2019-2020学年新教材高中数学 第4章 指数函数与对数函数 4.4 对数函数（第2课时）对数函

-1-第2课时对数函数及其性质的应用学习目标核心素养1.掌握对数函数的单调性，会进行同底对数和不同底对数大小的比较．(重点)2．通过指数函数、对数函数的学习，加深理解分类讨论、数形结合这两种重要数学思想的意义和作用．(重点)1.通过学习对数函数的单调性的应用，培养逻辑推理素养．2．借助对数函数性质的综合应用的学习，提升逻辑推理及数学运算素养.比较对数值的大小【例1】比较下列各组值的大小：(1)log534与log543；(2)log132与log152；(3)log23与log54.[解](1)法一(单调性法)：对数函数y＝log5x在(0，＋∞)上是增函数，而3443，所以log534log543.法二(中间值法)：因为log5340，log5430，所以log534log543.(2)法一(单调性法)：由于log132＝1log213，log152＝1log215，又因对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且1315，所以0log213log215，所以1log2131log215，所以log132log152.-2-法二(图象法)：如图，在同一坐标系中分别画出y＝log13x及y＝log15x的图象，由图易知：log132log152.(3)取中间值1，因为log23log22＝1＝log55log54，所以log23log54.比较对数值大小的常用方法1同底数的利用对数函数的单调性.2同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化.3底数和真数都不同，找中间量.提醒：比较数的大小时先利用性质比较出与零或1的大小.1．比较下列各组值的大小：(1)log230.5，log230.6；(2)log1.51.6，log1.51.4；(3)log0.57，log0.67；(4)log3π，log20.8.[解](1)因为函数y＝log23x是减函数，且0.50.6，所以log230.5log230.6.(2)因为函数y＝log1.5x是增函数，且1.61.4，所以log1.51.6log1.51.4.(3)因为0log70.6log70.5，所以1log70.61log70.5，即log0.67log0.57.(4)因为log3πlog31＝0，log20.8log21＝0，所以log3πlog20.8.解对数不等式【例2】已知函数f(x)＝loga(x－1)，g(x)＝loga(6－2x)(a＞0，且a≠1)．(1)求函数φ(x)＝f(x)＋g(x)的定义域；(2)试确定不等式f(x)≤g(x)中x的取值范围．[思路点拨](1)直接由对数式的真数大于0联立不等式组求解x的取值集合．(2)分a＞1和0＜a＜1求解不等式得答案．-3-[解](1)由x－10，6－2x0，解得1＜x＜3，∴函数φ(x)的定义域为{x|1＜x＜3}．(2)不等式f(x)≤g(x)，即为loga(x－1)≤loga(6－2x)，①当a＞1时，不等式等价于1x3，x－1≤6－2x，解得1x≤73；②当0＜a＜1时，不等式等价于1x3，x－1≥6－2x，解得73≤x3.综上可得，当a＞1时，不等式的解集为1，73；当0＜a＜1时，不等式的解集为73，3.常见的对数不等式的三种类型1形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论；2形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解；3形如logax＞logbx的不等式，可利用图象求解.2．(1)已知loga121，求a的取值范围；(2)已知log0.7(2x)log0.7(x－1)，求x的取值范围．[解](1)由loga121得loga12logaa.①当a1时，有a12，此时无解．②当0a1时，有12a，从而12a1.所以a的取值范围是12，1.(2)因为函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，-4-所以由log0.7(2x)log0.7(x－1)得2x0，x－10，2xx－1，解得x1.即x的取值范围是(1，＋∞)．对数函数性质的综合应用[探究问题]1．