2019-2020学年新教材高中数学 第3章 函数的概念与性质 3.1 函数的概念及其表示 3.1.

-1-第2课时分段函数学习目标核心素养1.了解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图象．(重点，难点)2．能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问题．(重点、难点)3．通过本节内容的学习，使学生了解分段函数的含义，提高学生数学建模、数学运算的能力．(重点)1.通过分段函数求值问题培养数学运算素养．2．利用分段函数解决实际问题，培养数学建模素养．分段函数如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．思考：分段函数是一个函数还是几个函数？提示：分段函数是一个函数，而不是几个函数．1．下列给出的式子是分段函数的是()①f(x)＝x2＋1，1≤x≤5，2x，x1.②f(x)＝x＋1，x∈R，x2，x≥2.③f(x)＝2x＋3，1≤x≤5，x2，x≤1.④f(x)＝x2＋3，x0，x－1，x≥5.A．①②B．①④C．②④D．③④B[结合分段函数的定义可知①④是分段函数，②③中不同对应关系的定义域有重叠部分，故选B.]-2-2．函数y＝x，x≥0，－x，x＜0的值域是________．[答案][0，＋∞)3．函数f(x)＝x＋1，x≤1，－x＋3，x1，则f(f(4))＝________.0[∵f(4)＝－4＋3＝－1，f(－1)＝－1＋1＝0，∴f(f(4))＝f(－1)＝0.]分段函数的求值问题【例1】已知函数f(x)＝x＋1，x≤－2，x2＋2x，－2x2，2x－1，x≥2.(1)求f(－5)，f(－3)，ff－52的值；(2)若f(a)＝3，求实数a的值．[解](1)由－5∈(－∞，－2]，－3∈(－2,2)，－52∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，f(－3)＝(－3)2＋2×(－3)＝3－23.∵f－52＝－52＋1＝－32，而－2－322，∴ff－52＝f－32＝－322＋2×－32＝94－3＝－34.(2)当a≤－2时，a＋1＝3，即a＝2－2，不合题意，舍去．当－2a2时，a2＋2a＝3，即a2＋2a－3＝0.∴(a－1)(a＋3)＝0，解得a＝1或a＝－3.∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，∴a＝1符合题意．-3-当a≥2时，2a－1＝3，即a＝2符合题意．综上可得，当f(a)＝3时，a＝1或a＝2.1．分段函数求函数值的方法：(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间．(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．2．已知函数值求字母取值的步骤：(1)先对字母的取值范围分类讨论．(2)然后代入不同的解析式中．(3)通过解方程求出字母的值．(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．提醒：求某条件下自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验．1．函数f(x)＝x－3，x≥10，ffx＋5，x10，则f(7)＝________.8[∵函数f(x)＝x－3，x≥10，ffx＋5，x10，∴f(7)＝f(f(12))＝f(9)＝f(f(14))＝f(11)＝8.]分段函数的解析式【例2】如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7cm，腰长为22cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象．[思路点拨]可按点E所在的位置分E在线段AB，E在线段AD及E在线段CD三类分别求解．[解]过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H.因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为45°，AB＝22cm，所以BG＝AG＝DH＝HC＝2cm，又BC＝7cm，所以AD＝GH＝3cm.-4-(1)当点F在BG上，即x∈[0,2]时，y＝12x2；(2)当点F在GH上，即x∈(2,5]时，y＝x＋x－22×2＝2x－2；(3)当点F在HC上，即x∈(5,7]时，y＝S五边形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△CEF＝12(7＋3)×2－12(7－x)2＝－12(x－7)2＋10.综合(1)(2)(3)，得函数的解析式为y＝12x2，x∈[0，2]，2x－2，x∈2，5]，－12x－72＋10，x∈5，7].图象如图所示．1．当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．2．通过本例让学生初步尝试用分段函数解决实际问题的意识，培养学生的建模素养．2．某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：(1)5公里以内(含5公里)，票价2元；(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算)．如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．[解]设票价为y元，里程为x公里，定义域为(0,20]．由题意得函数的解析式如下：-5-y＝2，0x≤5，3，5x≤10，4，10x≤15，5，15x≤20.函数图象如图所示：分段函数的图象及应用[探究问题]1．函数f(x)＝|x－2|能用分段函数的形式表示吗？能否作出其图象？提示：能．f(x)＝x－2，x≥2，2－x，x2.函数f(x)的图象如图所示．2．结合探究点1，你能说一下画含有绝对值的函数图象的方法吗？提示：含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．【例3】已知函数f(x)＝1＋|x|－x2(－2x≤2)．(1)用分段函数的形式表示f(x)；(2)画出f(x)的图象；(3)写出函数f(x)的值域．[思路点拨](1)分－2x0和0≤x≤2两种情况讨论，去掉绝对值可把f(x)写成分段函数的形式；(2)利用(1)的结论可画出图象；(3)由(2)中得到的图象，找到图象最高点和最低点的纵坐标，可得值域．-6-[解](1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋x－x2＝1，当－2x0时，f(x)＝1＋－x－x2＝1－x，∴f(x)＝1，0≤x≤2，1－x，－2x0.(2)函数f(x)的图象如图所示．(3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)．把本例条件改为“f(x)＝|x|－2”，再求本例的3个问题．[解](1)f(x)＝|x|－2＝x－2，x≥0，－x－2，x0.(2)函数的图象如图所示．(3)由图可知，f(x)的值域为[－2，＋∞)．分段函数图象的画法作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏.1．分段函数是一个函数，而不是几个函数．2．分段函数求值要先找准自变量所在的区间；分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集．3．分段函数的图象分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中，根据分段函数每-7-段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意确定每段图象的端点是空心点还是实心点，各段函数图象组合到一起就可得到整个分段函数的图象．1．思考辨析(1)分段函数由几个函数构成．()(2)函数f(x)＝x＋1，x≤1，－x＋3，x1是分段函数．()[答案](1)×(2)√2．设函数f(x)＝x2＋1，x≤1，2x，x1，则f(f(3))＝()A.15B．3C.23D.139D[∵f(3)＝23≤1，∴f(f(3))＝232＋1＝139.]3．函数y＝f(x)的图象如图所示，则其解析式为________．f(x)＝2x，0≤x≤1，2，1x2，3，x≥2[当0≤x≤1时，设f(x)＝kx，又过点(1,2)，故k＝2，∴f(x)＝2x；当1x2时，f(x)＝2；当x≥2时，f(x)＝3.综上f(x)＝2x，0≤x≤1，2，1x2，3，x≥2.]4．已知f(x)＝x2，－1≤x≤1，1，x1或x－1.(1)画出f(x)的图象；(2)求f(x)的定义域和值域．[解](1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示．-8-(2)由条件知，函数f(x)的定义域为R.由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]，当x1或x－1时，f(x)＝1，所以f(x)的值域为[0,1]．