2019-2020学年高中数学 第1章 数列 3.1 等比数列 第1课时 等比数列的概念及其通项公式

-1-第1课时等比数列的概念及其通项公式学习目标核心素养1.理解等比数列的定义．(重点)2．掌握等比数列的通项公式及其应用．(重点、难点)3．熟练掌握等比数列的判定方法．(重点)1.通过等比数列概念的学习培养学生的抽象素养．2．借助于等比数列通项公式的学习提升学生的数学运算素养.1．等比数列的定义阅读教材P21～P22“例1”以上部分，完成下列问题．文字语言如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一常数，那么这个数列就叫作等比数列．这个常数叫作等比数列的公比，公比常用字母q表示(q≠0)符号语言若anan－1＝q(n≥2，q≠0)，则数列{an}为等比数列思考：(1)如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于一个常数，这个数列一定是等比数列吗？[提示]不一定，只有比值是同一个常数才是等比数列，如数列：2,2,3,3,4,4，就不是等比数列．(2)0可以作为等比数列中的一项吗？[提示]不可以，由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此公比q也不能为0.2．等比数列的通项公式阅读教材P22“例1”以下至P23“例2”以上部分，完成下列问题．(1)等比数列通项公式首项为a1，公比是q的等比数列的通项公式是an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)．(2)用函数的观点看等比数列的通项等比数列{an}的图像是函数y＝a1q·qx的图像上的一群孤立的点．思考：(1)等比数列的通项公式一定是指数函数吗？[提示]不一定．只有当a1＝1，q＞0且q≠1时，其通项公式才是指数函数．-2-(2)若数列{an}的通项公式为an＝2n，那么{an}是等比数列吗？[提示]因为anan－1＝2n2n－1＝2，所以数列{an}是等比数列．1．下面各数列成等比数列的是()①－1，－2，－4，－8，…；②1，－3，3，－33，…；③x，x，x，x，…；④1a，1a2，1a3，1a4，….A．①②③B．①②C．①②④D．①②③④C[由等比数列的定义可知，对于③中的x，若x＝0，则不是等比数列．]2．已知数列{an}为等比数列，若a1＝3，a5＝12，则公比q＝()A．22B．±22C．2D．±2D[由{an}为等比数列得a5＝a1·q4＝12，∴3×q4＝12，∴q＝±2.故选D．]3．已知{an}为等比数列，a1＝12，a2＝24，则a3＝()A．36B．48C．60D．72B[由a1＝12，a2＝24得q＝a2a1＝2.∴a3＝a2q＝24×2＝48.故选B．]4．等比数列{an}的首项为2，公比为5，则数列{an}的通项公式为________．an＝2×5n－1(n∈N＋)[数列{an}的通项公式为an＝2×5n－1(n∈N＋)．]等比数列的通项公式及应用【例1】在等比数列{an}中．(1)已知a2＝4，a5＝－12，求an；(2)已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝12，求n.-3-[解](1)法一：设等比数列的公比为q，则a1q＝4，a1q4＝－12.解得a1＝－8，q＝－12.∴an＝a1qn－1＝(－8)×－12n－1＝－12n－4.法二：设等比数列的公比为q，则a5a2＝q3，即q3＝－18，q＝－12.∴an＝a5qn－5＝－12·－12n－5＝－12n－4.(2)法一：设等比数列的公比为q，则a31＋q3＝36，a41＋q3＝18，解得a3＝32，q＝12.从而a1＝a3q2＝128.由a1qn－1＝12，即12n－1＝128，得n＝9.法二：设等比数列{an}的公比为q.∵a4＋a7＝a3q＋a6q＝(a3＋a6)q，∴q＝1836＝12.∵a4＋a7＝18，∴a4(1＋q3)＝18.∴a4＝16，an＝a4·qn－4＝16·12n－4.由16·12n－4＝12，得n－4＝5，∴n＝9.等比数列通项公式的应用技巧(1)a1和q是等比数列的基本元素，只要求出这两个基本元素，其余的元素便可求出．(2)等比数列的通项公式涉及四个量a1，an，n，q，知任意三个就可以求出另一个．(3)在等比数列的计算问题中，经常使用方程的思想和整体代换的思想．1．在等比数列{an}中．-4-(1)已知a3＝2，a5＝8，求a7；(2)已知a3＋a1＝5，a5－a1＝15，求通项公式an.[解](1)因为a3＝2，a5＝8，所以q2＝a5a3＝82＝4，所以a7＝a5·q2＝8×4＝32.(2)由a3＋a1＝5，a5－a1＝15，得a1q2＋a1＝5，①a1q4－a1＝15，②②÷①得q2－1＝3，q2＝4，a1＝1，所以q＝2或－2，当q＝2时，an＝2n－1，当q＝－2时，an＝(－2)n－1.等比数列的实际应用【例2】某人买了一辆价值10万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值．(1)用一个式子表示第n(n∈N＋)年这辆车的价值；(2)如果他打算用满3年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？[解](1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an，由题意，得a1＝10，a2＝10×(1－10%)，a3＝10(1－10%)2，….由等比数列定义，知数列{an}是等比数列，首项a1＝10，公比q＝1－10%＝0.9，所以an＝a1·qn－1＝10×0.9n－1.所以第n年车的价值为an＝10×0.9n－1万元．(2)当他用满3年时，车的价值为a4＝10×0.94－1＝7.29(万元)．所以用满3年卖掉时，他大概能得7.29万元．1．等比数列应用题的两种常见类型(1)数学应用问题：解答数学应用题的核心是建立数学模型，如有关平均增长率、利率(复利)以及数值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型．