类比y＝af(x)单调性的判断法，你能分析一下y＝log12(2x－1)的单调性吗？提示：形如y＝af(x)的单调性满足“同增异减”的原则，由于y＝log12(2x－1)由函数y＝log12t及t＝2x－1复合而成，且定义域为2x－10，即x12，结合“同增异减”可知，y＝log12(2x－1)的减区间为12，＋∞.2．如何求形如y＝logaf(x)的值域？提示：先求y＝f(x)的值域，注意f(x)0，在此基础上，分a1和0a1两种情况，借助y＝logax的单调性求函数y＝logaf(x)的值域．【例3】(1)已知y＝loga(2－ax)是[0,1]上的减函数，则a的取值范围为()A．(0,1)B．(1,2)C．(0,2)D．[2，＋∞)(2)函数f(x)＝log12(x2＋2x＋3)的值域是________．[思路点拨](1)结合对数函数及y＝2－ax的单调性，构造关于a的不等式组，解不等式组可得．(2)先求真数的范围，再根据对数函数的单调性求解．(1)B(2)(－∞，－1][(1)∵f(x)＝loga(2－ax)在[0,1]上是减函数，且y＝2－ax在[0,1]上是减函数，∴f0＞f1，a1，即loga2＞loga2－a，a1，∴a1，2－a0，∴1＜a＜2.(2)f(x)＝log12(x2＋2x＋3)＝log12[(x＋1)2＋2]，因为(x＋1)2＋2≥2，-5-所以log12[(x＋1)2＋2]≤log122＝－1，所以函数f(x)的值域是(－∞，－1]．]1．求本例(2)的函数f(x)在[－3,1]上的值域．[解]∵x∈[－3,1]，∴2≤x2＋2x＋3≤6，∴log126≤log12(x2＋2x＋3)≤log122，即－log26≤f(x)≤－1，∴f(x)的值域为[－log26，－1]．2．求本例(2)的单调区间．[解]∵x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋20，又y＝log12t在(0，＋∞)为减函数，且t＝x2＋2x＋3在(－∞，－1)上为减函数，在[－1，＋∞)上为增函数，故由复合函数单调性可知，y＝log12(x2＋2x＋3)单调递增区间为(－∞，－1)，单调递减区间为[－1，＋∞)．1．已知对数型函数的单调性求参数的取值范围，要结合复合函数的单调性规律，注意函数的定义域求解；若是分段函数，则需注意两段函数最值的大小关系．2．求对数型函数的值域一般是先求真数的范围，然后利用对数函数的单调性求解．1．比较两个对数值的大小及解对数不等式问题，其依据是对数函数的单调性，若对数的底数是字母且范围不明确，一般要分a1和0a1两类分别求解．2．解决与对数函数相关的问题时要树立“定义域优先”的原则，同时注意数形结合思想和分类讨论思想在解决问题中的应用．1．思考辨析(1)y＝log2x2在[0，＋∞)上为增函数．()(2)y＝log12x2在(0，＋∞)上为增函数．()(3)lnx1的解集为(－∞，e)．()(4)函数y＝log12(x2＋1)的值域为[0，＋∞)．()-6-[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则()A．acbB．bcaC．cbaD．cabD[a＝log32log33＝1；c＝log23log22＝1，由对数函数的性质可知log52log32，∴bac，故选D.]3．函数f(x)＝log2(1＋2x)的单调增区间是______．－12，＋∞[易知函数f(x)的定义域为－12，＋∞，又因为函数y＝log2x和y＝1＋2x都是增函数，所以f(x)的单调增区间是－12，＋∞.]4．已知a＞0且满足不等式22a＋1＞25a－2.(1)求实数a的取值范围；(2)求不等式loga(3x＋1)loga(7－5x)的解集；(3)若函数y＝loga(2x－1)在区间[1,3]上有最小值为－2，求实数a的值．[解](1)∵22a＋1＞25a－2，∴2a＋1＞5a－2，即3a＜3，∴a＜1，即0＜a＜1.∴实数a的取值范围是(0,1)．(2)由(1)得，0＜a＜1，∵loga(3x＋1)loga(7－5x)，∴3x＋10，7－5x0，3x＋17－5x，即x－13，x75，x34，解得34x75.即不等式的解集为34，75.(3)∵0＜a＜1，∴函数y＝loga(2x－1)在区间[1,3]上为减函数，∴当x＝3时，y有最小值为－2，即loga5＝－2，∴a－2＝1a2＝5，解得a＝55.-7-