＝1，c＝2，b2＝3，焦点在y轴上，双曲线的方程为y2－x23＝1.]3．双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点为(0,3)，则实数k的值为________．－1[方程可化为y2－8k－x2－1k＝1.由条件可知－8k－1k＝9，解得k＝－1.]-8-4．根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)以椭圆x28＋y25＝1的焦点为顶点，顶点为焦点；(2)与双曲线x216－y24＝1有相同的焦点，且经过点(32，2)．[解](1)依题意，双曲线的焦点在x轴上且a＝3，c＝22，∴b2＝c2－a2＝5.∴双曲线的标准方程为x23－y25＝1.(2)法一：∵c2＝16＋4＝20，∴c＝25，∴F(±25，0)，∴2a＝|32－252＋4－32＋252＋4|＝43，∴a2＝12，∴b2＝c2－a2＝8，∴双曲线方程为x212－y28＝1.法二：设所求双曲线方程为x216－λ－y24＋λ＝1(－4λ16)．∵双曲线过点(32，2)，∴1816－λ－44＋λ＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．∴所求双曲线方程为x212－y28＝1.