(2)增长率问题：需要构建的是等比数列模型，利用等比数列的通项公式解决．2．解决应用题的步骤是：-5-构造数列→判断数列→寻找条件→建立方程→求解方程→正确解答2．一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后________分钟，该病毒占据内存64MB(1MB＝210KB)．45[由题意可得每3分钟病毒占据的内存容量构成一个等比数列，令病毒占据64MB时自身复制了n次，即2×2n＝64×210＝216，解得n＝15，从而复制的时间为15×3＝45分钟．]等比数列的判定与证明[探究问题]1．数列{an}的前n项和Sn，an，Sn－1有何关系？[提示]当n＝1时，a1＝S1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1.2．若数列{an}满足an＋2－1＝2(an＋1－1)，能够证明数列{an－1}是等比数列吗？[提示]不能，首先an＋2－1＝2(an＋1－1)只能说明a3－1＝2(a2－1)，a4－1＝2(a3－1)，…，即从第3项起，每一项与它前一项的比是同一个常数，所以还要看是不是有a2－1＝2(a1－1)成立；其次，a1－1≠0，a2－1≠0，即a1≠1，a2≠1，{an－1}才可能是等比数列．【例3】已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且Sn＋2＝2an＋1.(1)求a2，a3的值；(2)求证：数列{an}是等比数列．思路探究：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)消去Sn，得到关于an的递推式，证明an＋1an为常数即可．[解](1)因为a1＝1，且Sn＋2＝2an＋1，所以a2＝32，S2＝52，a3＝94.(2)证明：当n≥2时，Sn－1＋2＝2an，所以an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－2an，所以an＋1an＝32(n≥2)，又a2a1＝32，所以an＋1an＝32，-6-故数列{an}是以1为首项，32为公比的等比数列．1．(变条件)把例3中的条件“a1＝1，且Sn＋2＝2an＋1”换为“Sn＝2n－1”，证明数列{an}是等比数列．[证明]因为数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，所以，当n＝1时，a1＝S1＝21－1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－1)－(2n－1－1)＝2n－1，综上所述，an＝2n－1.所以an＋1＝2n，an＋1an＝2n2n－1＝2(常数)，所以{an}是首项为1，公比为2的等比数列．2．(变结论)在例3的条件下，证明数列{Sn＋2}为等比数列．[证明]因为an＋1＝Sn＋1－Sn，Sn＋2＝2an＋1，所以Sn＋2＝2(Sn＋1－Sn)，即Sn＋1＝32Sn＋1，所以Sn＋1＋2Sn＋2＝32Sn＋1＋2Sn＋2＝32Sn＋2Sn＋2＝32，又S1＋2＝a1＋2＝3，所以数列{Sn＋2}是首项为3，公比为32的等比数列．判断一个数列{an}是等比数列的方法(1)定义法：若数列{an}满足an＋1an＝q(q为常数且不为零)或anan－1＝q(n≥2，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列．(2)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列．(3)构造法：在条件中出现an＋1＝kan＋b关系时，往往构造数列，方法是把an＋1＋x＝k(an＋x)与an＋1＝kan＋b对照，求出x即可．[提醒]应用定义法判断或证明一个数列是等比数列，应特别注意应用an＋1an＝q与anan－1＝q-7-对n的取值要求不同．1．等比数列定义的理解(1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为零，因此q也不可能为零．(2)an＋1an均为同一常数，由此体现了公比的意义，同时应注意分子、分母次序不能颠倒．(3)如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它的前一项之比是同一个常数，那么这个数列不是等比数列．2．由等比数列的概念可知，要判定一个数列是否为等比数列，只需看an＋1an的值是否为不为零的常数即可．3．等比数列的通项公式an＝a1qn－1共涉及a1，q，n，an四个量，已知其中三个量可求得第四个量．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数列a，a2，a3，…，an，…是等比数列．()(2)常数列既是等差数列，又是等比数列．()(3)若数列{an}是等比数列，则{2an}也是等比数列．()[答案](1)×(2)×(3)√[提示](1)不正确，当a＝0时不是等比数列；(2)不正确，常数列0,0,0,0，…是等差数列，但不是等比数列；(3)正确．2．若等比数列的首项为98，末项为13，公比为23，则这个数列的项数为()A．3B．4C．5D．6B[因为98·23n－1＝13，所以23n－1＝827＝233，所以n＝4.]3．等比数列{an}中，a1＋a2＝1，a2＋a3＝2，则a1＝________.13[由a1＋a2＝1，a2＋a3＝2，得a1(1＋q)＝1，a1q(1＋q)＝2，解得a1＝13.]4．已知等比数列{an}中，a1＝127，a7＝27，求an.-8-[解]由a7＝a1q6，得27＝127·q6，所以q6＝272＝36，所以q＝±3.当q＝3时，an＝a1qn－1＝127×3n－1＝3n－4；当q＝－3时，an＝a1qn－1＝127×(－3)n－1＝－(－3)－3·(－3)n－1＝－(－3)n－4.故an＝3n－4或an＝－(－3)n－4.