2019-2020学年新教材高中数学 第5章 三角函数 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

-1-第4课时二倍角的正弦、余弦、正切公式学习目标核心素养1.能利用两角和的正、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式(重点)2.能利用二倍角公式进行化简、求值、证明．(难点)3.熟悉二倍角公式的常见变形，并能灵活应用．(易错点)1.通过公式的推导，培养逻辑推理素养.2.借助运算求值，提升数学运算素养.1．二倍角的正弦、余弦、正切公式记法公式S2αsin2α＝2sin_αcos_αC2αcos2α＝cos2α－sin2αT2αtan2α＝2tanα1－tan2α2.余弦的二倍角公式的变形3．正弦的二倍角公式的变形(1)sinαcosα＝12sin2α，cosα＝sin2α2sinα.(2)1±sin2α＝(sin_α±cos_α)2.1．下列各式中，值为32的是()A．2sin15°cos15°B．cos215°－sin215°C．2sin215°D．sin215°＋cos215°B[2sin15°cos15°＝sin30°＝12；cos215°－sin215°＝cos30°＝32；2sin215°＝1－cos30°＝1－32；sin215°＋cos215°＝1，故选B.]2．sin15°cos15°＝________.-2-14[sin15°cos15°＝12×2sin15°cos15°＝12sin30°＝14.]3.12－cos2π8＝________.－24[12－cos2π8＝12－1＋cosπ42＝12－12－12×22＝－24.]4．若tanθ＝2则tan2θ＝________.－43[tan2θ＝2tanθ1－tan2θ＝2×21－22＝－43.]给角求值【例1】(1)cosπ7cos3π7cos5π7的值为()A.14B．－14C.18D．－18(2)求下列各式的值：①cos415°－sin415°；②1－2sin275°；③1－tan275°tan75°；④1sin10°－3cos10°.(1)D[∵cos3π7＝－cos4π7，cos5π7＝－cos2π7，∴cosπ7cos3π7cos5π7＝cosπ7cos2π7cos4π7＝8sinπ7cosπ7cos2π7cos4π78sinπ7＝4sin2π7cos2π7cos4π78sinπ7＝2sin4π7cos4π78sinπ7＝sin8π78sinπ7＝－18.](2)[解]①cos415°－sin415°＝(cos215°－sin215°)(cos215°＋sin215°)＝cos215°－sin215°＝cos30°＝32.-3-②1－2sin275°＝1－(1－cos150°)＝cos150°＝－cos30°＝－32.③1－tan275°tan75°＝2×1－tan275°2tan75°＝2×1tan150°＝－23.④1sin10°－3cos10°＝cos10°－3sin10°sin10°cos10°＝212cos10°－32sin10°sin10°cos10°＝4sin30°cos10°－cos30°sin10°2sin10°cos10°＝4sin20°sin20°＝4.对于给角求值问题，一般有两类：1直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角.2若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.1．求下列各式的值(1)cos72°cos36°；(2)1sin50°＋3cos50°.[解](1)cos36°cos72°＝2sin36°cos36°cos72°2sin36°＝2sin72°cos72°4sin36°＝sin144°4sin36°＝14.(2)原式＝cos50°＋3sin50°sin50°cos50°＝212cos50°＋32sin50°12×2sin50°cos50°-4-＝2sin80°12sin100°＝2sin80°12sin80°＝4.给值求值、求角问题【例2】(1)已知cosα＋π4＝35，π2≤α＜3π2，求cos2α＋π4的值；(2)已知α∈－π2，π2，且sin2α＝sinα－π4，求α.[思路点拨]依据以下角的关系设计解题思路求解：(1)α＋π4与2α＋π2，α－π4与2α－π2具有2倍关系，用二倍角公式联系；(2)2α＋π2与2α差π2，用诱导公式联系．[解](1)∵π2≤α＜3π2，∴3π4≤α＋π4＜7π4.∵cosα＋π4＞0，∴3π2＜α＋π4＜7π4，∴sinα＋π4＝－1－cos2α＋π4＝－1－352＝－45，∴cos2α＝sin2α＋π2＝2sinα＋π4cosα＋π4＝2×－45×35＝－2425，sin2α＝－cos2α＋π2＝1－2cos2α＋π4＝1－2×352＝725，∴cos2α＋π4＝22cos2α－22sin2α＝22×－2425－22×725＝－31250.(2)∵sin2α＝－cos2α＋π2＝－2cos2α＋π4－1＝1－2cos2α＋π4，sinα－π4＝－sinπ4－α＝－cosπ2－π4－α＝－cosπ4＋α，∴原式可化为1－2cos2α＋π4-5-＝－cosα＋π4，解得cosα＋π4＝1或cosα＋π4＝－12.∵α∈－π2，π2，∴α＋π4∈－π4，3π4，故α＋π4＝0或α＋π4＝2π3，即α＝－π4或α＝5π12.1．在例2(1)的条件下，求sin4α的值．[解]由例2(1)解析知sin4α＝2sin2αcos2α＝2×725×－2425＝－336625.2．