2019-2020学年新教材高中数学 第5章 三角函数章末复习课讲义 新人教A版必修第一册

-1-第5章三角函数同角三角函数基本关系和诱导公式的应用【例1】(1)已知sin(－π＋θ)＋2cos(3π－θ)＝0，则sinθ＋cosθsinθ－cosθ＝________.(2)已知f(α)＝sin2π－α·cos2π－α·tan－π＋αsin－π＋α·tan－α＋3π.①化简f(α)；②若f(α)＝18，且π4＜α＜π2，求cosα－sinα的值；③若α＝－47π4，求f(α)的值．[思路点拨]先用诱导公式化简，再用同角三角函数基本关系求值．-2-(1)13[由已知得－sinθ－2cosθ＝0，故tanθ＝－2，则sinθ＋cosθsinθ－cosθ＝tanθ＋1tanθ－1＝－2＋1－2－1＝13.](2)[解]①f(α)＝sin2α·cosα·tanα－sinα－tanα＝sinα·cosα.②由f(α)＝sinα·cosα＝18可知，(cosα－sinα)2＝cos2α－2sinα·cosα＋sin2α＝1－2sinα·cosα＝1－2×18＝34，又∵π4＜α＜π2，∴cosα＜sinα，即cosα－sinα＜0，∴cosα－sinα＝－32.③∵α＝－474π＝－6×2π＋π4，∴f－474π＝cos－474π·sin－474π＝cos－6×2π＋π4·sin－6×2π＋π4＝cosπ4·sinπ4＝22×22＝12.1．将本例(2)中“18”改为“－18”“π4＜α＜π2”改为“－π4＜α＜0”求cosα＋sinα.[解]因为－π4＜α＜0，所以cosα＞0，sinα＜0且|cosα|＞|sinα|，所以cosα＋sinα＞0，又(cosα＋sinα)2＝1＋2sinαcosα＝1＋2×－18＝34，所以cosα＋sinα＝32.2．将本例(2)中的用tanα表示1fα＋cos2α.[解]1fα＋cos2α＝1sinαcosα＋cos2α-3-＝sin2α＋cos2αsinαcosα＋cos2α＝tan2α＋1tanα＋1.1．牢记两个基本关系式sin2α＋cos2α＝1及sinαcosα＝tanα，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．在应用中，要注意掌握解题的技巧．比如：已知sinα±cosα的值，可求cosαsinα.注意应用(cosα±sinα)2＝1±2sinαcosα.2．诱导公式可概括为k·π2±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．三角函数的图象变换问题【例2】(1)已知曲线C1：y＝cosx，C2：y＝sin2x＋2π3，则下面结论正确的是()A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2(2)将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移π8个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为()A.π2B.π4C．0D．－π4(1)D(2)B[(1)因为y＝sin2x＋2π3＝cos2x＋2π3－π2＝cos2x＋π6，所以曲线-4-C1：y＝cosx上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线y＝cos2x，再把得到的曲线y＝cos2x向左平移π12个单位长度，得到曲线y＝cos2x＋π12＝cos2x＋π6.故选D.(2)y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移π8个单位后得y＝sin2x＋π8＋φ＝sin2x＋π4＋φ.若该函数为偶函数，则π4＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，故φ＝kπ＋π4.当k＝0时φ＝π4.故选B.]1．函数y＝sinx的图象变换到y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R图象的两种方法2．对称变换(1)y＝f(x)的图象――――→关于x轴对称平方米．-5-