将例2(1)的条件改为sinπ4－x＝513，0＜x＜π4，求cos2xcosπ4＋x的值．[解]∵0＜x＜π4，∴π4－x∈0，π4.又sinπ4－x＝513，∴cosπ4－x＝1213.又cos2x＝sinπ2－2x＝2sinπ4－xcosπ4－x＝2×513×1213＝120169，cosπ4＋x＝sinπ2－π4＋x＝sinπ4－x＝513，-6-∴原式＝120169513＝2413.解决条件求值问题的方法1有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系.2当遇到fπ4±x这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通.cos2x＝sinπ2－2x＝2sinπ4－xcosπ4－x.类似的变换还有：cos2x＝sinπ2＋2x＝2sinπ4＋xcosπ4＋x，sin2x＝cosπ2－2x＝2cos2π4－x－1，sin2x＝－cosπ2＋2x＝1－2cos2π4＋x等.化简证明问题[探究问题]1．解答化简证明问题时，如果遇到既有“切”，又有“弦”的情况，通常要如何处理？提示：通常要切化弦后再进行变形．2．证明三角恒等式时，通常的证明方向是什么？提示：由复杂一侧向简单一侧推导．【例3】(1)化简：1tanθ＋1＋1tanθ－1＝________.(2)证明：3tan12°－3sin12°4cos212°－2＝－43.[思路点拨](1)通分变形．(2)切化弦通分，构造二倍角的余弦→二倍角的正弦→约分求值(1)－tan2θ[原式＝tanθ－1＋tanθ＋1tanθ＋1tanθ－1＝2tanθtan2θ－1＝－2tanθ1－tan2θ＝－tan2θ.]-7-(2)[证明]左边＝3sin12°－3cos12°cos12°2sin12°2cos212°－1＝2312sin12°－32cos12°2sin12°cos12°cos24°＝23sin12°－60°sin24°cos24°＝－23sin48°12sin48°＝－43＝右边，所以原等式成立．证明三角恒等式的原则与步骤1观察恒等式两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想.2证明恒等式的一般步骤：①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的.2．求证：(1)cos2(A＋B)－sin2(A－B)＝cos2Acos2B；(2)cos2θ(1－tan2θ)＝cos2θ.[证明](1)左边＝1＋cos2A＋2B2－1－cos2A－2B2＝cos2A＋2B＋cos2A－2B2＝12(cos2Acos2B－sin2Asin2B＋cos2Acos2B＋sin2Asin2B)＝cos2Acos2B＝右边，∴等式成立．(2)法一：左边＝cos2θ1－sin2θcos2θ＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ＝右边．法二：右边＝cos2θ＝cos2θ－sin2θ-8-＝cos2θ1－sin2θcos2θ＝cos2θ(1－tan2θ)＝左边．1．对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是32α的二倍；α2是α4的二倍；α3是α6的二倍；α2n＝2·α2n＋1(n∈N*)．2．二倍角余弦公式的运用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．二倍角余弦公式的常用形式：①1＋cos2α＝2cos2α，②cos2α＝1＋cos2α2，③1－cos2α＝2sin2α，④sin2α＝1－cos2α2.1．思考辨析(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．()(2)存在角α，使得sin2α＝2sinα成立．()(3)对于任意的角α，cos2α＝2cosα都不成立．()[提示](1)×.二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的，而二倍角的正切公式，要求α≠π2＋kπ(k∈Z)且α≠±π4＋kπ(k∈Z)，故此说法错误．(2)√.当α＝kπ(k∈Z)时，sin2α＝2sinα.(3)×.当cosα＝1－32时，cos2α＝2cosα.[答案](1)×(2)√(3)×2．已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则()A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4B[易知f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝3cos2x＋1＝32(2cos2x－1)＋32＋1＝32cos2x＋52，则f(x)的最小正周期为π，当x＝kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，最大值为4.]-9-3．设sin2α＝－sinα，α∈π2，π，则tan2α的值是________．3[∵sin2α＝－sinα，∴2sinαcosα＝－sinα.由α∈π2，π知sinα≠0，∴cosα＝－12，∴α＝2π3，∴tan2α＝tan4π3＝tanπ3＝3.]4．已知π2＜α＜π，cosα＝－45.(1)求tanα的值；(2)求sin2α＋cos2α的值．[解](1)因为cosα＝－45，π2＜α＜π，所以sinα＝35，所以t